数学必修 第一册3.3 幂函数学案设计

  3．3　幂函数

最新课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.

知识点一　幂函数的概念

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．

知识点二　幂函数的图象与性质

　幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．

[教材解难]

　教材P90思考

通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．

[基础自测]

1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　　　　B．1

C．2  D．3

解析：函数y＝＝x－4为幂函数；

函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；

函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；

函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．

答案：B

2．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)＝(　　)

A．8  B．6

C．4  D．2

解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得＝3α，∴α＝，则幂函数f(x)＝x，∴f(8)＝8＝4.

答案：C

3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)

A．1  B．2

C．1或2  D．3

解析：∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.

答案：A

4．判断大小：0.20.2________0.30.2.

解析：因为函数y＝x0.2是增函数，

又0.2<0.3，

∴0.20.2<0.30.2.

答案：<

题型一　幂函数的概念[经典例题]

例1　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．

其中幂函数的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　B．2

C．3  D．4

(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　)

A.1  B．－3

C．－1  D．3

(3)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝_____.

【解析】　(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．

(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，

所以所以m＝1.

(3)设f(x)＝xα，所以＝3α，α＝－2，

所以f(4)＝4－2＝.

【答案】　(1)B　(2)A　(3)

(1)依据幂函数的定义逐个判断．

(2)依据幂函数的定义列方程求m.

(3)先设f(x)＝xα，再将点(3，)代入求α.

方法归纳

(1)幂函数的判断方法

①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．

②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．

(2)求幂函数解析式的依据及常用方法

①依据．

若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．

②常用方法．

设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.

跟踪训练1　(1)给出下列函数：

①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有(　　)

A.1个  B．2个

C．3个  D．4个

(2)函数f(x)＝(m2－m－1)·x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝＝x－3和y＝＝x符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．

(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1，

解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．

故f(x)＝x3.

答案：(1)B　(2)f(x)＝x3

(1)利用幂函数定义判断．(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．

题型二　幂函数的图象及应用[经典例题]

例2　幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．

【解析】　过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，

当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p.

【答案】　n<q<m<p

依据α<0,0<α<1和α>1的幂函数图象的特征判断．

方法归纳

解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．

跟踪训练2　当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限．

解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．

所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限．

答案：四

要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点．

题型三　幂函数的单调性质及应用[教材P91例1]

例3　证明幂函数f(x)＝是增函数．

【证明】　函数的定义域是[0，＋∞)．

∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，有

f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝ .

因为x1－x2<0，＋>0，

所以f(x1)<f(x2)，即幂函数f(x)＝是增函数.

利用定义法证明幂函数的单调性．

教材反思

幂函数当α>0时在第一象限单调递增，当α<0时在第一象限单调递减．

比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象．

跟踪训练3　比较下列各题中两个幂值的大小．

(1)3.11.3与2.91.3；

(2) 与；

(3)与.

解析：(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3.

(2)方法一　函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又因为<，所以>.

方法二　＝4，＝3.

而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以4>3，即>.

(3)因为<0＝1；

而>0＝1；

所以<.

(1)利用函数y＝x1.3的单调性来判断．

(2)利用函数y＝x的单调性来判断．

(3)找中间量判断．

一、选择题

1．下列结论正确的是(　　)

A．幂函数图象一定过原点

B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数

C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数

D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数

解析：函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．

答案：D

2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为(　　)

A．－1,3　B．－1,1

C．1,3    D．－1,1,3

解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1,3.

答案：C

3．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是(　　)

解析：函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.

答案：D

4．函数y＝x在[－1,1]上是(　　)

A．增函数且是奇函数  B．增函数且是偶函数

C．减函数且是奇函数  D．减函数且是偶函数

解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x) ＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．

因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．

当x＝0时，y＝0，故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．

答案：A

二、填空题

5．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．

解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，

∴m2－1<0，解得－1<m<1；

∵图象关于原点对称，且m∈Z，

∴m＝0，∴f(x)＝x－1.

答案：f(x)＝x－1

6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．

解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，

∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.

答案：α<0

7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：

则不等式f(|x|)≤2的解集是________．

解析：由表中数据知＝α，∴α＝，

∴f(x)＝x，

∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.

答案：{x|－4≤x≤4}

三、解答题

8．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：

(1)是幂函数；

(2)是正比例函数；

(3)是反比例函数；

(4)是二次函数．

解析：(1)∵f(x)是幂函数，

故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，

解得m＝2或m＝－1.

(2)若f(x)是正比例函数，

则－5m－3＝1，解得m＝－.

此时m2－m－1≠0，故m＝－.

(3)若f(x)是反比例函数，

则－5m－3＝－1，

则m＝－，此时m2－m－1≠0，

 故m＝－.

(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，

即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.

9．比较下列各题中两个值的大小；

(1)2.3，2.4；

(2)() ，()；

(3)(－0.31)，0.35.

解析：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，

∴2.3<2.4.

(2)∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且<，

∴()>().

(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31) ＝0.31.

又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，

∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.

[尖子生题库]

10．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解析：∵幂函数f(x)经过点(2，)，

∴＝2，即2＝2.

∴m2＋m＝2.

解得m＝1或m＝－2.

又∵m∈N*，∴m＝1.

∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．

由f(2－a)>f(a－1)，

得解得1≤a<.

∴a的取值范围为.