2022宁波高二下学期期末考试数学含答案

宁波市2021学年第二学期期末试题

高二数学试卷

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. 若（，i为虚数单位），则（）

A. 2 B. 0 C.  D. 1

【答案】B

3. 甲、乙、丙、丁四位大学生将作为志愿者对A、B两个场馆进行志愿服务，每个场馆安排两名志愿者，每名志愿者只去一个场馆，则不同的安排方法种数为（）

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

【答案】A

4. 在“2022年北京冬季奥运会”闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：

从表中可以得出正确的结论为（）

A. 表中m的数值为8

B. 估计观看比赛场数的中位数为3

C. 估计观看比赛场数的众数为2

D. 估计观看比赛不低于4场的学生约为720人

【答案】B

5. 已知，则的值为（）

A. 3 B.  C. 4 D.

【答案】A

6. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）

A.

B.

C. 的图象关于直线对称

D. 的图象向右平移个单位长度后的图象关于原点对称

【答案】D

7. 已知平面向量满足，，，则的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

8. 已知函数有两个极值点，且，则下列选项正确的是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）

A. 每项系数之和为1 B. 二项式系数之和为729

C. 含有常数项 D. 含有x的一次幂项

【答案】AC

10. 已知函数，若存在实数，有，则下列选项一定正确的是（）

A.

B.

C. 在内有两个零点

D. 若，则在区间内有零点

【答案】BD

11. 甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（）

A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立

C.  D.

【答案】AD

12. 已知实数，且，则下列选项正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

第Ⅱ卷（非选择题共0分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______．

【答案】

14. 已知，则_______．

【答案】##

15. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______．

【答案】

16. 如图，D，E，F分别是边长为4的正三角形三边的中点，将，，分别沿向上翻折至与平面均成直二面角，得到几何体．则二面角的余弦值为_____；几何体的外接球表面积为_____．

【答案】    ①    ②. ##

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 为助力新冠肺炎疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场．为了对该产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：

（1）求单价的平均值；

（2）根据以上数据计算得与具有较强的线性相关程度，并由最小二乘估计求得关于的经验回归方程为，求的值．

附：

【答案】（1）

（2）

18. 在①；②．这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

在中，角的对边分别为，的面积为，______．

（1）求角的大小；

（2）若，求角的取值范围．

【答案】（1）

（2）

19. 为了解学校学生的睡眠情况，决定抽取20名学生对其睡眠时间进行调查，统计如下：

（1）记“足8小时”为睡眠充足，“不足8小时”为睡眠不充足，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关；

（2）现从抽出的11位女生中再随机抽取3人，记X为睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数，求X的分布列和均值．

附：；

【答案】（1）表格见解析，没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关

（2）分布列见解析，

【小问1详解】

由题意，填表如下：

由表得．

因为，所以没有90%的把握认为“睡眠充足与否”与性别有关

【小问2详解】

由题意，睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数共7人，X可取0，1，2，3，且X服从超几何分布，

，

，

即

．

20. 如图，在三棱锥中，底面．

（1）证明：平面平面；

（2）若，直线与平面所成角的大小为，求的长．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【小问1详解】

证明：因为平面，平面，

所以，

因为，，平面，所以平面，

又平面，

所以平面平面．

【小问2详解】

解：过点A作，垂足为H，连接．

由（1）知平面平面，

又，平面平面，平面，

所以平面，

所以就是直线与平面所成角，

即．

在中，，故．

在中，．

在中，因为，所以，即，

所以为等腰直角三角形，

所以．

21. 己知函数，其中．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）若，，求实数的取值范围．

【答案】（1）

（2）

22. 已知函数．

（1）求证：；

（2）若为函数的极值点，

①求实数a的取值范围；

②求证：．

【答案】（1）证明见解析

（2）①；②证明见解析

【小问1详解】

要证，只需证，

即证．

设，

因为，

所以，即成立．

小问2详解】

①，

当时，令，则

∴在上单调递减，在上单调递增，则只有一个极小值点，符合题意

当时，设，则．

∴在上单调递增．

又因为，

对，取满足为，则

所以有唯一实根

∴在上单调递减，在上单调递增，则只有一个极小值点，符合题意

当时，令，解得．

在上单调递增，在上单调递减

当时，∵，则

当时，

所以要使函数存在极值点，只需，即，解得．

综上所述：当时，函数存在极值点．

②由①得，

所以，要证，

只需证．

由，则．

当时，因为，

所以．

当时，因为，

所以，要证，

只需证，

即证，

即证对成立．

令，

因为，

所以，

即时，成立．

综上所述，成立．