2021-2022学年福建省宁德市古田县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省宁德市古田县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列运算中，结果正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 新冠病毒的直径约是米，其中数据用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为

A.  B.  C.  D.

4. 如表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，过直线外一点作它的平行线，其作图依据是

A. 两直线平行，同位角相等
B. 两直线平行，内错角相等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 内错角相等，两直线平行
 

8. 若多项式是一个完全平方式，则的值是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，三角形的角平分线、中线、高的画法错误的个数是

A.  B.  C.  D.

10. 观察下列一组数：，，，，，，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算： ______ ．
12. 如图，于点，，，则______．
     

13. 已知，则______．
14. 如果三角形的两边分别为和，且它的周长为偶数，那么第三边的长等于______ ．
15. 如图，的面积是，点、、分别是、、的中点，则的面积是______．
    
     

16. 如图，将纸片沿翻折得到，恰好，若，，则 ______ 度
     

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：；
    利用整式乘法公式计算：．
18. 计算：
    ；
    ．
19. 先化简．再求值：，其中，．
20. 如图，在中，，，求．
    
     

21. 完成下面的证明：
    已知：如图，，．
    求证：．
    证明：已知，
    __________________，
    ______，
    已知，
    等量代换，
    __________________，
    ______
22. 如图．已知线段，射线与的夹角．
    请用尺规作图法在上求作一点，使；保留作图痕迹，不写作法
    点到的距离是线段______的长度，其距离______填“大于“小于”或“等于”
     

23. 五一小长假，小王一家开车去太姥山景区游玩，返程时从景区出发，其行驶路程千米与时间之间的关系如图所示，行驶一段时间到达地时，汽车发生了故障，需停车检修，为了按时赶到地，为了能在高速公路恢复收费前下高速，车修好后加快了速度，结果恰好赶在时前下高速．
    上述问题中自变量是______，因变量是______；
    汽车从景区到地用了______小时，平均每小时行驶______千米；
    车修好后每小时行驶多少千米？写出计算过程

24. 你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
    ；
    ；
    ；
    
    由此我们可以得到：
    ______．
    ______．
    请你利用上面的结论，完成下面的计算：
    ．
25. 如图，直线，连接，直线，及线段把平面分成，，，四个部分，规定：线段上各点不属于任何部分，当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．
    
    当动点落在第部分时，求证：；
    当动点落在第部分时，求证：；
    当动点落在第部分时，，，之间有什么关系？并证明你的结论．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、由于同底数的幂相除底数不变指数相减，故当时，，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、依据幂的乘方运算法则可以得出，故本选项错误；
D、，正确．
故选：．
本题考查幂的运算法则，依据幂的运算法则计算即可．
本题考查幂的运算和整式的加减，是需要熟练掌握的知识．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了直角三角形的性质，得出 的度数是解题关键．
利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出 的度数，即可得出答案．
【解答】
解： 将一副直角三角尺如图放置， ，
，
．
故选： ．   

4.【答案】

【解析】解：由题意可得，所挂重物每增加，弹簧伸长，
该函数解析式为，
当时，

，
弹簧不挂物体时的长度为，
故选：．
据题意求得该函数解析式为，即可求得此题结果．
此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能根据题意求得对应函数解析式．
 

5.【答案】

【解析】解：、结果是，故本选项不符合题意；
B、结果是，故本选项不符合题意；
C、结果是，故本选项不符合题意；
D、结果是，故本选项符合题意；
故选：．
先根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式进行计算，再得出选项即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
把写成，然后利用平方差公式展开，再进行计算即可．
本题考查了平方差公式的利用，熟记公式并构造出公式结构是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由图可知，
直线和直线之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行，
故选：．
根据图形，可以发现直线和直线之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行，本题得以解决．
本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的判定和数形结合的思想解答．
 

8.【答案】

【解析】解：是一个完全平方式，
，
，
故选：．
根据完全平方式的定义计算即可．
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
 

9.【答案】

【解析】解：以上三个图都错误．
故选：．
三角形的中线是三角形的一个顶点与对边中点连接的线段；三角形的角平分线是指三角形内角的平分线与对边交点连接的线段；三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
三角形的高、中线和角平分线都是线段．
 

10.【答案】

【解析】解：，，，，，，
第个数为：．
故选：．
通过观察发现，分母是奇数，分子是，并且正负数交替出现，由此可得规律为．
本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
先根据垂直的定义，得出，再根据平行线的性质，即可得出的度数．
本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
，，
，
故答案为．
根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，再根据对应相等求得即可．
本题考查了同底数幂的乘法及逆运算，理清指数的变化是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：第三边长满足：，
又三角形的周长是偶数，
．
故答案为：．
根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知两边的差，而小于已知两边的和，求得相应范围后，根据周长是偶数舍去不合题意的值即可．
考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于已知两边的和．
 

15.【答案】

【解析】解：，点是的中点，
，
又点是的中点，
．
故答案为：．
首先根据，点是的中点，判断出；然后根据点是的中点，求出是多少即可．
此题主要考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．
 

16.【答案】

【解析】解：将纸片沿翻折得到，
，，
，，，，
，，
，，
，
故答案为：．
根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，求出，，
即可得出答案．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，能正确运用性质和定理进行推理是解此题的关键．
 

17.【答案】解：

；




．

【解析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
首先把化成，然后根据完全平方公式计算即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

18.【答案】解：原式
．
原式
．

【解析】根据整式的乘法运算以及积的乘方即可求出答案．
根据多项式乘多项式法则即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则、积的乘方运算，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：


，
当，时，原式．

【解析】先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

20.【答案】解：，
，
，
．

【解析】直角三角形中两锐角互余，据此性质，运用两次即可解答．
本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的两锐角互余．
 

21.【答案】解：；；  同位角相等，两直线平行  ；
两直线平行，同旁内角互补；
  ；  ；  同旁内角互补，两直线平行  ；
两直线平行，内错角相等．

【解析】解：已知，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
已知，
等量代换，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
先判断出得出，再等量代换，即可判断出即可．
本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
 

22.【答案】  小于

【解析】解：如图，点为所作；

，
，
，
点到的距离是线段的长度，，所以其距离小于．
故答案为：，小于．
作的垂直平分线交于点，则；
由于，则，然后根据点到直线的距离和垂线段最短求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离．
 

23.【答案】时间  行驶路程   

【解析】解：由题意可得问题中自变量是时间，因变量是行驶路程，
故答案为：时间，行驶路程；
由图象可得汽车从景区到地用了小时，
千米小时，
平均每小时行驶千米，
故答案为：，；


千米时，
车修好后每小时行驶千米．
由题意可得问题中自变量是时间，因变量是行驶路程；
由图象可得此题结果；
用车修好后的行驶路程除以行驶时间可求得此题结果．
此题考查了利用函数图象解决实际问题的能力的能力，关键是能准确理解图象中的信息．
 

24.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故答案为：；
，
故答案为：；


．
根据已知等式得出规律，即可得出结果；
原式变形后，根据已知等式得出规律，即可得出结果；
原式变形后，根据已知等式得出规律，即可得出结果．
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则，根据已知等式得出规律是解决问题的关键．
 

25.【答案】证明：如图，过点向左作，则，

，
，
，
，
；
证明：如图，过作，

，
，
，，
，
；
解：，理由是：

，
，
，
．

【解析】过点向左作，根据平行线性质求解即可；
过作，根据平行线性质得出，，即可得出答案；
根据平行线的性质及三角形外角性质得出结论是．
此题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，熟练掌握平行线的性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．