湖北省2023届联盟高三摸底联考（新高考）数学 试题

这是一份湖北省2023届联盟高三摸底联考（新高考）数学 试题，共27页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

高三数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（ ）

A. 0.09 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.27
4. 若，则（ ）
A. B.
C D.
5. 若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 在平面直角坐标系中，角的大小如图所示，则（ ）


A. 1 B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 是以为周期的周期函数
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 的值域为
D. 在上单调递增
10. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）


A. 高为 B. 体积为
C. 表面积为 D. 上底面积､下底面积和侧面积之比为
11. 已知是数列的前项和，且，则（ ）
A. 数列为等比数列
B. 数列为等比数列
C.
D.
12. 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（ ）
A. 过点与只有一个公共点的直线有2条
B. 若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上
C. 过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值
D. 若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________．
14. 若函数是偶函数，则的最小值为__________．
15. 利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分分），获得样本数据的特征量如下表：

人数
平均成绩
方差
男生



女生



则总样本的平均分为__________，方差为__________．
参考公式：个数平均数为，方差为
参考数据：．
16. 在直三棱柱中，，平面经过点，且满足直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为__________．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 在①成等比数列，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：在公差不为0的等差数列中，其前项和为，__________，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．
18. 在平面四边形中，对角线与交于点，．

（1）求AC的长；
（2）求的值．
19. 某省为调査北部城镇2021年国民生产总值，抽取了20个城镇进行分析，得到样本数据，），其中和分别表示第个城镇人口（单位：万人）和该城镇2021年国民生产总值（单位：亿元），计算得．
（1）请用相关系数判断该组数据中与之间线性相关关系的强弱（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）；
（2）求关于的线性回归方程；
（3）若该省北部某城镇2021年的人口约为5万人，根据（2）中的线性回归方程估计该城镇2021年的国民生产总值．
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
20. 如图，直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．

（1）设为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21. 已知椭圆的焦点为，且过点．
（1）求的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左､右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22. 已知，函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果我们用表示区间长度，试证明：对任意实数，关于的不等式的解集的区间长度小于．

























高三数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出即得解.
【详解】由，得，
所以的虚部为．
故选：B．
2. 已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集与并集的概念求解
【详解】由，
得．
故选：A
3. 某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（ ）

A. 0.09 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.27
【答案】D
【解析】
【分析】根据分布计数原理及组合数的定义，结合古典概型的计算公式即可求解.
【详解】先从3个位置中选1个，从0到9这10个数字中选一个数字放入，剩下的两个位置再从剩下的9个数字中选一个数字放入（两个位置数字相同），有种方法，所以所求概率．
故选: D.
4. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数的单调性证明，即得解.
【详解】解：因，则，则，所以，从而，所以
故选：A．
5. 若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理计算即可.
【详解】由二项式定理知：含项为 ，
由题意 ， ，
解得 ；
故选：C.
6. 在平面直角坐标系中，角的大小如图所示，则（ ）


A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知求出，化简即得解.
【详解】解：由题图知，则，
所以．
故选：C．
7. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，求出，得到，，即得解.
【详解】解：如图，设，由，得，
所以在点处的切线方程为，从而，
根据抛物线的定义，得
又，，所以
由，，得是的中点，则，从而．
故选：B．

8. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，求导后可得，再构造，根据对称轴与1的关系分情况讨论，结合分析即可
【详解】设，则．
令，其图象为开口向上､对称轴为直线的抛物线．
①当，即时，在上单调递增，且，
所以在上恒成立，于是恒成立；
②当，即时，因为且，所以存在，使得时，，
所以在上恒成立，即在上单调递减，所以，不满足题意．综上，实数的取值范围是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了构造函数分情况分析函数的单调性，从而分析函数的正负的问题，需要根据题意求导，化简后构造分析导函数中需要讨论正负的函数，再结合原函数的零点分析单调性求解，属于难题
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 是以为周期的周期函数
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 的值域为
D. 上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】由指数函数与三角函数的性质对选项逐一判断
【详解】对于，因为，所以是以为周期的周期函数，故A正确；
对于B，，设，由，解得，故B错误，
对于C，的值域为，则的值域为，故C正确；
对于D，，由，解得，
所以在上单调递减，所以在区间上单调递增，故D正确．
故选：ACD
10. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）


A. 高为 B. 体积为
C. 表面积为 D. 上底面积､下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】
【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，求出，即可判断选项A正确；利用公式计算即可判断选项BCD的真假得解.
【详解】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；
由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．
故选：AC．
11. 已知是数列的前项和，且，则（ ）
A. 数列为等比数列
B. 数列为等比数列
C.
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由，分别得到，，然后逐项判断.
【详解】由，得，
又，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则正确；
由，得，
又，
所以数列是首项为7，公比为4的等比数列，则正确；
，相减可得，
所以，则错误；
，
，则错误．
故选：AB．
12. 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（ ）
A. 过点与只有一个公共点的直线有2条
B. 若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上
C. 过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值
D. 若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于，过与只有一个公共点的直线有3条，故可判断；
对于B，由题意可求得，取渐近线方程为，可求得关于渐近线的对称点为，代入的方程验证即可；
对于，当直线与轴垂直时，线段长度最小，即可判断；
对于D,双曲线为即，设，则，，解得，即可判断.
【详解】对于，过与只有一个公共点的直线，与渐近线平行的直线2条，与轴垂直的直线1条，共3条，则错误；
对于，所以，渐近线方程不妨取，即，设关于渐近线对称点为，则，
解得，代入的方程，得，所以点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上，则B正确；
对于，过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，当直线与轴垂直时，线段长度最小，故正确；
对于D,双曲线为等轴双曲线，即，设，则①，又，则②，联立①②解得，易得，故D正确．
故选:BCD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：由题意可知，所以，由可得，再计算的值即可；
方法二：由计算即可.
【详解】法一，则，而，
两边平方，可得，，
所以．
故答案为：.
法二：因为，
所以．
故答案为：.
14. 若函数是偶函数，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用偶函数的性质可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】由为偶函数可得，即，
所以．
因为，且，，
所以，
则，
当且仅当，即时，取最小值4．
故答案为：4.
15. 利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分分），获得样本数据的特征量如下表：

