2022年福建省中考数学真题(word版含答案)

2022年福建省初中毕业和高中阶段学校招生考试

数学试题

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. －11的相反数是（    ）

A. －11 B.  C.  D. 11

2. 如图所示的圆柱，其俯视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变.截止2021年底，全省终端用户达1397.6万户.数据13976000用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 不等式组的解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 化简的结果是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列.下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图.

综合指数越小，表示环境空气质量越好.依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（    ）

（参考数据：，，）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（    ）

A. 96 B.  C. 192 D.

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 四边形的外角和度数是_________.

12. 如图，在中，，分别是，的中点.若，则的长为_________.

13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是_________.

14. 已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数的值可以是_________.（只需写出一个符合条件的实数）

15. 推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为，令，

等式两边都乘以，得.  ①

等式两边都减，得.  ②

等式两边分别分解因式，得. ③

等式两边都除以，得.  ④

等式两边都减，得.  ⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________.

16. 已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中.若，则的值为_________.

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（8分）

计算：.

18.（8分）

如图，点，，，在同一条直线上，，，.

求证：.

19.（8分）

先化简，再求值：，其中.

20.（8分）

学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动，同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理，组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.

调查组设计了一份问卷，并实施两次调查.活动前，调查组随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间（单位：），并分组整理，制成如下条形统计图.活动结束一个月后，调查组再次随机抽取50名同学，调查他们一周的课外劳动时间（单位：），按同样的分组方法制成如下扇形统计图.其中组为，组为，组为，组为，组为，组为.

（1）判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组；

（2）该校共有2000名学生，请根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数.

21.（8分）

如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，.

（1）求证：；

（2）若的半径为3，，求的长（结果保留）.

22.（10分）

在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元.

（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？

（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值.

23.（10分）

如图，是矩形的对角线.

（1）求作，使得与相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，设与相切于点，，垂足为.若直线与相切于点，求的值.

24.（12分）

已知，，.

（1）如图1，平分，求证：四边形是菱形；

（2）如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于），，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于），若，求的度数.

25.（14分）

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点.是抛物线上一点，且在直线的上方.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若面积是面积的2倍，求点的坐标；

（3）如图，交于点，交于点.记，，的面积分别为，，.判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

数学试题参考答案

一、选择题：本题考查基础知识与基本技能。每小题4分，满分40分。

1. D   2. A   3. C   4. A   5. B   6. C   7. C   8. D   9. B   10. B

二、填空题：本题考查基础知识与基本技能。每小题4分，满分24分。

11.      12. 6     13.       14. 答案不唯一，负数即可    15. ④   16. 8

三、解答题：本题共9小题，共86分。

17. 本小题考查二次根式、绝对值、零指数幂等基础知识.满分8分.

解：原式.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.

18. 本小题考查全等三角形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观.满分8分.

证明：∵，

∴，即.

在和中，

，

∴，

∴.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.

19. 本小题考查平方差公式、分式基本性质等基础知识，考查因式分解、分式运算、二次根式化简等基本技能.满分8分.

解：原式

.

当时，

原式.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.

20. 本小题考查统计图、中位数、样本估计总体等基础知识，考查阅读理解能力、应用意识和数据分析观念.满分8分.

解：（1）活动前调查数据的中位数落在组；

活动后调查数据的中位数落在组.

（2）一周的课外劳动时间不小于的比例为，

.

答：根据活动后的调查结果，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为1400.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.

21. 本小题考查等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的性质和弧长公式等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理能力、空间观念与几何直观等数学素养.满分8分.

证明：（1）∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴.

又，，

∴，

∴.

（2）连接，.

由（1）得，

又∵，

∴，

∴.

∴的长.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.

22. 本小题考查一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数的性质等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算能力、模型思想、应用意识等数学素养.满分10分.

解：（1）设购买绿萝盆，吊兰盆.

根据题意，得，

解得，

因为，所以答案符合题意.

答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆.

（2）设购买绿萝盆，吊兰盆，购买两种绿植的总费用为元.

，

根据题意，得，解得，

因为是的一次函数，随的增大而增大，

又为整数，所以取最小值31时，的值最小.

当时，（元）.

答：购买两种绿植总费用的最小值为369元.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.

23. 本小题考查直角三角形的性质、特殊平行四边形的判定与性质、圆的概念与性质、锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力、运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化.满分10分.

解：（1）如图所示，即为所求作.

（2）设，的半径为.

∵与相切于点，与相切于点，

∴，，即.

∵，∴，

∴四边形是矩形.

又，

∴四边形是正方形.

∴.

在和中，，，

∴.

在中，，

∴.

∵四边形是矩形，

∴，，

∴，

又，

∴，

∴，

∴.

在中，，即，

∴，

即.

∵，

∴.

即的值为.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.

24. 本小题考查平行线的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等基础知识，考查特殊与一般、函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力、空间观念与几何直观等数学素养.满分12分.

解：（1）∵，∴.

∵，∴，.

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形.

又，

∴四边形是菱形.

（2）结论：.

∵，∴.

∵，∴，

∴.

∵，

∴.

∵，

∴，

∴.

（3）在上取一点，使得，连接.

∵，，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴.

设，，则.

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴，即.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.

25. 本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程、函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养.满分14分.

解：（1）将，代入，

得，解得.

所以抛物线的解析式为.

（2）设直线的解析式为，

将，代入，

得，解得.

所以直线的解析式为.

过点作轴，垂足为，交于点.

过点作，垂足为.

所以

.

因为，，所以.

因为的面积是面积的2倍，

所以，.

设，则.

所以，

即，

解得，.

所以点的坐标为或.

（3）因为，所以，，

所以，

所以.

因为，，

所以.

设直线交轴于点，则.

过点作轴，垂足为，交于点.

因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以.

设.由（2）可得，

所以.

又，所以，当时，的最大值为.

说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.