2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第十章　概率、随机变量及其分布 10.3　随机事件的独立性、条件概率与全概率公式

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1.随机事件独立性(1)一般地,当　　　　 　　　时,就称事件A与B相互独立(简称独立),事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. (3)对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中　　 　　　　　　　不受其他事件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立. 
P(AB)=P(A)P(B)
任一个事件发生的概率
2.独立事件的概率乘法公式(1)若A与B相互独立,则　　　 　　　,同时(2)若A1,A2,…,An两两独立,则　　　　　 　　　. 
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
3.条件概率(1)条件概率的定义与公式
(2)条件概率的性质①0≤P(B|A)≤1;②P(A|A)=　　　　; ③如果B与C互斥,则P((B∪C)|A)=　　　　　 　　. 
P(B|A)+P(C|A)
温馨提示应用公式P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)的前提是两个互斥事件均以事件A的发生为条件.4.乘法公式及其推广(1)乘法公式:P(AB)=　　　　　　,其中P(A)>0. (2)乘法公式的推广:假设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=　　 　　　　　　　　,其中　　　　　　　表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率,　　　　　　　　　　表示A1,A2,A3同时发生的概率. 
P(A)P(B|A)
P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
P(A3|A1A2)
　P(A1A2A3)
5.全概率公式(1)P(B)=　　　　　 　　　. (2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:①任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;②A1+A2+…+An=Ω;③P(Ai)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)=　　　　　　=　　　　　　　. 
6.贝叶斯公式(1)一般地,当0P(Ai)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意概率非零的事件B,有
7.独立性与条件概率的关系当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A).
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
5.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4,汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为(　　)
答案 C　解析 设事件A表示“甲正点到达目的地”,事件B表示“甲乘火车到达目的地”,事件C表示“甲乘汽车到达目的地”,由题意知P(B)=0.4,P(C)=0.6,P(A|B)=0.8,P(A|C)=0.9.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.4×0.8+0.6×0.9=0.32+0.54=0.86.
解题心得1.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,先将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,再求概率.2.求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)直接计算较烦琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
对点训练1(2019全国1,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　　. 
答案 0.18　解析 前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
【例2】 一个盒子中有6个白球,4个黑球,这些球除颜色外均相同.每次从中不放回地任取1个,连取两次,求在第一次取到白球的条件下,第二次取到黑球的概率.
解题心得求条件概率的两个基本方法
对点训练2(1)高三毕业时,甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念,在甲和乙相邻的条件下,丙和乙也相邻的概率为(　　)
答案 (1)B　(2)A　
【例3】 甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率. 
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
 解题心得当直接求事件A发生的概率不好求时,可以采用化整为零的方式,即把A事件分解,然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.使用全概率公式解决实际问题的步骤:(1)用字母表示分拆事件和所求事件;(2)按照某种标准,将所求的复杂事件表示为两两互斥事件的并;(3)使用加法公式和乘法公式求得复杂事件的概率.
对点训练3某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到达目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱,结果都是英语书,则丢失的一箱是英语书的概率为(　　)
解析 设事件A为“丢失一箱后任取两箱是英语书”,事件B1为“丢失的一箱为英语书”,事件B2为“丢失的一箱为数学书”,事件B3为“丢失的一箱为语文书”.由全概率公式得
【例4】 假定具有症状S={S1,S2,S3,S4}的疾病有d1,d2,d3三种,现从20 000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下列数字:
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,他患有d1,d2,d3三种疾病的可能性各是多少?在没有别的资料可依据的诊断手段情况下,诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适?
解题心得若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率,熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确高效.
对点训练4同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家工厂的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家工厂产品数所占比例为2∶3∶5,将三家工厂产品混合在一起.(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;(2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?