第09讲 空间向量的应用 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

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第09讲 空间向量的应用
【学习目标】
1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量
2.能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角以及垂直与平行关系
3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理
4.能用向量方法解决点到直线，点到平面，相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用．

【基础知识】
一、空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
2.空间直线的向量表示式
a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条 件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即.进一步地,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使③ ta(i),将=a代入(i)式,得(ii).(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式.
3.空间平面的向量表示式
取定空间中的任意一点O,可以得到点P在平面ABC内的充要条件是存在实数使得，该式称为空间平面的向量表示式。
二、平面的法向量求法
设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为
三、用向量证明空间中的平行关系
1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
2.设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v＝xv1＋yv2.
3.设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
4.设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2.
【解读】用向量证明直线与平面平行,可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,当然,直线要在平面外．用向量证明直线和平面垂直,可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直,也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行．
四、用向量证明空间中的垂直关系
1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
2.设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u.
3.设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
【解读】利用空间向量证明面面垂直的基本方法：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
五、两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则

l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围

[0,π]
求法
cosθ＝
cosβ＝
【解答】要求异面直线AG与CE所成角的余弦值,可利用向量的数量积,求出·及||和||的值,再套用公式cos〈,〉＝求得与所成角的余弦值,但上述结果并不一定是异面直线所成的角,由于异面直线所成角的取值范围为,所以,若求得的余弦值为负值,则取其绝对值．
六、直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ＝|cosβ|＝.
【解读】利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种方法：
①通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角；
②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角)．
注意：直线与平面所成角的取值范围是.
七、求二面角的大小
1.如图①,AB,CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈,〉．

2.如图②③,n1,n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
八、利用空间向量求点到平面的距离
如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为||＝.

【考点剖析】
考点一：求平面的法向量
例1．（多选）（2021-2022学年山东省济宁市兖州区高二上学期期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（       ）

A．直线的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
【答案】AC
【解析】由题意，,,,,,
∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确；
设平面的法向量为， 则,
由，得，
令得，则正确;
设平面的法向量为，则，
由，得，
令得，则不正确.故选.
考点二：用空间向量判断或证明平行关系
例2．．已知､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量，则下列所有正确结论的序号是___________.
①；②；③；④.
【答案】①②③④
【解析】因为､分别为不重合的两直线､的方向向量，､分别为不重合的两平面､的法向量；
直线，的方向向量平行（垂直）等价于直线､平行（垂直），故①、②正确；
平面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）、故③、④正确；
故答案为：①②③④
考点三：用向量判断或证明垂直关系
例3．（2021-2022学年江苏省盐城市滨海县五汛中学高二下学期期中）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（       ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】因为，即与平行，所以直线与平面垂直.故选B
考点四：用空间向量求异面直线所成角
例4．（2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高二下学期期中联考）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，
所以面，面，则.
设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，，
所以，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.故选A

考点五：用空间向量求线面角
例5．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成角的大小为___________.
【答案】60°
【解析】∵，∴，
又∵斜线和平面夹角的范围是，∴这条斜线与平面所成角的大小为．
考点六：用空间向量求二面角
例6．（2021-2022学年江西省南昌市六校高二下学期期中联考）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四边形为平行四边形，，.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】 (1)证明：在平行四边形中，令，则
，
在中，，所以.
又平面平面，且平面平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面；
(2)由（1）得，以为空间直角原点，
建立空间直角坐标系，如图所示，

令，
，，，，
，，，
设平面的法向量为，则
得
令，得，，
所以平面的法向量为；
设平面的法向量为，
即
令，得，
所以平面的法向量为.
所以，由图可知二面角为钝角，
所以所求二面角的余弦值为.
考点七：用空间向量求距离
例7. （2021-2022学年福建省龙岩第一中学高二下学期第二次月考）已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（       ）
A． B． C．4 D．10
【答案】C
【解析】由题意，得，又知平面的一个法向量，
则到平面的距离，故选C.

