第08讲 空间向量及其运算的坐标表示 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第08讲 空间向量及其坐标运算的表示

       【学习目标】

1.握空间向量的坐标表示

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示

        【基础知识】

一、空间直角坐标系

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度   建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴    .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八 个部分.

二、空间点的坐标表示

 在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量     唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+zk  .在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.

三、空间向量的坐标表示

在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z)    .

四、空间向量常用结论的坐标表示

设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).

五、 证明两直线平行的步骤:

1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;

2.求出直线的方向向量;

3.证明两向量共线;

4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的
有向线段不共线,即可得证.

六、证明两直线垂直的步骤:

1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;

2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;

3.计算两直线方向向量的数量积为0;

4.由方向向量垂直得到两直线垂直.

七、求两异面直线夹角的步骤

1.求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);

2.利用公式cos<a,b>= 求解;

3.设异面直线a,b所成的角为θ,则cos θ=|cos<a,b>|.

   【考点剖析】

考点一：求点的坐标

例1．（2021-2022学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中）已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选D

考点二：求向量的坐标

例2．给定空间三个点､､.

(1)求以向量､为一组邻边的平行四边形的面积S；

(2)求与向量､都垂直的单位向量.

【解析】 (1)由题设，，，

则，故，

所以.

(2)设单位向量且，

由题意得：，可得：，则，可得，

所以或.

考点三：线性运算的坐标表示

例3．（2021-2022学年广东省江门市新会区陈经纶中学高二上学期期中）已知向量，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，则，故选C

考点四：数量积运算的坐标表示

例4．（多选）（2021-2022学年江苏省盐城市滨海县高二下学期月考）已知空间向量，，则下列正确的是（       ）

A． B． C． D．，

【答案】AB

【解析】向量，，，则A正确，

，则B正确，，则C错误，

，则D错误.故选AB

考点五：求长度或距离

例5．空间两点、之间的距离为______．

【答案】3

【解析】因点、，则.

考点六：求角度

例6．（2021-2022学年四川省成都市蓉城高中教育联盟高二下学期期中）已知，，则向量与的夹角为（       ）

A．90° B．60° C．30° D．0°

【答案】A

【解析】因为，，

所以，，

设向量与的夹角为，则

，

因为，所以，故向量与的夹角为，

故选A.

考点七：根据平行或垂直求参数的值

例7. （2021-2022学年江苏省盐城市滨海县五汛中学高二下学期期中）已知点，，，设，．

(1)求，夹角的余弦值．

(2)若向量，垂直，求的值．

(3)若向量，平行，求的值．

【解析】 (1)，，

故.

(2)由（1）可得

，，

因为向量，垂直，故，

整理得到：，故或.

(3)由（1）可得不共线，故，均不为零向量，

若向量，平行，则存在非零常数，使得，

整理得到：，

因为不共线，故，故或，

故.

        【真题演练】

1. （2021-2022学年江苏省盐城市高二下学期第二次学情分析考试）已知向量，若，则实数x的值为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

2.（2021-2022学年山东省临沂市多县区高二上学期期中）若向量，且与的夹角余弦值为，则实数等于（       ）

A．0 B．－ C．0或－ D．0或

3.（2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高二下学期期中）平行六面体中，，则点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

4. （多选）（2021-2022学年河北省张家口市宣化高二上学期期末）已知平面，其中点是平面内的一定点，是平面的一个法向量，若坐标为，，则下列各点中在平面内的是（       ）

A． B． C． D．

5. （多选）（2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中）已知正方体的棱长为1，分别在上，并满足，设，设的重心为G，下列说法正确的是（       ）

A．向量可以构成一组基底

B．当时，

C．当时，在平面上的投影向量的模长为

D．对任意实数，总有

6.（2021-2022学年江苏省淮安市涟水县高二下学期第二次阶段检测）已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.

7.（2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中）设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．

8. （2021-2022学年福建省龙岩市非一级达标校高二下学期期中联考）已知空间中三点，，．

(1)若，，三点共线，求的值；

(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．

【过关检测】

1.（2021-2022学年江苏省泰州中学高二下学期期中） 若点，，在同一条直线上，则（       ）

A．21 B．4 C．4 D．10

2.（2021-2022学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中）已知直线的方向向量分别为，若，则等于（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

3. （2021-2022学年江西省南昌市第十中学高二下学期期中）设，向量，且，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4. （2021-2022学年广东省华中师范大学海丰附属学高二上学期月考）已知，，且，则向量与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

5. （多选）（2021-2022学年福建省龙岩市一级校联盟（九校）高二下学期期中）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（       ）

A．若，则，的夹角是钝角

B．若，，则

C．若，则

D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底

6．（多选）（2021-2022学年福建省华安县高二下学期月考）已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．与夹角的余弦值为

7．（多选）（2021-2022学年湖北省黄冈市蕲春县高二上学期期中）已知空间中三点，，，则正确的有（       ）

A．与是共线向量 B．的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

8. 平面经过点且一个法向量，则平面与x轴的交点坐标是______．

9．已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．

10.（2021-2022学年四川省成都市蒲江县蒲江中学高二下学期5月月考）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.

(1)若，，求的斜60°坐标；

(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.

①若，求向量的斜坐标；

②若，且，求.