2023版（教科版）高考步步高大一轮复习讲义第二章 力 物体的平衡

第3节　力的合成与分解

一、力的合成
1.合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力。
(2)关系：合力与分力是等效替代关系。
2.共点力
作用在物体的同一点，或作用线交于一点的几个力。如图1均为共点力。

图1
3.力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图2甲所示，F1、F2为分力，F为合力。

图2
(3)三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量。如图乙所示，F1、F2为分力，F为合力。
【自测1】 (多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F(不为零)，则(　　)
A.F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B.F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C.F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D.若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
答案　AD
二、力的分解
1.定义：求一个力的分力的过程。
力的分解是力的合成的逆运算。
2.遵循的原则
(1)平行四边形定则。
(2)三角形定则。
3.分解方法
(1)效果分解法。
(2)正交分解法。
【自测2】 如图3所示，把光滑斜面上的物体所受重力G分解为F1、F2两个力。图中N为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是(　　)

图3
A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B.物体受到G、N、F1、F2共四个力的作用
C.F2是物体对斜面的压力
D.力N、F1、F2这三个力的作用效果与G、N这两个力的作用效果相同
答案　D
三、矢量和标量
1.矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等。
2.标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等。
考点一　共点力的合成
1.合力与分力的关系
(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。
(2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大。
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。
2.几种特殊情况的共点力的合成
类型
作图
合力的计算
两力互相垂直

F＝
tan θ＝
两力等大，夹角为θ

F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大且夹角为120°

合力与分力等大

1.( 合力的分析 )如图4所示是翠鸟俯冲捕捉小鱼的精彩画面。如果整个俯冲过程翠鸟做加速直线运动，用O表示翠鸟，G表示翠鸟受到的重力，F表示空气对它的作用力，四幅图中能正确表示此过程中翠鸟受力情况的是(　　)

图4


答案　A
解析　根据题意，翠鸟做加速直线运动，所以翠鸟所受合力方向与速度方向相同，根据平行四边形定则分析可知只有A选项中，重力与F的合力的方向有可能与速度方向相同，故选A。
2.(合力的求解)(2021·张家口市高三模拟)长隆国际大马戏团的动物特技演员棕熊“玛尔塔”有一招绝活“走钢丝”。如图5所示，当棕熊走到靠近中央的位置时，钢丝与水平方向所成夹角已经接近30°，则此时钢丝上的弹力是棕熊重力的(　　)

图5
A.倍 B.1倍 C.倍 D.2倍
答案　B
解析　以棕熊为研究对象，分析受力情况，根据平衡条件，两绳子合力与重力等大反向，则有2Fsin 30°＝mg，解得F＝mg，B项正确。
考点二　力的分解的两种常用方法
角度1　效果分解法

【例1】 (2021·天津十二区联考)超市里磁力防盗扣的内部结构及原理如图6所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出)，工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防盗扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开。已知锥形金属筒底部的圆锥顶角是120°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力为(不计摩擦以及小铁珠的重力)(　　)

图6
A.F B.F C.F D.F
答案　A
解析　将力F分解为沿垂直于钉柱的压力和垂直斜面的压力，则由几何关系可知＝tan 60°，则每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力为F′＝＝F，故选A。
角度2　正交分解法
1.建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
2.方法：物体受到多个力F1、F2、F3、…作用，求合力F时，可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
【例2】 (多选)如图7，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)

图7
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案　BD
解析　由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力T′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变，滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，选项C错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，选项A错误；对b进行受力分析，如图所示。

由平衡条件得Tcos β＋f＝Fcos α，Fsin α＋N＋Tsin β＝mbg。其中T和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，选项B正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，选项D正确。

3.(2021·辽宁协作校联考)已知两个共点力的合力F为18 N，其中一分力F1的方向与合力F的方向成30°角，若另一分力F2的大小为6 N。则(　　)
A.F2的方向是唯一的
B.F2有无数个可能的方向
C.F1的大小是唯一的
D.F1的大小可能为6 N
答案　D
解析　已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，则另一个分力的最小值为Fsin 30°＝9 N，而另一个分力大小大于9 N小于18 N，F2的方向有两个，故A、B错误；根据以上分析可知，F1的可能有两个，根据余弦定理cos 30°＝，解得F1的大小可能为6 N或12 N，故C错误，D正确。
4.如图8所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，滑块与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)(　　)

图8
A.3 000 N B.2 000 N
C.1 000 N D.500 N
答案　B
解析　将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示，则有2F1cos α＝F，得F1＝F2＝；再将F1按作用效果分解为N和N′，作出力的分解图如图乙所示，则有N＝F1sin α，联立得N＝，根据几何知识得tan α＝＝10，得N＝5F＝2 000 N，故选B。

考点三　力的合成与分解的应用
角度1　斧头劈木柴类问题
【真题示例3】 (多选)(2018·天津理综)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图9所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　)

