高中数学第四章 指数函数与对数函数4.1 指数学案

  4．2　指数函数

第1课时　指数函数的概念

最新课程标准：

(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

知识点一　指数函数的定义

函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.

　指数函数解析式的3个特征

(1)底数a为大于0且不等于1的常数．

(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.

(3)ax的系数是1.

知识点二　指数函数的图象与性质

　底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．

[教材解难]

规定底数a>0且a≠1的理由

(1)如果a＝0，则

(2)如果a<0，比如y＝(－2)x，这时对于x＝，，，，…在实数范围内函数值不存在．

(3)如果a＝1，那么y＝1x＝1是常量，对此就没有研究的必要．

[基础自测]

1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)

A．y＝(－3)x　B．y＝－3x

C．y＝3x－1    D．y＝x

解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．

答案：D

2．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．R         B．(0，＋∞)

C．[0，＋∞)  D．(－∞，0)

解析：要使函数有意义，则2x－1>0，∴2x>1，∴x>0.

答案：B

3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图象之间的关系是(　　)

A．关于y轴对称  B．关于x轴对称

C．关于原点对称  D．关于直线y＝x对称

解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.

答案：A

4．函数f(x)＝的值域为________．

解析：由1－ex≥0得ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}，所以0<ex≤1，－1≤－ex<0,0≤1－ex<1，函数f(x)的值域为[0,1)．

答案：[0,1)

题型一　指数函数概念的应用[经典例题]

例1　(1)若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)

B．(1，＋∞)

C.

D．(－∞，1)

(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)·f(2)等于________．

【解析】　(1)由已知，得0<2a－1<1，则<a<1，所以实数a的取值范围是.

(2)设y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2，

所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.

【答案】　(1)C　(2)64

(1)根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠1，ax的系数是1.

(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2，)求a，最后求值．

方法归纳

(1)判断一个函数是指数函数的方法

①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．

②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．

(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤

跟踪训练1　(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；

(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)

①y＝2·()x　②y＝2x－1　③y＝x　④y＝xx　⑤y＝3　⑥y＝x.

解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，

则解得a<且a≠1.

(2)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.

答案：(1)(－∞，1)∪　(2)③

1.指数函数系数为1.

2．底数>0且≠1.

题型二　指数函数[教材P114例1]

例2　已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．

【解析】　因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝π，于是f(x)＝π.

所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝π＝，f(－3)＝π－1＝.

　要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式，即先求a的值．

教材反思

求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．

跟踪训练2　若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．

解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．

所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝.

设f(x)＝ax，代入(2,9)求出a.

一、选择题

1．下列函数中，指数函数的个数为(　　)

①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝2x－1.

A．0  B．1

C．3  D．4

解析：由指数函数的定义可判定，只有②正确．

答案：B

2．已知f(x)＝3x－b(b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(4)的值为(　　)

A．3  B．6

C．9  D．81

解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，

所以f(x)＝3x－2，f(4)＝9.可知C正确．

答案：C

3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是(　　)

A.    B．[－1,1]

C.  D．[0,1]

解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故选C.

答案：C

4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是(　　)

解析：需要对a讨论：

①当a>1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0<a<1时，f(x)＝ax过原点且斜率小于1，g(x)＝ax是减函数，显然B正确．

答案：B

二、填空题

5．下列函数中：

①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④y＝3；⑤y＝x.

是指数函数的是________(填序号)．

解析：①中指数式的系数不为1；②中y＝2x－1＝·2x的系数亦不为1；④中自变量不为x；⑤中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．

答案：③

6．若指数函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________.

解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．

因为f(x)过点，

所以＝a－2，

所以a＝4.

所以f(x)＝4x，

所以f＝4＝.

答案：

7．若关于x的方程2x－a＋1＝0有负根，则a的取值范围是________．

解析：因为2x＝a－1有负根，

所以x<0，

所以0<2x<1.

所以0<a－1<1.

所以1<a<2.

答案：(1,2)

三、解答题

8．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值．

解析：由指数函数的定义知

由①得a＝1或2，结合②得a＝2.

9．求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝2－1；(2)y＝.

解析：(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2≠1；故2－1>－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．

(2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2.

故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0,9]．

[尖子生题库]

10．设f(x)＝3x，g(x)＝x.

(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：

(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3；

f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π；

f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．