人数
平均成绩
方差
男生



女生



则总样本的平均分为__________，方差为__________．
参考公式：个数的平均数为，方差为
参考数据：．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由可计算得到总样本的平均数；利用男生和女生数学测验成绩的方差可计算得到和，代入方差公式可求得结果.
【详解】总样本的平均分；
设名男生数学测验的成绩分别为，名女生数学测验的成绩分别为；
男生数学测验成绩的方差，
女生数学测验成绩的方差，
，，
总样本的方差为.
故答案为：；.
16. 在直三棱柱中，，平面经过点，且满足直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到点的轨迹，再解三角形即可.
【详解】因为平面，连接，则，故在以为直径的球面上．
又与平面所成的角为，
所以，过作于点，如图1所示，
则易得，
所以在如图2所示的圆锥的底面圆周上，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，
在中，，又易得，由余弦定理，
得，
即.

故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 在①成等比数列，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：在公差不为0的等差数列中，其前项和为，__________，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】设数列的公差为，选择①：由成等比数列，得，又，可得，
从而求得，由得，解不等式根据为正整数可得答案；
选择②：由，取，得，又，，求得，由得，解不等式根据为正整数可得答案；
选择③：由，求得，由得，解不等式根据为正整数可得答案.
【详解】设数列的公差为，
选择①：由成等比数列，得，即，得，
又，所以，
又，所以，
所以，
所以，即，整理得，即，又为正整数，所以正整数存在，可以取．
选择②：由，取，得，即，所以，
又，所以，
又，所以
所以，经验证满足条件②
所以，即，整理得，即，又为正整数，所以正整数存在，可以取．
选择③：，又，
所以，化简得
又，所以，
所以，
所以，即，整理得，即，又为正整数，所以正整数存在，可以取
18. 在平面四边形中，对角线与交于点，．

（1）求AC的长；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理，直接计算即可求解.
（2）利用余弦定理和正弦定理，计算求解即可.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，得，所以，化简得，解得，所以，，
所以，，则．又，则，
所以，，
则，又，所以．
【小问2详解】
由，
得．
在中，由余弦定理，得，
则．
在中，由正弦定理，得，
则
19. 某省为调査北部城镇2021年国民生产总值，抽取了20个城镇进行分析，得到样本数据，），其中和分别表示第个城镇的人口（单位：万人）和该城镇2021年国民生产总值（单位：亿元），计算得．
（1）请用相关系数判断该组数据中与之间线性相关关系的强弱（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）；
（2）求关于的线性回归方程；
（3）若该省北部某城镇2021年的人口约为5万人，根据（2）中的线性回归方程估计该城镇2021年的国民生产总值．
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
【答案】（1）与之间具有较强的线性相关关系
（2）
（3）估计该城镇2021年的国民生产总值40（亿元）
【解析】
【分析】（1）根据题中数据和公式可以求得，结合题意理解分析；（2）根据题中数据和公式运算求解；（3）根据（2）中所求公式代入求解．
【小问1详解】
题意知相关系数，
因为与的相关系数满足，所以与之间具有较强的线性相关关系．
【小问2详解】
，
，所以
【小问3详解】
由（2）可估计该城镇2021年的国民生产总值（亿元）．
20. 如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．

（1）设为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接、，即可得到且，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【小问1详解】
证明：取中点，连接、，
则，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．
分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面法向量为，则，，
即，令，得到平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

21. 已知椭圆的焦点为，且过点．
（1）求的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左､右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）直线过定点
【解析】
【分析】(1)由题意可得，，即可求方程；
(2) 由题意可得，即有，分直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况求解即可.
小问1详解】
解：设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
因为，
所以，即．
又因为，
所以，
又椭圆的焦点在轴上，且中心在坐标原点，
所以的方程为．
【小问2详解】
因为，则，又因为为的中点，
所以，易知点，
设．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由,得，
所以，
由韦达定理可得，
，
则
，
化简可得，即．
若，则直线的方程为，此时直线过顶点，不符合题意；
若，易知满足，此时直线的方程为，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，
所以，
则，
，
因为，解得，直线过点．
综上，直线过定点．
22. 已知，函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果我们用表示区间的长度，试证明：对任意实数，关于的不等式的解集的区间长度小于．
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导之后再对分和两种情况讨论得解；
（2）令，证明，令，证明即得解.
【小问1详解】
解：，定义域为，

若恒成立，所以在上单调递减；
若，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
证明：令，则，因为，
由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
令，
由恒成立，
所以在上单调递增．
又，所以，即．从而，
所以，即．
因为，所以，
所以存在唯一，使得，所以的解集为，
即的解集为，又的区间长度为，
原命题得证．