图9
A.若F一定，θ大时FN大
B.若F一定，θ小时FN大
C.若θ一定，F大时FN大
D.若θ一定，F小时FN大
答案　BC
解析　如图所示，根据力F的作用效果，把力F分解为垂直于木楔两侧的分力F1、F2，则F1＝F2＝FN＝，由表达式可知，若F一定，θ越小，FN越大，A项错误，B项正确；若θ一定，F越大，FN越大，C项正确，D项错误。
角度2　拖把拖地问题
【例4】 拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图10)。设拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略。拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

图10
(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力有多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tan θ0。
答案　(1)mg　(2)λ
解析　(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，根据平衡条件有
Fcos θ＋mg＝N①
Fsin θ＝f②
式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力
所以f＝μN③
联立①②③式得F＝mg。④
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动
应有Fsin θ≤λN⑤
这时，①式仍成立.联立①⑤式得
sin θ－λcos θ≤λ⑥
λ大于零，且当F无限大时λ为零，有
sin θ－λcos θ≤0⑦
使⑦式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。故临界角的正切为tan θ0＝λ。

“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”问题
类型1　“活结”和“死结”问题
1.活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向不改变力的大小。
2.死结：若结点不是滑轮或挂钩，而是固定点时，称为“死结”结点，此时两侧绳上的弹力不一定相等。
【示例1】 (2020·全国卷Ⅲ)如图1所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)

图1
A.45° B.55° C.60° D.70°
答案　B
解析　对O点进行受力分析，如图所示。因为甲、乙物体质量相等，所以F1与F2大小相等，合成的平行四边形为菱形，α＝70°，则∠1＝∠2＝55°，F1和F2的合力与F3等大反向，β＝∠2，故B正确。
类型2　“动杆”和“定杆”问题
1.动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图2甲所示，C为转轴，B为两绳的结点，轻杆在缓慢转动过程中，弹力方向始终沿杆的方向。

图2
2.定杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示。
【示例2】 (2020·天津月考)如图3为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，轻杆的重力不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图3(a)、(b)中的受力分别为Fa、 Fb，则下列关系正确的是(　　)

图3
A.Fa＝Fb B.Fa＞Fb
C.Fa＜Fb D.大小不确定
答案　A
解析　对题图中的A点受力分析，则由图甲可得
Fa＝Fa′＝2mgcos 30°＝mg
由图乙可得tan 30°＝
则Fb＝Fb′＝mg
故Fa＝Fb。



考点一　共点力的合成
1.(2022·广东深圳中学高三开学考试)如图1所示为某小城街道两旁的仿古路灯，灯笼悬挂在灯柱上，风沿水平方向由右向左吹来，且风力越来越大，则灯柱对灯笼的作用力(　　)

图1
A.逐渐减小，与竖直方向的夹角逐渐增大
B.逐渐减小，与竖直方向的夹角逐渐减小
C.逐渐增大，与竖直方向的夹角逐渐增大
D.逐渐增大，与竖直方向的夹角逐渐减小
答案　C
解析　重力和风力的合力与灯柱对灯笼的作用力等大反向，三力可构成一首位相连的矢量三角形，风力越来越大，则灯柱对灯笼的作用力逐渐增大，与竖直方向的夹角逐渐增，C项正确。
2.(原创题)为了充分利用单元楼阳台的上层空间，陈俊宇同学利用几根筷子和四根轻绳制作了一个悬挂式的正方形花架，如图2所示。已知筷子的总质量为m，花盆(含花和泥土等)质量为M，四根轻绳长度均为L，其上端固定在天花板上的同一点，正方形花架水平且到阳台天花板的竖直距离为0.8L，则每条绳上的弹力大小为(　　)

图2
A.(M＋m)g B.(M＋m)g
C.(M＋m)g D.(M＋m)g
答案　A
解析　设每根绳子张力为T，绳子与竖直方向的夹角为α，根据几何知识有cos α＝＝0.8，对花架和花盆整体，根据平衡条件可得4Tcos α＝(M＋m)g，故每根轻绳上的张力大小为T＝＝(M＋m)g，故A项正确，B、C、D项错误。
3.如图3，是运动员在体操吊环项目中的“十字支撑”动作，“十字支撑”是难度系数很高的动作之一，其难度高的原因是(　　)

图3
A.吊环对运动员支持力比较小
B.运动员手掌与吊环接触面上的摩擦力比较小
C.重力一定时，两手臂之间的夹角越大，手臂上受到的力也越大
D.两手臂上的力一定时，两手臂之间的夹角越大，合力越小
答案　C
解析　吊环对运动员支持力比较小和运动员手掌与吊环接触面上的摩擦力比较小，很显然不是动作难度高的原因，故A、B错误；运动员处于静止状态，合外力等于零，设两手臂夹角为θ，则2Tcos＝mg，运动员手臂的拉力T＝，可见，重力一定时，两手臂之间的夹角越大，手臂上受到的力也越大，而“十字支撑”，两手臂之间的夹角接近180°，所以手臂上受到的力很大，难度很高，故C正确，D错误。
4.如图4所示，不计滑轮和绳子的质量以及摩擦，整个装置处于平衡状态，则关于两物体质量大小关系的判断，正确的是(　　)


