2021-2022学年北京三十九中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京三十九中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各数中，，，相邻两个之间的个数逐次加个，，，，无理数的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. ，可以得到用含的式子表示，正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 二元一次方程的正整数解的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个

5. 如图，直线，是截线．若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 已知：如图，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是

A. 相等
B. 互余
C. 互补
D. 互为对顶角

7. 在平面直角坐标系中，下面的点在第四象限的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，则点的对应点的坐标是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是

A.
B.
C.
D.
 

10. 如图所示为长方形纸带，将纸带沿折叠成图；再沿折叠成图；继续沿折叠成图按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住，整个过程共折叠了次，问图中的度数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

11. 把命题“两直线平行，内错角相等”改写成“如果，那么”的形式为______．
12. 比较大小：______用“”或“”连接
13. 已知关于，的二元一次方程组的解是，则______．
14. 若，则______．
15. 在图的棋盘中，如果“帅”位于点上，“相”位于点上，那么“炮”位于点______．

16. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______．
    
    
     

17. 如图，，，， ______ ．
    
    
     

18. 如图，要把池中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：______．
     

19. 有理数的立方根是______．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，，那么点的坐标为______，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共11小题，共60分）

21. 计算：．
22. 解方程组：．
23. 如图，直线与，分别相交于点，，与，分别相交于点，，，求证：．

24. 已知：如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，且．
    
    求证：；
    若，，求的度数．
25. 某企业计划将两批货物运往外地，第一批货物的总重量为吨，用节火车皮再加上辆汽车恰好可以装完；第二批货物的总重量为吨，用节火车皮加上辆汽车恰好可以装完．求每节火车皮和每辆汽车平均各装多少吨货物？
26. 按要求画图并填空：
    如图，点在的一边上．
    过点画直线，与的另一边相交于点；
    过点画的垂线段，垂足为点；
    过点画直线，交直线于点；
    ______；
    如果，，，则点到直线的距离为______．

27. 如图，在直角坐标系中
    若把向上平移个单位，再向左平移个单位得到，写出 、、的坐标，并在图中画出平移后图形．
    求出三角形的面积．

28. 已知：中，点为射线上一点，且不与点，点重合，交直线于点，交直线于点．
    画出符合题意的图；
    猜想与的数量关系，并证明你的结论．
29. 已知，是正整数．
    若是整数，则满足条件的的值为______；
    若是整数，则满足条件的有序数对为______．
30. “一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒假定主道路是平行的，即，且：：．
    填空：______；
    若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
    若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒．
31. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点的直线与，都有公共点，则称点是联络点．
    例如，点是联络点．
    以下各点中，______是联络点填出所有正确的序号；
    ；；．
    直接在图中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
的平方根是为．
故选：．
直接根据平方根的概念即可求解．
本题主要考查了平方根的概念，比较简单．
 

2.【答案】

【解析】解：由定义可知无理数有：，，共两个．
故选：．
无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
．
故选：．
首先移项，然后化系数为即可求解．
本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化就可用含的式子表示的形式．
 

4.【答案】

【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，不符合，
所以，二元一次方程的正整数解的个数是．
故选：．
根据二元一次方程，取为正整数，然后求解即可．
本题考查了二元一次方程的解，根据正整数解的定义，给特殊值进行计算即可，比较简单．
 

5.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
解得．
故选B．
根据两直线平行，同旁内角互补可得，然后把换成列出方程求解即可．
本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：图中，对顶角相等，
又，
，
，
两角互余．
故选：．
根据图形可看出，的对顶角与互余，那么与就互余．
本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．
 

7.【答案】

【解析】解：、在第一象限，故本选项错误；
B、在轴负半轴，故本选项错误；
C、在第四象限，故本选项正确；
D、在第三象限，故本选项错误．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

8.【答案】

【解析】解：点的对应点为，
平移规律为向右个单位，向上个单位，
点，
对应点的横坐标为，
纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
根据点、的坐标确定出平移规律，然后求出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，观察图形以及点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：、可判断，故此选项错误；
B、可判断，故此选项错误；
C、可判断，故此选项正确；
D、可判断，故此选项错误；
故选：．
根据平行线的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
 

10.【答案】

【解析】解：设，则，
折叠次后与重合，
，
如图，，
，
，
，
即．
故选：．
根据最后一次折叠后恰好完全盖住；整个过程共折叠了次，可得与重合，依据平行线的性质，即可得到的度数．
本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
 

11.【答案】如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等

【解析】解：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等．
故答案为：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等．
根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可．
本题考查了命题的构成，找出命题的题设和结论是正确改写的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，，
，
故答案为：．
首先把化成，然后进行大小比较即可．
本题主要考查实数大小比较的知识点，解答本题的关键是把化成，此题基础题，比较简单．
 

