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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第八章 平面解析几何 8.3 圆及其方程
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第八章 平面解析几何 8.3 圆及其方程，共42页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，圆的定义及方程，点到圆心，常用结论，考点自诊，答案12等内容，欢迎下载使用。
(D2+E2-4F>0)
2.点与圆的位置关系已知点M(x1,y1),圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上;2.圆心在任一弦的垂直平分线上;3.当两圆内切或外切时,切点与两圆心三点共线
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( )(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( )(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( )(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则 +Dx0+Ey0+F>0. ( )
2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为( )A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=1
答案 A 解析 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以圆心C(0,0).又圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+y2=1.
3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1
答案 A 解析 因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).又圆C与直线4x-3y=0相切,所以 =1,解得a=2.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
4.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 .
5. 已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△AOB外接圆的方程为 .
答案 (x-1)2+(y-2)2=5
【例1】 (1)已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )(2)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为( )A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16
答案 (1)C (2)B
解题心得求圆的方程的方法
对点训练1圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为 .
答案 (x+1)2+(y+2)2=10
(方法2)(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
【例2】 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.
(2)设点M(x,y),C(x0,y0),因为点B(3,0),M是线段BC的中点,由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0),即(x-2)2+y2=1(y≠0).故点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹问题的3种方法(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.(2)定义法:当题目条件符合圆的定义时,可直接利用定义确定其圆心和半径,写出圆的方程.(3)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( )A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为 .
答案 (1)D (2)(x-1)2+(y-3)2=2 解析 (1)由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.故选D.(2)依题意,圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心C(0,4).
考向1 借助目标函数的几何意义求最值【例3】 已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;
解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z= 的最大值与最小值分别为 和 .
考向2 借助圆的几何性质求最值【例4】 已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是 .
解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为 .
考向3 建立函数关系求最值
解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或均值不等式求最值.
对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),
(D2+E2-4F>0)
2.点与圆的位置关系已知点M(x1,y1),圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上;2.圆心在任一弦的垂直平分线上;3.当两圆内切或外切时,切点与两圆心三点共线
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( )(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( )(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( )(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则 +Dx0+Ey0+F>0. ( )
2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为( )A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=1
答案 A 解析 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以圆心C(0,0).又圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+y2=1.
3.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1
答案 A 解析 因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).又圆C与直线4x-3y=0相切,所以 =1,解得a=2.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
4.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 .
5. 已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△AOB外接圆的方程为 .
答案 (x-1)2+(y-2)2=5
【例1】 (1)已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )(2)在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线x-by+2b+1=0相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为( )A.x2+(y-1)2=4B.x2+(y-1)2=2C.x2+(y-1)2=8D.x2+(y-1)2=16
答案 (1)C (2)B
解题心得求圆的方程的方法
对点训练1圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程为 .
答案 (x+1)2+(y+2)2=10
(方法2)(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
【例2】 已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.
(2)设点M(x,y),C(x0,y0),因为点B(3,0),M是线段BC的中点,由(1)知,点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0),即(x-2)2+y2=1(y≠0).故点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹问题的3种方法(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.(2)定义法:当题目条件符合圆的定义时,可直接利用定义确定其圆心和半径,写出圆的方程.(3)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( )A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,则点M的轨迹方程为 .
答案 (1)D (2)(x-1)2+(y-3)2=2 解析 (1)由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0.故选D.(2)依题意,圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心C(0,4).
考向1 借助目标函数的几何意义求最值【例3】 已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;
解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
对点训练3已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z= 的最大值与最小值分别为 和 .
考向2 借助圆的几何性质求最值【例4】 已知点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,则|PA|+|PQ|的最小值是 .
解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.
对点训练4(2020山东济宁模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为 .
考向3 建立函数关系求最值
解题心得利用函数关系求最值时,先根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或均值不等式求最值.
对点训练5(2020宁夏银川模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),
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