图4
A.m1＝m2 B.m1>m2
C.m1m2g，即m1>m2，故选B。
考点二　力的分解
5.建筑装修中，工人用质量为m的磨石对倾角为θ的斜壁进行打磨(如图5所示)，当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则磨石受到的摩擦力大小是(　　)

图5
A.(F－mg)cos θ
B.(F－mg)sin θ
C.μ(F－mg)cos θ
D.μ(F－mg)tan θ
答案　A

解析　磨石受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力作用而处于平衡状态，由图可知，F一定大于重力mg；先将重力及向上的推力合成后，将二者的合力沿垂直于斜壁方向及平行于斜壁方向分解，则在沿斜壁方向上有f＝(F－mg)cos θ，在垂直斜壁方向上有N＝(F－mg)sin θ，则f＝μ(F－mg)sin θ，故A正确。
考点三　力合成与分解思想的实际应用
6.刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图6所示是用斧头劈木柴的示意图。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为(　　)

图6
A.F B.F C.F D.F
答案　B
解析　斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，故选B。
7.水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图7所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为(g取10 N/kg)(　　)

图7
A.50 N B.20 N
C.100 N D.50 N
答案　C
解析　由题意可得，对滑轮B受力分析，滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力，因同一根绳张力处处相等，都等于物体的重力，即F1＝F2＝G＝mg＝100 N，用平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则有合力F＝100 N，所以滑轮受绳的作用力为100 N，方向与水平方向成30°角斜向下。
8.(2021·山东济南外国语学校模拟)如图8所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)

图8
A. B.
C. D.Ftan
答案　D
解析　设大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力为F1，则他们之间的夹角为θ，F即为他们合力的大小，则有2F1cos＝F，脚掌所受地面竖直向上的弹力约N＝F1sin，联立可得N＝Ftan ，故选D。

9.(多选)在表面粗糙、倾角为θ的倾斜台面上，一块长为L，重力为G的长木块由静止开始滑下。已知木块与台面间的动摩擦因数为μ。木块在滑离台面的过程中，到达如图9所示位置时有L部分滑至台面外，则(　　)

图9
A.木块对台面的压力为Gcos θ
B.木块对台面的压力为Gcos θ
C.台面对木块的摩擦力为μGcos θ
D.台面对木块的摩擦力为Gcos θ
答案　AC
解析　对木块受力分析如图所示，在垂直台面方向，有N＝Gcos θ，因此木块对台面的压力为N＝Gcos θ，由滑动摩擦力公式可得f＝μN＝μGcos θ，故选A、C。
10.如图10所示，一物块置于水平地面上。当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为(　　)

图10
A.－1 B.2－
C.－ D.1－
答案　B
解析　当F1拉物块做匀速直线运动时，受力分析如图甲所示，将F1正交分解
则水平方向有F1cos 60°＝f1
竖直方向有F1sin 60°＋N1＝mg
其中f1＝μN1
联立解得F1＝
同理，当用F2推物块做匀速直线运动时，受力分析如图乙
水平方向有F2cos 30°＝f2
竖直方向有F2sin 30°＋mg＝N2
其中f2＝μN2
联立解得F2＝
根据题意知F1＝F2
解得μ＝2－，B正确。

11.如图11所示，截面为等腰直角三角形的斜面体A放在光滑水平面上，光滑球B的重力为G，放在斜面体和竖直墙壁之间，要使A和B都处于静止状态，作用在斜面体上的水平力F的大小为(　　)

图11
A.G B.G
C.1.5G D.2G
答案　A
解析　对处于平衡的A和B的整体受力分析如图甲，对B球受力分析如图乙。

由整体法可得：F＝N墙，对B球由合成法可得N墙＝Gtan θ，其中A为等腰直角三角形，由几何关系可知θ＝45°；联立各式可得F＝G，故A正确，B、C、D错误。
12.(2022·山东历城月考)如图12，两个相同的光滑小球甲和乙放在倾角为45°的斜面上，被一固定在斜面上的竖直挡板挡住，已知斜面对乙球的作用力大小为F，则斜面对甲球的作用力大小为(　　)

图12
A.F B.2F C.3F D.F
答案　C
解析　选乙球为研究对象，受力分析如图a，设甲对乙作用力为F1，则有F1＝F，G＝F，选甲球为对象，受力分析如图b，乙球对甲球的作用力F1′＝F1＝F，设斜面对甲的作用力为F2，在竖直方向G＋F1′cos 45°＝F2cos 45°，解得F2＝3F，C项正确。