2021-2022学年济南市重点中学中考冲刺卷数学试题含解析

这是一份2021-2022学年济南市重点中学中考冲刺卷数学试题含解析，共22页。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在对某社会机构的调查中收集到以下数据，你认为最能够反映该机构年龄特征的统计量是（　　）
年龄
13
14
15
25
28
30
35
其他
人数
30
533
17
12
20
9
2
3
A．平均数 B．众数 C．方差 D．标准差
2．如图所示，数轴上两点A，B分别表示实数a，b，则下列四个数中最大的一个数是（   ）

A．a     B．b   C． D．
3．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=4，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（ ）

A．2 B．4 C． D．2
4．计算的正确结果是（　　）
A． B．- C．1 D．﹣1
5．如图，已知AB∥CD，∠1=115°，∠2=65°，则∠C等于（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
6．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是( )

A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
7．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　）

A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm
8．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）

A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
9．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．
12．如图，二次函数y=a（x﹣2）2+k（a＞0）的图象过原点，与x轴正半轴交于点A，矩形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣2），点P为x轴上任意一点，连结PB、PC．则△PBC的面积为_____．

13．计算的结果是____.
14．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是_____．（只要写出一种）

15．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是__________.
16．比较大小： ___1．（填“＞”、“＜”或“＝”）
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF试说明AC=EF；求证：四边形ADFE是平行四边形．

18．（8分）先化简再求值：，其中，.
19．（8分）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=与y=（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为1．
（1）当m=1，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．

20．（8分）如图,两座建筑物的水平距离为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:

21．（8分）如图，在中，，，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转，得到线段AE，连结EC．
依题意补全图形；
求的度数；
若，，将射线DA绕点D顺时针旋转交EC的延长线于点F，请写出求AF长的思路．

22．（10分）（1）观察猜想
如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为______；
（2）问题解决
如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；
（3）拓展延伸
如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．

23．（12分）如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．
（1）画出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′；
（2）直线m上存在一点P，使△APB的周长最小；
①在直线m上作出该点P；（保留画图痕迹）
②△APB的周长的最小值为　 　．（直接写出结果）

24．我市某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
初中部
a
85
b
s初中2
高中部
85
c
100
160
（1）根据图示计算出a、b、c的值；结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？计算初中代表队决赛成绩的方差s初中2，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．




参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解析】
分析：根据平均数的意义，众数的意义，方差的意义进行选择．
详解：由于14岁的人数是533人，影响该机构年龄特征，因此，最能够反映该机构年龄特征的统计量是众数．
故选B．
点睛：本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
2、D
【解析】
∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
∴＜a＜b＜ ，
故选D．
3、D
【解析】
连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可.
【详解】
连接CO，∵AB平分CD，
∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，CE=DE=2
∵∠A与∠DOB互余，
∴∠A+∠COB=90°，
又∠COB=2∠A，
∴∠A=30°，∠COE=60°，
∴∠OCE=30°，
设OE=x,则CO=2x,
∴CO2=OE2+CE2
即(2x)2=x2+(2)2
解得x=2，
∴BO=CO=4，
∴BE=CO-OE=2.
故选D.

【点睛】
此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.
4、D
【解析】
根据有理数加法的运算方法，求出算式的正确结果是多少即可．
【详解】
原式
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加
数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得1．③一个数同
1相加，仍得这个数．
5、C
【解析】
分析：根据两直线平行，同位角相等可得 再根据三角形内角与外角的性质可得∠C的度数．
详解：∵AB∥CD，
∴
∵
∴
故选C.
点睛：考查平行线的性质和三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
6、A
【解析】
由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相似三角形的性质可得y=﹣，根据二次函数的性质可得﹣，由此可得a=3，继而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得当E在AB上时，y=时，x=，据此即可作出判断．
【详解】
解：由已知，AB=a，AB+BC=5，
当E在BC上时，如图，

