2021-2022学年山东省济南市历下区八年级（下）期中数学试卷-（含解析）

2021-2022学年山东省济南市历下区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 以下历届冬奥会图标中，是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，得到的点的坐标为

A.  B.  C.  D.

4. 要使分式有意义，的取值应满足

A.  B.  C.  D. 为任意实数

5. 如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，旋转角是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，▱的对角线与相交于点，，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 在下列分式的变形中，从左到右一定正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，菱形中，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是

A.
B.
C.
D.

10. 为做好校园卫生防控，某校计划购买甲、乙两种品牌的消毒液．乙品牌消毒液每桶的价格比甲品牌每桶价格少元，已知用元购买甲品牌的数量与用元购买乙品牌的数量相同．设甲品牌消毒液每桶的价格是元，根据题意可列方程为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，中，，，，点、、分别是、、的中点，则四边形的周长是

A.
B.
C.
D.

12. 小颖用下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出了一个把某多项式因式分解的等式，这个等式是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 分解因式：______．
14. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形边数为______．
15. 如图，将沿边的方向平移个单位到的位置，已知，则线段的长为______．

16. 若分式的值为零，则的值是______．
17. 如图在菱形中，于点，若，，则______．
    
    
    
     

18. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，线段经过点，于点若，，则图中阴影部分的面积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

19. 对下列多项式进行因式分解：
    ．
    ．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，平行四边形中，、分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形．

22. 解分式方程：
    ；
    ．
23. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、每个方格的边长均为个单位长度
    若与关于原点成中心对称不需要画三角形，请直接写出点的坐标．
    将向上平移个单位长度得到不需要画出，请写出点的坐标并求出四边形的面积．

24. 年北京冬奥会引起了全民运动的热潮，滑雪场为了吸引儿童们从小健身锻炼，热爱雪上运动，预备开展儿童冬季雪具售卖活动，新进了数量相同的儿童雪车和滑雪板．其中，一个滑雪板的进价比雪车少元；滑雪板和雪车分别花费元和元．请问：每个儿童雪车与滑雪板的进价各是多少元？
25. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．
    求证：≌；
    若，试判断四边形的形状，并说明理由．
     

26. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为这两个连续偶数构造的“巧数”，如：，，，因此，，这三个数都是“巧数”．
    请你判断， ______填“是”或“不是”“巧数”；
    设两个连续偶数为和其中为正整数，请判断由这两个连续偶数构造的“巧数”是否为的倍数，并证明你的结论；提示：对“”因式分解
    请直接写出小于的最大“巧数”．
27. 如图所示，在菱形中，，，点、分别是边、上的两个动点，点从点向点运动，点从点向点运动，设点、运动的路径长分别是和．
    猜想：如图，当时，写出线段与线段的数量关系；
    证明：如图，连接，若，请证明≌；
    应用：在的条件下，四边形的面积是否发生变化？如果不变，请直接写出这个定值；如果变化，请直接写出该四边形面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
D.原式不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 

3.【答案】

【解析】解：将点向右平移个单位长度，得到对应点，则点的坐标是，即，
故选：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

4.【答案】

【解析】解：要使分式有意义，的取值应满足，
解得，
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零．
本题主要考查了分式有意义的条件，解题时注意分式的分母不等于零，否则无意义．
 

5.【答案】

【解析】解：由旋转的定义可知，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后得到，旋转角是或，
故选：．
根据旋转的相关定义即可得到答案．
本题考查旋转的相关定义，掌握旋转角是指一组对应边的夹角是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的对角线平分解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线平分解答．
 

7.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据菱形的对角线平分一组对角即可解决问题．
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】

【解析】解：，
旋转角是的整数倍，
这个角的度数可以是．
故选：．
根据图形的对称性，用除以计算即可得解．
本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
 

10.【答案】

【解析】解：设甲品牌消毒液每桶的价格是元，则乙品牌消毒液每桶的价格是元，
依题意得：．
故选：．
设甲品牌消毒液每桶的价格是元，则乙品牌消毒液每桶的价格是元，根据数量总价单价，结合用元购买甲品牌的数量与用元购买乙品牌的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：点、、分别是、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
四边形的周长为，
故选：．
根据三角形的中位线和四边形的周长公式即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，可排除选项C，；
由图中四个长方形的面积为：，以此可排除选项B．
故选：．
利用拼接前后的面积相等，再结合因式分解的定义，对选项进行排除，即可得到正确结果．
本题主要考查因式分解的定义，以及用几何图形解释因式分解的含义等内容，牢牢把握因式分解的定义是解决此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：．
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：．
故这个多边形边数为．
故答案为：．
利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都．
 

15.【答案】

【解析】解：由平移的性质可知，，
则，
故答案为：．
根据平移的性质求出的长，结合图形计算即可．
本题考查的是平移的性质，根据平移的性质求出的长是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：若分式的值为零，则且，
的值是，
故答案为：．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
本题主要考查了分式值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

17.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：在平行四边形中有：，，
，，
≌，
阴影部分的面积与的面积相等，
；
故答案为：．
证明≌即可得阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质是解题关键．
 

19.【答案】解：；
．

【解析】利用提公因式法，进行分解即可解答；
利用完全平方公式，进行分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，原式．

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形．

【解析】由平行四边形的性质得，，再证，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是；

，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘，得，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

23.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标；
如图，即为所求，点的坐标，
四边形的面积．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可，再利用平行四边形的面积公式求出四边形面积即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：设每个儿童雪车的进价为元，每个滑雪板的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每个儿童雪车的进价为元，每个滑雪板的进价为元．

【解析】设每个儿童雪车的进价为元，每个滑雪板的进价为元，由题意：新进了数量相同的儿童雪车和滑雪板．滑雪板和雪车分别花费元和元．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

25.【答案】证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
．
在与中，
，
≌；

解：四边形是菱形．理由如下：
由得≌，
，
，
．
是由旋转而得，
≌，
，，
，
四边形是菱形．

【解析】根据旋转的性质得出，，，那么再根据即可证明≌；
由得≌，那么，而，等量代换得出根据旋转的性质得出≌，那么，，从而得出，进而得到四边形是菱形．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质．
 

26.【答案】是

【解析】解：，
是“巧数”，
故答案为：是；
两个连续偶数构造的“巧数”是的倍数，理由如下：



，
为正整数，
一定为正整数，
一定能被整除，
由这两个连续偶数构造的“巧数”是的倍数；
，，，
小于的最大“巧数”是．
根据巧数的定义即可得出答案；
利用平方差公式展开计算即可；
根据巧数的定义进行解答便可．
本题考查了因式分解的应用，写出符合题意的所有巧数是解题的关键．
 

27.【答案】解：结论：．
理由：如图中，
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
；

证明：如图中，四边形为菱形，，
，，
和为等边三角形，
，，
，即，
，
在和中，
，
≌；

解：四边形的面积不变，为．
理由如下：由得≌，
则，
故．

【解析】证明≌，可得结论；
根据证明三角形全等即可．
证明四边形的面积的面积，即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、垂线段最短的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．