第01讲 平面向量的数量积（主干知识复习）-【暑假自学课】2022年高二数学暑假精品课（人教版2019必修二）

第01讲 平面向量的数量积

       【学习目标】

1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．

2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．

3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．

5.能用坐标表示平面向量垂直的条件.

        【基础知识】

一．平面向量的数量积

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．

2.平面向量的数量积

(1)设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

(2)注意任何一个向量与零向量的数量积均为零。

解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是

数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．

二、投影向量

1.向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．

2.向量a在b方向上的投影向量·.

3.注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ.

三、平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

1.e·a＝a·e＝|a|cosθ.

2.a⊥b⇔a·b＝0.

3.当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)cosθ＝.

(5)|a·b|≤|a||b|.

四、平面向量数量积满足的运算律

1.a·b＝b·a；

2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；

3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

五、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

1.若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝.

3.设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

4.若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.

六、平面向量数量积运算的常用公式

1.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

2.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

3.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

七、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

1.题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

2.给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

八、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

3.把运算结果“翻译”成几何关系.

   【考点剖析】

考点一：利用定义求平面向量的数量积

例1．（2021-2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中）已知向量，满足，，则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】因为．故选D．

考点二：向量的投影向量

例2．（2021-2022学年天津市河北区高一下学期期中）已知，，与的夹角为135°，则在方向上的投影向量为（       ）

A．－ B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，与的夹角为135°，所以在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为－，故选A.

考点三：利用数量积的性质求向量的模

例3．（2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试）已知，是平面内的两个向量，，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，则，所以.

故选D

考点四：利用数量积性质求向量的夹角

例4．（2021-2022学年湖北省问津联合体高一下学期5月质量检测）已知在方向上的投影向量为，则与夹角的正弦值为___________.

【答案】

【解析】因为，，且在方向上的投影向量为，设与的夹角为，则，即，又因为，且，故．

考点五：利用数量积求解垂直问题

例5．（2021-2022学年河南省商丘市一高高一下学期五月月考）已知向量，满足，，，若，则实数的值为（       ）

A．2 B． C．9 D．

【答案】C

【解析】由，可得，由，可得，又，，则有，故，故选C

考点六：数量积的坐标运算

例6．（2021-2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中）已知向量，点，，则向量在上的投影向量的模长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，故在上的投影向量的模长为.

故选D

考点七：建立坐标系求解几何图形中的数量积问题

例7．（2021-2022学年河南省安阳市高一下学期联考）已知正方形的边长为2，为正方形的内部或边界上任一点，则的最大值是（       ）.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，

因为正方形的边长为2，所以，设，，

因为，所以，

因为，所以，因此，当且仅当时取等号，故选D

        【真题演练】

1．(2020年高考全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足，，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，．

，

因此，．故选D．

2．(2019年高考全国卷Ⅱ卷)已知，，，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，，∴,∴，解得，

即，则．

3．(2018年高考全国卷Ⅱ)已知向量，满足，，则 (　　)

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【解析】，故选B．

4．(2021年高考全国卷Ⅱ)已知向量．若，则________．

【答案】．

【解析】,，解得,故答案为．

5．(2021年高考全国卷Ⅰ)已知向量，若，则__________．

【答案】

【解析】因为，所以由可得，

，解得．

6．(2020年高考全国卷Ⅰ)设为单位向量，且，则______________．

【答案】

【解析】因为为单位向量，所以所以。解得：

所以

7．(2020年高考全国卷Ⅱ)已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________．

【答案】

【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：．

8．(2019年高考全国卷Ⅲ)已知，为单位向量，且，若，则___________．

【答案】．

【解析】因为，，所以，

，所以，所以．

       【过关检测】

1．（2021-2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期期中）已知点，则向量在方向上投影向量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，则向量在方向上投影向量为，故选B

2．（2021-2022学年江苏省常州市第二中学高一下学期5月学情调研）已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为与垂直，故，解得，则,

，设与夹角为，则.故选A.

3．（2021-2022学年河南省南阳市六校高一下学期第二次联考）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由与的夹角为锐角知且与不共线，即且，即且.

故选D.

4.（2021-2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中）如图，中，，，P为CD上一点，且满足，若AC＝3，AB＝4，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】， ，

三点共线，， ，又

，故选C

5．（2021-2022学年山东省菏泽市高一下学期期中）已知正方形ABCD的边长为1，向量，满足，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】∵，，

∴，又正方形ABCD的边长为1，

∴，故A错误；

∴，，即，故BC正确；

∴，即，故D正确.

故选BCD.

6.（2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中）如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】依题意，是两个单位向量，单位向量方向不一定相同，所以A选项结论错误.

单位向量的模为，所以，所以BD选项结论正确.

当时，，所以C选项结论错误.故选AC

7．（2021-2022学年上海交通大学附属中学高一下学期线上教学反馈）点O在所在的平面内，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则点O是的外心

B．若，则点O是的内心

C．若，则点O是的外心

D．若，则点O是的垂心

E．若，则点O是的内心

F．若，则点O是的垂心

【答案】BCDEF

【解析】对于A

设的中点为,则.

所以.

这就说明点共线,即点在边的中线上

同理,可以说明点在另外两边的中线上

所以为三角形的重心

故A错误

对于B

向量分别表示在边和上的单位向量, 设为和,

则它们的差是向是

则当 即时,点在的平分线上,

同理由 ,知点在的平分线上,

故为的内心

故B正确

对于C

由向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义可知表示以 、为邻边的平行四边形是菱形,

即 , 同理有,

所以为的外心

故C正确

对于D

由可得

所以，

即在边的垂线上

同理可证在边的垂线上

所以为三角形的垂心

故D正确

对于E

即

因为

所以

所以

故

因为与分别为和方向上的单位向量,

设, 则平分.

又、共线, 知平分.

同理可证平分, 平分,

所以O点是的内心.

故E正确

对于F

等价于

（设角，，的对边分别为,，）

（由三角形的高得到)

所以, 同理.

所以点是的垂心

故F正确

故选BCDEF

8. （2021-2022学年江苏省淮安市淮安区高一下学期期中）如图，平面向量，的夹角是60°，||＝4，||＝2，平面内任意一点E关于点B对称点为F，点F关于点C的对称点为点G，则＝______．

【答案】

【解析】，

所以，

.

9.（2021-2022学年浙江省A9协作体高一下学期期中联考）已知平面向量，，，满足，，，，则的最小值为________.

【答案】

【解析】因为，不妨设，因为，，不妨设

所以，因为，所以，，

故，

所以，当且仅当时等号成立，

所以

10. （2021-2022学年河北省保定市部分学校高一下学期第二次月考）已知向量，，，则____________.

【答案】

【解析】因为，所以

，，所以.