2021-2022学年江苏省南京市宁海五十中学中考数学适应性模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1

2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）

A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃

3．如图，△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，有如下五个结论①AE⊥AF；②EF：AF=：1；③AF2=FH•FE；④∠AFE=∠DAE+∠CFE ⑤ FB：FC=HB：EC．则正确的结论有（   ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（    ）

A． B． C． D．

5．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(　　)

A．15° B．22.5° C．30° D．45°

6．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．15° C．10° D．20°

7．的倒数是（　　）

A．﹣ B．2 C．﹣2 D．

8．计算的结果是（   ）

A．1 B．-1 C． D．

9．关于x的方程x2﹣3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（　　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

10．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为 3，图中阴影部分的面积是（     ）

A．π B． C．2π D．3π

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______．

12．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为_____．

13．小明用一个半径为30cm且圆心角为240°的扇形纸片做成一个圆锥形纸帽（粘合部分忽略不计），那么这个圆锥形纸帽的底面半径为_____cm．

14．计算：____________

15．比较大小：_____1．

16．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．

17．的系数是_____，次数是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．

19．（5分）某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.

若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围.垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值.

20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，AB=，点E，F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知点F的移动速度是点E移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（0＜x＜6）．

（1）∠DCB=　   　度，当点G在四边形ABCD的边上时，x=　   　；

（2）在点E，F的移动过程中，点G始终在BD或BD的延长线上运动，求点G在线段BD的中点时x的值；

（3）当2＜x＜6时，求△EFG与四边形ABCD重叠部分面积y与x之间的函数关系式，当x取何值时，y有最大值？并求出y的最大值．

21．（10分）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是　   　；若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．

22．（10分）如图，在Rt中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE．

（1）求；（直接写出结果）

（2）当AB=3，AC=5时，求的周长．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数的图象于点B，AB=．求反比例函数的解析式；若P（，）、Q（，）是该反比例函数图象上的两点，且时，，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．

24．（14分）如图，∠A=∠B=30°

（1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D；

（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：BC2=BD•AB．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

试题解析：把x=1代入方程1x-a=0得1-a=0，解得a=1．

故选B.

考点：一元一次方程的解.

2、B

【解析】

试题分析：由题意知，“-”代表零下，因此-3℃表示气温为零下3℃.

故选B.

考点：负数的意义

3、C

【解析】
由旋转性质得到△AFB≌△AED，再根据相似三角对应边的比等于相似比，即可分别求得各选项正确与否.

【详解】

解：由题意知，△AFB≌△AED

∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°.

∴AE⊥AF，故此选项①正确；

∴∠AFE=∠AEF=∠DAE+∠CFE，故④正确；

∵△AEF是等腰直角三角形，有EF:AF=：1，故此选项②正确；

∵△AEF与△AHF不相似，

∴AF2=FH·FE不正确.故此选项③错误，

∵HB//EC，

∴△FBH∽△FCE，

∴FB:FC=HB:EC，故此选项⑤正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练地应用旋转的性质以及相似三角形的性质是解决问题的关键.

4、D

【解析】

A选项：

∠1+∠2=360°－90°×2=180°；

B选项：

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

∵∠1+∠4=180°，

∴∠1+∠2=180°；

C选项：

∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，

∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；

D选项：∠1和∠2不一定互补.

故选D.

点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.

5、A

【解析】

试题分析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．

考点：平行线的性质．

6、B

【解析】

分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．

详解：如图所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，

∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，

∵a∥b，

∴∠ACD=180°-120°=60°，

∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；

故选B．

点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．

7、B

【解析】
根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．

【详解】

解：∵×1＝1

∴的倒数是1．

故选B．

【点睛】

本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

8、C

【解析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．

【详解】

解：==，

故选：C.

【点睛】

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9、B

【解析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入得4-6+k=0，然后解关于k的方程即可.

【详解】

把x=2代入得，4-6+k=0，

解得k=2.

故答案为：B.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义，把已知代入方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值是解题的关键.

10、D

【解析】
根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可．

【详解】

∵△ABC 为等边三角形，

∴∠A=60°，

∴∠BOC=2∠A=120°，

∴图中阴影部分的面积= =3π．

故选D．

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1﹣1

【解析】
如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=1，即可求出B′D．

【详解】

如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，

根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，

∴EB′⊥B′F，

∴EB′=EB，

∵E是AB边的中点，AB=4，

∴AE=EB′=1，

∵AD=6，

∴DE=，

∴B′D=1﹣1．

【点睛】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B′在何位置时，B′D的值最小是解题的关键．

12、10πcm1．

【解析】
根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=1S扇形AOD，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ABO=36°，由圆周角定理得到∠AOD=71°，于是得到结论．

【详解】

解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，

∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴S△ABO=S△CDO =S△AOD=S△BOD，

∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=1S扇形AOD，

∵OA=OB，

∴∠BAC=∠ABO=36°，

∴∠AOD=71°，

∴图中阴影部分的面积=1×=10π，

故答案为10πcm1．

点睛：本题考查了扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理的推论，三角形外角的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．

13、20

【解析】
先求出半径为30cm且圆心角为240°的扇形纸片的弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得．

【详解】

=40π．
设这个圆锥形纸帽的底面半径为r．
根据题意，得40π=2πr，
解得r=20cm．

故答案是：20.

【点睛】

解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．

14、y

【解析】
根据幂的乘方和同底数幂相除的法则即可解答.

【详解】

【点睛】

本题考查了幂的乘方和同底数幂相除，熟练掌握：幂的乘方，底数不变，指数相乘的法则及同底数幂相除，底数不变，指数相减是关键.