【真题演练】
1.（2021-2022学年江苏省宿迁市三校高二5月联考）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（       ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题意得：，所以，解得：，故选C
2. （2021-2022学年贵州省遵义市第五中学高二上学期期中）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，，则，，
设异面直线PN和BM所成角为，则.故选B.
3. （2021-2022学年广东省广州市奥林匹克中学高二6月月考）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．//
B．
C．//平面
D．平面
【答案】B
【解析】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，
，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选B
4.（多选）（2021-2022学年重庆市南华中学校高二上学期10月月考）以下命题正确的是（       ）
A．直线l方向向量为，直线m方向向量，则l与m垂直；
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则；
C．平面的法向量分别为，则；
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则．
【答案】AD
【解析】，直线l与m垂直，A正确；
，或，B错误；
不共线，所以与不平行，故C错误；
，向量是平面的法向量，
，即，则，D正确．故选AD．
5.（2021-2022学年广东省潮州市高二上学期月考）两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为____
【答案】
【解析】两平面的法向量分别为，，
设两平面的夹角为，
所以，即，因为，
所以，即两平面的夹角为．
6. （2020-2021学年广东省江门市广雅中学高二下学期期中）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.

【答案】
【解析】如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：

则设，
则，设直线与所成角为
所以，即，
解得或（舍去），所以，
7. （2022新高考全国卷Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【解析】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
8.（2022新高考全国卷Ⅱ）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【解析】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面

（2）解：过点作，如图建立平面直角坐标系，
因为，，所以，

又，所以，则，，
所以，所以，，，，所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
所以
设二面角为，由图可知二面角为钝二面角，
所以，所以
故二面角的正弦值为；
【过关检测】
1. （2021-2022学年福建省古田县高二下学期月考）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面（       ）
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
【答案】D
【解析】由题意得，∵，∴⊥，∴直线l在平面α内或直线l与平面α平行．
故选D．
2. （2021-2022学年安徽省阜阳市临泉第一中学高二下学期月考）在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以D为坐标原点，DA,DC, 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，

则 ,则 ，
故 ，故线与直线所成角的余弦值为，
故选B
3. （2021-2022学年福建省龙岩市一级校联盟（九校）高二下学期期中）如图，正三棱柱的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，连接，，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
故为平面的一个法向量，
EF与平面所成角为，则
EF与平面所成角的正弦值为，故选A．
4.（2021-2022学年江苏省南京市第十三中学高二上学期12月月考）点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面ABC的法向量为，设二面角C—AB—O的大小为θ，则cosθ的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设平面ABO的法向量为，设，
则，于是有：，
因此，故选D
5.（多选）（2021-2022学年云南省会泽县高二下学期开学考试）已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列说法中，正确的有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】A选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，故A正确；
B选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，故B正确；
C选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，故C错误；
D选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，故D错误.
故选AB.
6.（多选）（2021-2022学年江苏省南京市第十三中学高二上学期12月月考）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（       ）
A．AP⊥AB B．存在实数λ，使
C．是平面ABCD的法向量 D．四边形ABCD的面积为
【答案】ACD
【解析】因为，所以，故A正确；
与不平行，故B错误．
因为，且与不平行，所以是平面ABCD的法向量，故C正确；
由

故四边形ABCD的面积为，
D正确；故选ACD．
7.（2021-2022学年江苏省淮安市淮安区高二下学期期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】设法向量为，则有，令得：，所以
8.（2021-2022学年广东省江门市部分名校高二下学期期中）已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.
【答案】
【解析】因为平面，所以，则，解得.
9. （2021－2022学年北京市清华大学附属中学高二下学期统练）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【解析】 (1)证明：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
所以，显然平面的法向量可以为，
所以，即，又平面，所以平面；

(2)解：因为，，设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
显然平面的法向量可以为，
设二面角为，由图可知二面角为钝角，
则，
所以二面角的余弦值为；
(3)解：由（2）知平面的法向量为，
又，设点到平面的距离为，
则
所以点到平面的距离；
10．（2020-2021学年甘肃省平凉市泾川县高二下学期期末）如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】 (1)证明：∵面，面，
∴，
又,
∴平面.
(2)取的中点为N，则两两垂直，
∴以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图，

则，
设面的法向量为，
则
令，则，．
又面，∴面的法向量，
∴，
又二面角的平面角为锐角，∴余弦值为．