初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程学案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程学案设计，共13页。学案主要包含了知识梳理，经典例题，变式训练1，变式训练2，变式训练3，变式训练4，变式训练5，课堂训练等内容，欢迎下载使用。
第二讲  一元二次方程的实际应用【知识梳理】1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”．(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．      【经典例题】类型一、传播问题【例题1】1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。  2、参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个队参加足球联赛？     【变式训练1】1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？     2、参加足球联赛的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛132场，共有多少个球队参加比赛？    类型二、平均增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)【例题2】“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？   【变式训练2】1、某地2015年为做好“精准扶贫”工作，投入资金2000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年投入资金2880万元，求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．   2、某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台．（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？（2）预计7月份的产量为多少万台？   类型三、商品销售问题利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数【例题3】1、某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出　   　件；（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？  2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？（2）商场平均每天可能盈利1700元吗？请说明理由．   【变式训练3】1、水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　   　斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？  2、一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？   类型四、面积问题【例题4】1、如图，用一段25m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长12m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门．所围矩形菜园的长、宽分别为多少时，菜园面积为80m2？2、  某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 【变式训练4】1、如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？  2如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上修建两横竖通道，横竖通道的宽度比为2：1，其余部分种植花草，若通道所占面积是整个场地面积的．（1）求横、竖通道的宽各为多少？（2）若修建1m2道路需投资750元，种植1m2花草需投资250元，此次修建需投资多少钱？ 类型五、动态几何问题【例题5】如图，在长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以3厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：（1）如图1，用含t的代数式表示AP=　   　，AQ=　   　，并求出当t为何值时线段AP=AQ．（2）如图2，在不考虑点P的情况下，连接QB，问：当t为何值时△QAB的面积等于长方形面积的．【变式训练5】已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后，P,Q的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2?说明理由.    【课堂训练】1.某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（     ）A．50（1+x）2＝182      B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+x）+50（1+x）2＝182    D．50+50（1+x）＝1822.（2019春•西岗区期末）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参加比赛的球队应有（     ）A．7队 B．6队 C．5队 D．4队3.（2019春•蚌埠期末）为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动．已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有（    ）A．500（1﹣2x）＝320 B．500（1﹣x）2＝320 C．500（）2＝320 D．500（1﹣）2＝3204.（2019•广西）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30  B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30    D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×305.（2019春•阜阳期中）今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感，经过两轮传染后，共有196人患了流感．若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数。     6.（2018秋•安国市期中）某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？   7.（2019春•历下区期末）如图是一张长20cm、宽12cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为　　　﹣　　cm，宽为　　　﹣　　cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是180m2的无盖长方体纸盒，求x的值．  8.（2019•老河口市模拟）某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元（1）若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1024元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？       【课后练习】1.（2018秋•天津期末）一次会议上，每两个参加会议的人互相握了一次手，有人统计一共握了45次手，如果这次会议到会的人数为x人，根据题意可列方程为（　　）A．x（x+1）＝45 B．x（x﹣1）＝45 C．2x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45×22.（2019春•龙口市期末）某水果种植基地2016年产量为80吨，截止到2018年底，三年总产量达到300吨，求三年中该基地水果产量的年平均增长率．设水果产量的年平均年增长率为x，则可列方程为（　　）A．80（1+x）2＝300      B．80（1+3x）＝300 C．80+80（1+x）+80（1+x）2＝300   D．80（1+x）3＝3003.（2019春•蜀山区期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　）A．（1+x）2＝4400 B．（1+x）2＝1.44 C．10000（1+x）2＝4400      D．10000（1+2x）＝144004.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为（　　）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人5.（2019•鸡西）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）A．4 B．5 C．6 D．76.（2019春•南岗区校级月考）现有一块长方形绿地，它的边长为100m，现将长边缩小与短边相等（短边不变），使缩小后的绿地的形状是正方形，且缩小后的绿地面积比原来减少1200m2，设缩小后的正方形边长为xm，则下列方程正确的是（　　）A．x（x﹣100）＝1200 B．x（100﹣x）＝1200 C．100（x﹣100）＝1200         D．100（100﹣x）＝12007.（2018秋•遵义期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长30米，宽20米）场地，被3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）．如果设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（　　）A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝400 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝480 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（30﹣x）（20﹣2x）＝4808.（2018秋•武昌区校级月考）周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？   9.（2018秋•黄石期中）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？    10.（2018秋•淮安区期末）如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，问小路应为多宽？   11.（2018秋•德惠市校级月考）如图，一农户要建一个矩形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个2m宽的木门．问所围羊舍的长、宽分别是多少时，羊舍的面积是160m2？  12．我县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米50元，试问哪种方案更优惠？    13.（2018秋•漳州期中）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．（1）根据题意，填表： 每件利润（元）销售量（件）利润（元）降价前4420880降价后①② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？   14（2018秋•杏花岭区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克．为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？   15.（2018秋•东区校级月考）校运动会前夕，某班家委会准备为班级学生团体操表演方阵购买x件表演服装，商家给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，则购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．若商家每件运动服的进价为40元，家委会一次性购买这种服装付了1200元；（1）当x＝10时，购买单价为　　　元；当x＝15时，购买单价为　　　元；（2）家委会共购买了多少件服装？若不考虑其它因素，本次销售商家的利润率是多少？   16.（2018春•滨江区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于2cm？（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？（3）点P，Q之间的距离能否等于2cm？