15、

【解析】
先将1化为根号的形式，根据被开方数越大值越大即可求解．

【详解】

解： ， ，

，

故答案为＞．

【点睛】

本题考查实数大小的比较，比较大小时，常用的方法有：作差法，作商法，如果有一个是二次根式，要把另一个也化为二次根式的形式，根据被开方数的大小进行比较．

16、1

【解析】
本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．

【详解】

解：设利润为w元，

则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣1）2+25，

∵10≤x≤20，

∴当x＝1时，二次函数有最大值25，

故答案是：1．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

17、    1   

【解析】
根据单项式系数及次数的定义进行解答即可．

【详解】

根据单项式系数和次数的定义可知，﹣的系数是，次数是1．

【点睛】

本题考查了单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）DE与⊙O相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π﹣．

【解析】
（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；

（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．

【详解】

（1）DE与⊙O相切，

理由：连接DO，

∵DO=BO，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，

∴∠EBD=∠DBO，

∴∠EBD=∠BDO，

∴DO∥BE，

∵DE⊥BC，

∴∠DEB=∠EDO=90°，

∴DE与⊙O相切；

（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，

∴DE=DF=3，

∵BE=3，

∴BD==6，

∵sin∠DBF=，

∴∠DBA=30°，

∴∠DOF=60°，

∴sin60°=，

∴DO=2，

则FO=，

故图中阴影部分的面积为：．

【点睛】

此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．

19、112.1

【解析】

试题分析：（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=30﹣2x与自变量x的取值范围为6≤x＜11；

（2）设矩形苗圃园的面积为S，由S=xy，即可求得S与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值．

试题解析：解：（1）y=30﹣2x（6≤x＜11）．

（2）设矩形苗圃园的面积为S，则S=xy=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，∴S=﹣2（x﹣7.1）2+112.1，由（1）知，6≤x＜11，∴当x=7.1时，S最大值=112.1，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.1米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.1．

点睛：此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．

20、 (1) 30；2；（2）x=1；（3）当x=时，y最大=；

【解析】
(1)如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．AD=BH=3，BC=6，CH=BC﹣BH=3，当等边三角形△EGF的高= 时，点G在AD上，此时x=2；

（2）根据勾股定理求出的长度，根据三角函数，求出∠ADB=30°，根据中点的定义得出根据等边三角形的性质得到,即可求出x的值；
（3）图2，图3三种情形解决问题．①当2<x<3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM；②当3≤x<6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP；

【详解】

（1）作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形．

∵AD=BH=3，BC=6，

∴CH=BC﹣BH=3，

在Rt△DHC中，CH=3，

∴

当等边三角形△EGF的高等于时，点G在AD上，此时x=2，∠DCB=30°，

故答案为30，2，

（2）如图

∵AD∥BC

∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°

在Rt△ABD中，

∴∠ADB=30°

∵G是BD的中点

∴

∵AD∥BC

∴∠ADB=∠DBC=30°

∵△GEF是等边三角形，

∴∠GFE=60°

∴∠BGF=90°

在Rt△BGF中，

∴2x=2即x=1；

（3）分两种情况：

当2＜x＜3，如图2

点E、点F在线段BC上△GEF与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM

∵∠FNC=∠GFE﹣∠DCB=60°﹣30°=30°

∴∠FNC=∠DCB

∴FN=FC=6﹣2x

∴GN=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6

∵∠FNC=∠GNM=30°，∠G=60°

∴∠GMN=90°

在Rt△GNM中，

∴

∴当时，最大

当3≤x＜6时，如图3，

点E在线段BC上，点F在线段BC的延长线上，△GEF与四边形ABCD重叠部分为△ECP

∵∠PCE=30°，∠PEC=60°

∴∠EPC=90°

在Rt△EPC中EC=6﹣x，

对称轴为

当x＜6时，y随x的增大而减小

∴当x=3时，最大

综上所述：当时，最大

【点睛】

属于四边形的综合题，考查动点问题，等边三角形的性质，三角函数，二次函数的最值等，综合性比较强，难度较大.

21、（1）；（2）.

【解析】
（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；

（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．

【详解】

（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，

∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；

（2）根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，

所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）．

【点睛】

本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22、（1）∠ADE=90°；

（2）△ABE的周长=1．

【解析】

试题分析：（1）是线段垂直平分线的做法，可得∠ADE=90°

（2）根据勾股定理可求得BC=4，由垂直平分线的性质可知AE=CE，所以△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+BC=1

试题解析：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；

（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，

∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，

∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=1．

考点：1、尺规作图；2、线段垂直平分线的性质；3、勾股定理；4、三角形的周长

23、（1）；（2）P在第二象限，Q在第三象限．

【解析】

试题分析：（1）求出点B坐标即可解决问题；

（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．利用反比例函数的性质即可解决问题；

试题解析：解：（1）由题意B（﹣2，），把B（﹣2，）代入中，得到k=﹣3，∴反比例函数的解析式为．

（2）结论：P在第二象限，Q在第三象限．理由：∵k=﹣3＜0，∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而增大，∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，∴P、Q在不同的象限，∴P在第二象限，Q在第三象限．

点睛：此题考查待定系数法、反比例函数的性质、坐标与图形的变化等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

24、见解析

【解析】
（1）利用过直线上一点作直线的垂线确定D点即可得；
（2）根据圆周角定理，由∠ACD=90°，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质得到∠DCB=∠A=30°，推出△CDB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）如图所示，CD即为所求；

（2）∵CD⊥AC，

∴∠ACD=90°

∵∠A=∠B=30°，

∴∠ACB=120°

∴∠DCB=∠A=30°，

∵∠B=∠B，

∴△CDB∽△ACB，

∴，

∴BC2=BD•AB．

【点睛】

考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质和作图：在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．