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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第六章 数列 6.2 等差数列
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第六章 数列 6.2 等差数列，共53页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，同一个常数d，a1+n-1d，等差中项，ap+aq，S2n-Sn，S4n-S3n等内容，欢迎下载使用。
核心素养微专题6 例说数列中的逻辑推理
1.等差数列的概念一般地,如果数列{an}从第 项起,每一项与它的前一项之差都等于 ,即 恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的 . 2.等差数列的通项公式及其推广若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an= .该式可推广为an=am+(n-m)d(其中n,m∈N+).
an+1-an=d
3.等差数列通项公式与函数的关系an=a1+(n-1)d可化为an=nd+a1-d的形式.如果记f(x)=dx+a1-d,则an=f(n),而且(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);(2)当公差d≠0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列.这也说明,当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上.
4.等差中项如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的 ,且A= . 在一个等差数列中,中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项.5.等差数列的性质一般地,如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at= . ①特别地,当p+q=2s时,ap+aq=2as.②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 ,即
6.等差数列的前n项和公式
7.等差数列前n项和Sn的性质(1)等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项和构成的数列Sn, ,S3n-S2n, ,…构成等差数列. (2)数列{an}是等差数列⇔Sn= (A,B为常数).
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( )(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈ N* ,都有2an+1=an+an+2.( )(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )A.31B.32C.33D.34
3.(多选)(2020山东威海高三一模)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时,Sn<0
答案 ABC 解析因为S10=S20,所以a11+a12+…+a19+a20=5(a15+a16)=0.又因为a1>0,所以a15>0,a16<0,所以d<0,Sn≤S15,故A,B,C正确;S31= =31a16<0,故D错误.故选ABC.
4.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则 = .
5.(2019北京,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .
答案 0 -10 解析 在等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.
【例1】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.6(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )A.12B.13C.14D.15(3)(2020全国2,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .
答案 (1)C (2)B (3)25 解析(1)(方法1)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.
(方法2)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1.
(方法3)∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
(3)设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.∴S10=10a1+ d=-20+45=25.
解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
对点训练1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=( )A.9B.10C.11D.15(2)(2019江苏,8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是 .
答案 (1)B (2)16
(2)∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.
(1)证明 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
变式发散(1)本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.(2)将本例条件“an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= ”变为“Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2”,问题不变,试求解.
(2)①证明 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,
对点训练2(2017全国1,文17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
考向1 等差数列项的性质及应用【例3】 (1)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}的前9项的和S9等于( )A.66B.99C.144 D.297
答案 (1)B (2)BC 解析 (1)由等差数列的性质得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,
(2)由题意可得,因为数列{an}是等差数列,所以设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则a2n=a1+(2n-1)d,
对点训练3(2020贵州贵阳普通中学期末检测)在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=( )A.60B.56C.12D.4
答案 A 解析 ∵在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,∴(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故选A.
考向2 等差数列前n项和的性质
答案 (1)C (2)A (3)210
解题心得在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列
答案 (1)D (2)45
(2)∵{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.
考向3 等差数列前n项和的最值【例5】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为( )A.6B.7C.8D.9(2)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.∴5a13=0,即a13=0.∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)利用函数的性质:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.(2)邻项变号:①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当a1>0,d<0时,②利用相关性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.
对点训练5(1)(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,S6S8,则( )A.在数列{an}中,a1最大B.在数列{an}中,a3或a4最大C.S3=S10D.当n≥8时,an<0(2)在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )A.S15B.S16 C.S15或S16D.S17
核心素养微专题6 例说数列中的逻辑推理
1.等差数列的概念一般地,如果数列{an}从第 项起,每一项与它的前一项之差都等于 ,即 恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的 . 2.等差数列的通项公式及其推广若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an= .该式可推广为an=am+(n-m)d(其中n,m∈N+).
an+1-an=d
3.等差数列通项公式与函数的关系an=a1+(n-1)d可化为an=nd+a1-d的形式.如果记f(x)=dx+a1-d,则an=f(n),而且(1)当公差d=0时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);(2)当公差d≠0时,f(x)是一次函数,而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号,因此,当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列.这也说明,当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条直线上.
4.等差中项如果x,A,y是等差数列,那么称A为x与y的 ,且A= . 在一个等差数列中,中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的等差中项.5.等差数列的性质一般地,如果{an}是等差数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则as+at= . ①特别地,当p+q=2s时,ap+aq=2as.②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 ,即
6.等差数列的前n项和公式
7.等差数列前n项和Sn的性质(1)等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项和构成的数列Sn, ,S3n-S2n, ,…构成等差数列. (2)数列{an}是等差数列⇔Sn= (A,B为常数).
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( )(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈ N* ,都有2an+1=an+an+2.( )(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )A.31B.32C.33D.34
3.(多选)(2020山东威海高三一模)等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时,Sn<0
答案 ABC 解析因为S10=S20,所以a11+a12+…+a19+a20=5(a15+a16)=0.又因为a1>0,所以a15>0,a16<0,所以d<0,Sn≤S15,故A,B,C正确;S31= =31a16<0,故D错误.故选ABC.
4.(2019全国3,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则 = .
5.(2019北京,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .
答案 0 -10 解析 在等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0.由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.
【例1】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.6(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )A.12B.13C.14D.15(3)(2020全国2,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .
答案 (1)C (2)B (3)25 解析(1)(方法1)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.
(方法2)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1.
(方法3)∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
(3)设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.∴S10=10a1+ d=-20+45=25.
解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
对点训练1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=( )A.9B.10C.11D.15(2)(2019江苏,8)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是 .
答案 (1)B (2)16
(2)∵{an}为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,整理②得a1+4d=3,即a1=3-4d,③把③代入①解得d=2,∴a1=-5.∴S8=8a1+28d=16.
(1)证明 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,且an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
变式发散(1)本例条件不变,判断数列{an}是否为等差数列,并说明理由.(2)将本例条件“an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= ”变为“Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2”,问题不变,试求解.
(2)①证明 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1且Sn(Sn-an)+2an=0,得Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,
对点训练2(2017全国1,文17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
考向1 等差数列项的性质及应用【例3】 (1)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}的前9项的和S9等于( )A.66B.99C.144 D.297
答案 (1)B (2)BC 解析 (1)由等差数列的性质得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,
(2)由题意可得,因为数列{an}是等差数列,所以设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d,则a2n=a1+(2n-1)d,
对点训练3(2020贵州贵阳普通中学期末检测)在等差数列{an}中,若a2+a8=8,则(a3+a7)2-a5=( )A.60B.56C.12D.4
答案 A 解析 ∵在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴2a5=a3+a7=a2+a8=8,解得a5=4,∴(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=64-4=60.故选A.
考向2 等差数列前n项和的性质
答案 (1)C (2)A (3)210
解题心得在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列
答案 (1)D (2)45
(2)∵{an}为等差数列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6).∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.
考向3 等差数列前n项和的最值【例5】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为( )A.6B.7C.8D.9(2)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.∴5a13=0,即a13=0.∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)利用函数的性质:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.(2)邻项变号:①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当a1>0,d<0时,②利用相关性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.
对点训练5(1)(多选)已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,S6
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