∵E作EF⊥AE，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∴，
∴y=﹣，
∴当x=时，﹣，
解得a1=3，a2=（舍去），
∴y=﹣，
当y=时，=﹣，
解得x1=，x2=，
当E在AB上时，y=时，
x=3﹣=，
故①②正确，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7、D
【解析】
过A作AD⊥BF于D,根据45°角的三角函数值可求出AB的长度，根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长即可.
【详解】
如图，过A作AD⊥BF于D，
∵∠ABD=45°，AD=12，
∴=12，
又∵Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB=24，
故选：D．

【点睛】
本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键.
8、A
【解析】
侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】
解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选A．
【点睛】
本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．．
9、D
【解析】
试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根，
∴△≥0，
∴4﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0，
∵x1+x2=﹣2，x1•x2=k+1，
∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，
解得k＞﹣2，
不等式组的解集为﹣2＜k≤0，
在数轴上表示为：
，
故选D．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．
10、A
【解析】
利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
【详解】
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB•sinα=300sinα米．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、25°或40°或10°
【解析】
【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有
①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，
∠C=（180°-100°）=40°，
②AB=AD，此时∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，
∠C=（180°-130°）=25°，
③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，
∠C=（180°-160°）=10°，
综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°
故答案为25°或40°或10°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
12、4
【解析】
根据二次函数的对称性求出点A的坐标，从而得出BC的长度，根据点C的坐标得出三角形的高线，从而得出答案．
【详解】
∵二次函数的对称轴为直线x=2， ∴点A的坐标为(4，0)，∵点C的坐标为(0，－2)，
∴点B的坐标为(4，－2)， ∴BC=4，则．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型．理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键．
13、
【解析】
原式= ，
故答案为.
14、∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB
【解析】
试题分析：∵∠DAC=∠CAB
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．故答案为∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB．
考点：1．相似三角形的判定；2．开放型．
15、12.
【解析】
根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案.
【详解】
解：根据正n边形的中心角的度数为，则n=360÷30=12，故这个正多边形的边数为12，
故答案为：12.
【点睛】
本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键.
16、＜．
【解析】
根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】
解：∵＝1，
∴＜＝1，
∴＜1．
故答案为＜．
【点睛】
考查了算术平方根，非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．

三、解答题（共8题，共72分）
17、证明见解析．
【解析】
（1）一方面Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，另一方面△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF．
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【详解】
证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC．
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF．∴AF=BC．
∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA，
∴△AFE≌△BCA（HL）．∴AC=EF．
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD．
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF∥AD．
∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD．
∴四边形ADFE是平行四边形．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．
18、8
【解析】
原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式==，
当，时，原式=
【点睛】
本题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式、单项式乘以多项式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
19、（1）①直线AB的解析式为y=﹣x+3；理由见解析；②四边形ABCD是菱形，（2）四边形ABCD能是正方形，理由见解析.
【解析】分析：（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；
（2）先确定出B（1，），进而得出A（1-t，+t），即：（1-t）（+t）=m，即可得出点D（1，8-），即可得出结论．
详解：（1）①如图1，

∵m=1，
∴反比例函数为y=，当x=1时，y=1，
∴B（1，1），
当y=2时，
∴2=，
∴x=2，
∴A（2，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=-x+3；
②四边形ABCD是菱形，
理由如下：如图2，

