2021-2022学年江苏省无锡市江阴市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列几何图形是中心对称图形的是

A. 角 B. 线段 C. 等腰三角形 D. 直角三角形

2. 要使分式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 一组数据共个，分为组，第到第组的频数分别为，，，，第组的频率为，则第组的频数为

A.  B.  C.  D.

4. 已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为

A.  B. 或 C.  D. 或

5. 下列各事件中，属于必然事件的是

A. 抛一枚硬币，正面朝上
B. 早上出门，在第一个路口遇到红灯
C. 在平面内，度量一个三角形的内角度数，其和为
D. 本书分放在个抽屉，至少一个抽屉内有本书

6. 要想了解万名考生的数学成绩，从中抽取了名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是

A. 这名考生是总体的一个样本 B. 每位考生的数学成绩是个体
C. 万名考生是总体 D. 名考生是样本的容量

7. 若将分式中，的值都扩大倍，则分式的值

A. 不变 B. 缩小倍 C. 扩大倍 D. 扩大倍

8. 平行四边形的对角线长为，，一边长为，则，的值可能是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

9. 如图，正方形中，，相交于点，是的中点．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图所示，则的长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，、是线段上的两点，且，，，点是线段上的一动点，分别以、为斜边在同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为、，如图所示，连接并取中点，连，点从点出发运动到点，则线段扫过的图形面积为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共16分）

11. 当______时，分式的值为．
12. 一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在、，则估计箱子里蓝球有______个．
13. 已知一个正方形的对角线长为，则此正方形的面积为______．
14. 四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有平行四边形、矩形、等腰三角形、菱形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为______．
15. 若用去分母法解分式方程会产生增根，则的值为______．
16. 如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为______．
    
     

17. 如图，四边形中，，，为的平分线，，，、分别是、的中点，则的长为______．
     

18. 已知平面直角坐标系中，点、在动直线为常数且上，，点是平面内一点，以点、、、为顶点的平行四边形面积的最大值是______．

三．解答题（本题共9小题，共74分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解方程：
                 
    ．
21. 先化简：，再从，，，四个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．
22. 某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图如图
    请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
    扇形统计图中的值为______，“活动时间为天”的扇形所对圆心角的度数为______；
    补全频数分布直方图；
    如果该市共有初一学生人，请你估计“活动时间不少于天”的大约有多少人？

23. 如图，的顶点坐标分别为，，．
    
    画出关于点的中心对称图形；
    画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为______；
    若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为______用含，的式子表示
24. 已知：如图，平行四边形中，、分别为和的中点．
    求证：四边形是平行四边形；
    当的边、满足什么数量关系时，四边形是矩形，请说明理由．
     

25. 只用无刻度的直尺作图保留作图痕迹，不要求写作法
    如图，已知，，点在边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
    如图，已知是菱形中边上的中点，请你在图中画出一个矩形，使得其面积等于菱形的一半．

26. 昆明市周边蔬菜基地种植了白菜和菠菜两种蔬菜共亩，设种植白菜亩，总收益为万元，有关数据见表：

求关于的函数关系式收益销售额成本；
若计划投入的总成本不超过万元，要使获得的总收益最大，基地应种植白菜和菠菜各多少亩？
已知白菜每亩地需要化肥，菠菜每亩地需要化肥，根据中的种植亩数，基地计划运送所需全部化肥，为了提高效率，实际每次运送化肥的总量是原计划的倍，结果运送完全部化肥的次数比原计划少次，求基地原计划每次运送多少化肥？

27. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，
    点的坐标为______；
    若点为对角线上的动点，作等腰直角三角形，使，如图，连接，则与的关系位置与数量关系是______，并说明理由；
    在的条件下，再作等边三角形，连接、，如图，在点运动过程中当取最小值时，此时______；
    在的条件下，点在轴上，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：角、等腰三角形、直角三角形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
线段能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】

【解析】解：由题意可知：

故选：．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

3.【答案】

【解析】解：第组的频数：，
则第组的频数为：，
故选：．
首先计算出第组的频数，再用总数减去前组的频数可得第组的频数．
此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比即频率频数总数．
 

4.【答案】

【解析】解：当为腰，为底时，
，
不能构成三角形；
当腰为时，
，
能构成三角形，
等腰三角形的周长为：，
故选：．
此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于，另一边等于，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．
此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
 

5.【答案】

【解析】解：、抛一枚硬币，正面可能朝上，可能朝下，是随机事件，故A不符合题意；
B、早上出门，在第一个路口可能遇到红灯，可能遇到绿灯，是随机事件，故B不符合题意；
C、在平面内，度量一个三角形的内角度数，其和为，不可能是，是不可能事件，故C不符合题意；
D、本书分放在个抽屉，至少一个抽屉内有本书是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

6.【答案】

【解析】解：这名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；
B.每位考生的数学成绩是个体，此选项正确；
C.万名考生的数学成绩是总体，此选项错误；
D.是样本的容量，此选项错误；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

7.【答案】

【解析】解：原式，
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

8.【答案】

【解析】解：、，所以不可能；
B、，所以不可能；
D、，所以不可能；
故选：．
如图：因为平行四边形的对角线互相平分，所，，在中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将各答案代入验证即可求得．
即，．
本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理．
 

9.【答案】

【解析】【试题解析】

解：如图，连接．

四边形是正方形，
，，
由题意，设，则，
，
，
解得或不合题意舍弃，
，
，
故选：．
连接，由题意，设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．