13.【答案】

【解析】解：把代入原方程组得：，
解这个方程组得：，
．
故答案为．
首先把代入原方程组得到关于、的方程组，然后解这个方程组求出、的值，最后代入所求代数式计算即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，也考查了求代数式的值的问题．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，，
，
因此．
故答案为：．
根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

15.【答案】

【解析】解：如图所示：“帅”位于点上，“相”位于点上，
可得原点位置，则“炮”位于点：．
故答案为：．
根据已知点的坐标得出原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

16.【答案】同位角相等，两直线平行

【解析】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
利用同位角相等，两直线平行画一条直线与原直线平行．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

17.【答案】

【解析】解：
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
求出，根据平行线的判定推出，根据平行线的性质得出，求出即可．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
 

18.【答案】直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短

【解析】

【分析】
本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．
根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】
解：根据垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短可得要把池中的水引到 处，可过 点引 于 ，然后沿 开渠，可使所开渠道最短．
故答案为：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．   

19.【答案】

【解析】解：有理数的立方根是，
故答案为：．
根据立方根的定义即可求出答案．
本题考查立方根，解题的关键是正确理解立方根的定义，本题属于基础题型．
 

20.【答案】 

【解析】解：，，
的坐标是，即，
的坐标是，即．
故答案为：；．
根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点、的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移，点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
 

21.【答案】解：

．

【解析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

22.【答案】解：，
由，可得：，
代入，可得：，
解得，
把代入，可得：，
原方程组的解是．

【解析】应用代入消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
，
又，
，
，
．

【解析】求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定定理和性质定理进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，
，

，
是的外角，
，
，
．

【解析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，难度适中．
根据平行线的性质和已知得出，根据平行线的判定推出即可；
根据平行线的性质求出，根据三角形的外角性质推出即可．
 

25.【答案】解：设平均每节火车皮装吨货物，每辆汽车装吨货物，
依题意得：，
解得：．
答：平均每节火车皮装吨货物，每辆汽车装吨货物．

【解析】设平均每节火车皮装吨货物，每辆汽车装吨货物，根据“第一批货物的总重量为吨，用节火车皮再加上辆汽车恰好可以装完；第二批货物的总重量为吨，用节火车皮加上辆汽车恰好可以装完”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，直线即为所求；
如图，线段即为所求；
如图，直线即为所求；

，
，
，
，
故答案为：；
，，
，
．
故答案为：．
根据垂线的定义画出图形即可；
根据垂线段的定义画出图形即可；
根据平行线的定义画出图形即可；
利用平行线的性质求解；
利用面积法求解．
本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型．
 

27.【答案】解：如图，即为所求，、、；



．

【解析】根据图形平移的性质画出平移后的，并写出 、、的坐标即可；
利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
 

28.【答案】解：如图，所示：
当点在线段上时，如图，，
证明：已知，
两直线平行，同位角相等，
已知，
，
．
当点在线段得延长线上时，如图，，
证明：，
，
，
，
．

【解析】根据题意分别根据当点在线段上时，当点在线段得延长线上时，画出图象即可；
利用平行线的判定与性质分别证明得出即可．
此题主要考查了平行线的判定与性质，利用分类讨论得出是解题关键．
 

29.【答案】  或

【解析】解：是整数，是正整数，
，
故答案为：；
是整数，
，或，，
因为当，时，是整数；
当，时，是整数；
即满足条件的有序数对为或，
故答案为：或．
，根据以上算式即可得到的值；
根据二次根式的性质和已知得出即可．
本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
 

30.【答案】解：；
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
当时，如图，

，
，
，
，

，
解得 ；
当时，如图，

，
，
，


，
解得  ，
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
或

【解析】

【分析】
本题考查平行线的性质，平行公理及推论．
根据 ， ： ： ，即可得到 的度数；
设 灯转动 秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当 时，根据 ，可得   ；当 时，根据 ，可得 ；
分两种情形，根据平行线的性质，构建方程解决问题即可．
【解答】
解： ， ： ： ，
，
见答案；

设灯 射线转动时间为 秒，
当 时，
过点 作 ，

，
，
， ，
，
，
，
又
，
解得： ，此时 与 共线，不符合题意，
当 时，同 的图可得 ，
则 ，
解得 ；
如图 中，当 时，

同 可知 ，
，
  

31.【答案】

【解析】解：设过点、点的直线为
，
，
得，
，
同样的方法求得过点，点的直线为
，
如图所示，直线、直线、线段、线段围成的阴影区域就是联络点点的区域．

；；．
当时，，这样的点在区域内，所以不是联络点．
当时，，这样的点在区域内，所以是联络点．
当时，，这样的点在区域内，所以不是联络点．
故答案为：．
所有的联络点所组成的区域为图中阴影部分含边界，如图所示：
．
根据题意画出联络点的区域，然后根据区域的界限函数解析式判断各个点是否在区域内，进而判断是否是联络点．
根据联络点的意义画出图形是直线、直线、线段、线段围成的区域．
本题考查了直线在坐标系中的位置，以及直线解析式．