由①知，B（1，1），
∵BD∥y轴，
∴D（1，5），
∵点P是线段BD的中点，
∴P（1，3），
当y=3时，由y=得，x=，
由y=得，x=，
∴PA=1-=，PC=-1=，
∴PA=PC，
∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）四边形ABCD能是正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，
∴PA=PB=PC=PD，（设为t，t≠0），
当x=1时，y==，
∴B（1，），
∴A（1-t，+t），
∴（1-t）（+t）=m，
∴t=1-，
∴点D的纵坐标为+2t=+2（1-）=8-，
∴D（1，8-），
∴1（8-）=n，
∴m+n=2．
点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．
20、建筑物的高度为.建筑物的高度为.
【解析】
分析：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解决问题．
详解：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m，
在Rt△ABC中，tan53°==，∴AB=80（m）．
在Rt△ADE中，tan37°==，∴AE=45（m），
∴BE=CD=AB﹣AE=35（m）．
答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21、（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.
【解析】
（1）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC．
（2）先判定△ABD≌△ACE，即可得到，再根据，即可得出；
（3）连接DE，由于△ADE为等腰直角三角形，所以可求；由， ，可求的度数和的度数，从而可知DF的长；过点A作于点H，在Rt△ADH中，由，AD=1可求AH、DH的长；由DF、DH的长可求HF的长；在Rt△AHF中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的长．
【详解】
解：如图，

线段AD绕点A逆时针方向旋转，得到线段AE．
，，
．
，
．
，
在和中
，
≌．
，
中，，，
．
；
Ⅰ连接DE，由于为等腰直角三角形，所以可求；
Ⅱ由，，可求的度数和的度数，从而可知DF的长；
Ⅲ过点A作于点H，在中，由，可求AH、DH的长；
Ⅳ由DF、DH的长可求HF的长；
Ⅴ在中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的长．
故答案为（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题的关键是要注意对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
22、（1）BC=BD+CE，（2）；（3）.
【解析】
（1）证明△ADB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=AC，EC=AB，即可得到BC、BD、CE之间的数量关系;
（2）过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，证明△ABC≌△DEA，得到DE=AB=2，AE=BC=4，Rt△BDE中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD的长；
（3）过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，证明△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质得到CE=AF，ED=DF，设AF=x，DF=y，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出
的值，根据勾股定理即可求出BD的长.
【详解】
解：（1）观察猜想
结论： BC=BD+CE，理由是：
如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠D=∠EAC，
∵∠B=∠C=90°，AD=AE，
∴△ADB≌△EAC，
∴BD=AC，EC=AB，
∴BC=AB+AC=BD+CE；
（2）问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，

由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE=AB=2，AE=BC=4，
Rt△BDE中，BE=6，
由勾股定理得：
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
同理得：△CED≌△AFD，
∴CE=AF，ED=DF，
设AF=x，DF=y，
则，解得：
∴BF=2+1=3，DF=3，
由勾股定理得：

【点睛】
考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
23、（1）详见解析；（2）①详见解析；②.
【解析】
（1）根据轴对称的性质，可作出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′；
（2）①作点B关于直线m的对称点B''，连接B''A与x轴的交点为点P；
②由△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B''P，则当AP与PB''共线时，△APB的周长有最小值．
【详解】
解：（1）如图△A′B′C′为所求图形．

（2）①如图：点P为所求点．
②∵△ABP的周长=AB+AP+BP=AB+AP+B''P
∴当AP与PB''共线时，△APB的周长有最小值．
∴△APB的周长的最小值AB+AB''=+3
故答案为 +3
【点睛】
本题考查轴对称变换，勾股定理，最短路径问题，解题关键是熟练掌握轴对称的性质．
24、（1）85,85,80; （2）初中部决赛成绩较好；（3）初中代表队选手成绩比较稳定．
【解析】
分析:（1）根据成绩表，结合平均数、众数、中位数的计算方法进行解答；
（2）比较初中部、高中部的平均数和中位数，结合比较结果得出结论；
（3）利用方差的计算公式，求出初中部的方差，结合方差的意义判断哪个代表队选手的成绩较为稳定.
【详解】
详解: （1）初中5名选手的平均分，众数b=85，
高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c=80；
（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；
（3）=70，
∵，
∴初中代表队选手成绩比较稳定．
【点睛】
本题是一道有关条形统计图、平均数、众数、中位数、方差的统计类题目，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念及计算方法是解题的关键.