10.【答案】

【解析】解：延长、交于，连接、、，如图所示：

、都是等腰直角三角形，
，
，
，，
四边形是矩形，
是的中点，
点、、三点共线，且为的中点，
过作交于点，交于点，
则为的中位线，
则扫过的图形为梯形，
，，，
，
，
过作于，交于，
是等腰直角三角形，
，
，
，
线段扫过的图形面积为，
故选：．
延长、交于，连接、、，易证四边形是矩形，根据为中点，可得也是的中点，从而点的运动轨迹为线段，得到扫过的图形为梯形，求梯形面积即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，点的运动路径等，推导出点在线段上运动是解决本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
根据分式值为零的条件可得，且，再解即可．
此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

12.【答案】

【解析】解：估计箱子里蓝球有个，
故答案为：．
用球的总个数乘以摸到篮球的频率的稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
 

13.【答案】

【解析】解：正方形的面积．
故答案为：．
根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，熟记正方形的面积的求解方法是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：在这张卡片上，正面图案是中心对称图形的有平行四边形、矩形、菱形这个，
抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
直接利用概率公式求解可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】

【解析】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
解得：．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，设与的交点为，

四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故答案为．
利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，继而可求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．
此题考查了菱形的性质、勾股定理．注意菱形的对角线互相垂直平分．
 

17.【答案】

【解析】解：，
，
，，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
连接并延长交于，

，
，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
是的中点，
．
故答案为：．
根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，连接并延长交于，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：直线，
直线过定点，
，
过点作于点，如图所示：

则，
，
的面积最大值，
以点、、、为顶点的平行四边形面积的最大值是，
故答案为：．
由直线关系式可知直线过定点，根据点到直线的距离求的最大面积，进一步即可确定平行四边形的最大面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，涉及平行四边形的性质，点到直线的距离等，作出直线过定点是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：原式；

原式

．

【解析】先根据分式的减法法则计算，再因式分解、约分即可得；
先计算括号内分式的加法，再计算分式的除法即可得．
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
解得：，
经检验：是增根，
则原方程无解．

【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：


，
当，，时，原分式无意义，
，
当时，原式．

【解析】先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后从，，，四个数中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

22.【答案】 

【解析】解：；
“活动时间为天”的扇形所对圆心角的度数；
故答案为：；；
该校初一学生的总人数人
“活动时间为天”的人数为人，
频数分布直方图如图：

 人
答：该市活动时间不少于天的人数约是人．
用分别减去个活动天数所占的百分比得到的值，再用乘以“活动时间为天”所占的百分比得到活动时间为天”的扇形所对圆心角的度数；
利用“活动时间为天”的人数除以它所占的百分比得到该校初一学生的总人数；先计算出“活动时间为天”的人数，然后补全频数分布直方图；
用乘以可估计出“活动时间不少于天”的人数．
本题考查了频数率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．
 

23.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，；

 

【解析】

【分析】
本题考查了作图 旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
根据关于原点对称的点的坐标特征找到点 、 、 ，然后顺次连接起来即可；
利用网格特点和旋转的性质画出 、 、 的对应点 、 、 ，从而得到点 的坐标；
利用 中对应点的规律写出 的坐标．
【解答】
解： 见答案；
见答案，
点 的坐标为 ，
故答案为 ；
若 内一点 绕原点 逆时针旋转 的对应点为 ，则 的坐标为 ．
故答案为 ．   

24.【答案】证明四边形是平行四边形，
，，
，分别为和的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：时，四边形是矩形，
证明，且是的中点，
，
即，
四边形是矩形．

【解析】由题意可得，，又由，分别是和的中点可得，即可得出结论；
根据矩形的判定解答即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，关键是熟练运用这些性质解决问题．
 

25.【答案】解：如图中，射线即为所求．
如图中，矩形即为所求．
 

【解析】连接，交于点，作射线，射线即为所求．
连接，交于点作直线交于，连接，交于点，作直线交于，交于，连接，，，，矩形即为所求．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

26.【答案】解：设种植白菜亩，种植菠菜亩，
由题意得：，
答：与的关系式为；
由题意知：，
解得：．
中，
随的增大而增大，
当时，所获总收益最大，此时种植白菜亩，种植菠菜亩；
设原计划每次运送化肥，实际每次运送，
需要运送的化肥总量是，
由题意可得：，
解得：，
经检验是原方程得解．
答：基地原计划每次运送化肥．

【解析】根据种植白菜和菠菜共亩，可得出种植菠菜亩，再根据“总收益白菜每亩收益种植亩数菠菜每亩收益种植亩数”即可得出关于的函数关系式；
根据“投入成本白菜每亩成本种植亩数菠菜每亩成本种植亩数”以及总成本不超过万元，可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题；
设原计划每次运送化肥，实际每次运送，根据原计划运送次数比实际次数多，可得出关于的分式方程，解分式方程即可得出结论．
本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及分式方程的应用，解题的关键是：根据数量关系找出关于的函数关系式；根据一次函数的性质解决最值问题；根据数量关系得出分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程方程组或函数关系式是关键．
 

27.【答案】  ， 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，

四边形是正方形，是坐标原点，点的坐标为，
，，，，
，，
，
，
，，
点坐标，
故答案为：；
，，
理由如下：如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
，，
，
即；
为等边三角形，是等腰直角三角形，，
，，
是等腰三角形，且为底边，
当取最小值时，为最小值，即应当取最小值，
时，有最小值，
如图，

，，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，
故答案为：；

点坐标，，
，
设点
当为菱形的边时，

如图，若，
，
，
可得或，
向左平移个单位再向下平移个单位得到，
、，
若，
，
，
可得或，
向右平移个单位再向上平移个单位得到，
、；
当为菱形的对角线时，
则与重合，此时与重合，即，
综上所述，点坐标为或或或或．