高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式导学案

  第2课时　诱导公式(二)

知识点　诱导公式五、六

　(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．

(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．

[教材解难]

准确记忆六组诱导公式

(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．

(2)这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．

[基础自测]

1．化简：sin＝(　　)

A．sin x　　B．cos x

C．－sin x  D．－cos x

解析：sin＝sin＝sin

＝cos x

答案：B

2．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.

答案：B

3．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)的值是(　　)

A.        B．－

C．－  D.

解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.

答案：B

4．sin 95°＋cos 175°的值为________．

解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.

答案：0

题型一　利用诱导公式求值[教材P193例5]

例1　已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值．

解析：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β.于是sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.

因为－270°<α<－90°，所以143°<β<323°.

由sin β＝>0，得143°<β<180°.

所以cos β＝－＝－＝－，

所以sin(37°＋α)＝sin γ＝－.

注意到(53 °－α)＋(37 °＋α)＝90 °，如果设β＝53 °－α，γ＝37 °＋α，那么β＋γ＝90 °，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．

教材反思

利用诱导公式五、六求值的三个关注点

(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．

(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．

(3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．

提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．

跟踪训练1　若cos(π＋α)＝－，且α∈，则tan＝________.

解析：因为cos(π＋α)＝－，所以cos α＝，因为α∈，所以sin α＝－＝－，

所以tan＝tan＝tan＝＝＝＝＝.

答案：

由cos(π＋α)可求出cos α，进而可求sin α，tan可化为sin α，cos α的关系．

题型二　利用诱导公式证明恒等式[经典例题]

例2　求证：＝.

【解析】　证明：右边＝

＝

＝

＝

＝＝＝左边，

所以原等式成立.

等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明．

方法归纳

证明三角恒等式的常用方法

(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．

(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．

(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.

跟踪训练2　求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.

解析：证明：左边＝·[－sin(2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．

等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．

题型三　诱导公式的综合应用[经典例题]

例3　已知f(α)＝.

(1)化简f(α)．

(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．

(3)若α＝－，求f(α)的值．

【解析】　(1)f(α)＝＝＝－cos α.

(2)因为cos＝，又cos＝cos ＝－sin α，即sin α＝－，而α是第三象限角，

所以cos α＝－＝－＝－，所以

f(α)＝－cos α＝.

(3)α＝－π时，f(α)＝－cos α＝－cos＝－cos＝－cos＝－.

首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题．

方法归纳

用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．

(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．

跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．

解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，

所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，

所以原式＝＝－·＝×＝2.

首先注意α的范围．求出a的范围与值再利用诱导公式求值．

课时作业 32

一、选择题

1．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于(　　)

A．－　　B.

C．－   D.

解析：cos(π＋A)＝－cos A＝－，

∴cos A＝，

∴sin＝cos A＝.

答案：B

2．下列式子与sin相等的是(　　)

A．sin  B．cos

C．cos  D．sin

解析：因为sin＝－sin＝－cos θ，

对于A，sin＝cos θ；

对于B，cos＝－sin θ；

对于C，cos＝cos

＝－cos＝－sin θ；

对于D，sin＝sin

＝－sin＝－cos θ.

答案：D

3．已知tan θ＝2，则等于(　　)

A．2  B．－2

C．0  D.

解析：＝＝＝＝－2.

答案：B

4．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)

A．cos(A＋B)＝cos C  B．sin(A＋B)＝－sin C

C．cos＝sinB     D．sin＝cos

解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，

∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，

故A，B错；

∵A＋C＝π－B，∴＝，

∴cos＝cos＝sin，故C错；

∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D对．

答案：D

二、填空题

5．若cos α＝－，且α是第三象限角，则cos＝________.

解析：因为cos α＝－，且α是第三象限角，所以sin α＝－，cos＝cos＝－sin α＝.

答案：

6．求＝________.

解析：原式＝

＝＝－tan α.

答案：－tan α

7．已知cos α＝，则sin·costan(π－α)＝________.

解析：sincostan(π－α)

＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α

＝1－2＝.

答案：

三、解答题

8．已知cos＝，求下列各式的值：

(1)sin；

(2)sin

解析：(1)sin＝sin

＝cos＝.

(2)sin＝sin

＝－sin

＝－cos＝－.

9．化简：

(1)·sincos；

(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．

解析：

(1)原式＝·sin(－sin α)

＝·(－sin α)

＝·(－cos α)(－sin α)

＝－cos2α.

(2)原式＝sin(－α－π)cos＋cos αcos[－(2π－α)]

＝sin[－(α＋π)]cos＋cos αcos(2π－α)

＝－sin(α＋π)sin α＋cos αcos α

＝sin2α＋cos2α

＝1.

[尖子生题库]

10．在△ABC中，已知sin＝sin，试判断△ABC的形状．

解析：∵A＋B＋C＝π，

∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.

又sin＝sin，∴sin＝sin，

∴sin＝sin，∴cos C＝cos B，

又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，

故△ABC为等腰三角形．