第04讲 有理数的乘方（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新七年级数学核心考点讲与练（人教版）

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第04讲 有理数的乘方（核心考点讲与练）
【知识梳理】
一．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

二．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
三．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
【核心考点精讲】
一．有理数的乘方（共6小题）
1．（2022•西青区二模）计算（﹣5）2的结果等于（　　）
A．﹣25 B．﹣10 C．10 D．25
【分析】由有理数的乘方可得出答案．
【解答】解：（﹣5）2＝25．
故答案为：D．
【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2022春•普陀区校级期中）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 　（﹣2）4　．
【分析】根据乘方的意义即可解答．
【解答】解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，
故答案为：（﹣2）4．
【点评】本题考查乘方的意义，解题的关键是掌握乘方的概念．
3．（2022春•姜堰区期中）计算：42n•（﹣）2n+1＝　﹣　（n为正整数）．
【分析】利用幂的乘方公式、同底数幂的除法进行计算即可．
【解答】解：42n•（﹣）2n+1
＝42n•（﹣）
＝﹣
＝﹣42n﹣（2n+1）
＝﹣4﹣1
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是熟练掌握两种法则．
4．（2022•海港区一模）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据有理数乘法和乘方的意义解答即可．
【解答】解：∵m个2相乘得2m，n个3相加得3n，
∴原式＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握an表示为n个a相乘是解题的关键．
5．（2021秋•南召县期末）．
【分析】把除法转化为乘法，先确定符号，把绝对值相乘，最后求和即可．
【解答】解：原式＝
＝﹣+1
＝．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数是解题的关键．
6．（2021秋•郎溪县期末）计算：．
【分析】根据乘方，绝对值的性质将其化简求解即可．
【解答】解：原式＝
＝﹣16÷（﹣12+4）
＝﹣16÷（﹣8）
＝2．
【点评】本题考查了有理数的乘方和混合运算及绝对值的性质，关键在于熟记知识计算．
二．非负数的性质：偶次方（共4小题）
7．（2022•巧家县模拟）若|m﹣3|+（n+2）2＝0，则﹣m﹣2n的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．0 D．1
【分析】根据偶次方和绝对值的非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵|m﹣3|+（n+2）2＝0，而|m﹣3|≥0，（n+2）2≥0，
∴m﹣3＝0，n+2＝0，
解得m＝3，n＝﹣2，
∴﹣m﹣2m＝﹣3+4＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了偶次方非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
8．（2021秋•任丘市期末）已知（a+1）2与|b﹣2|互为相反数，求（a+b）2019+a99的值．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0，列出方程，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵（a+1）2与|b﹣2|互为相反数，
∴（a+1）2+|b﹣2|＝0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴（a+b）2019+a99＝（﹣1+2）2019+（﹣1）99＝1+（﹣1）＝0，
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
9．（2022春•朝阳区校级期中）已知实数a，b满足|a﹣|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为 　3　．
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后相乘计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣＝0，b﹣2＝0，
解得a＝，b＝2，
所以ab＝（）2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
10．（2022春•长沙月考）已知：2（m+2）2+|n﹣1|＝0．
求的值．
【分析】利用绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵2（m+2）2+|n﹣1|＝0，而（m+2）2≥0，|n﹣1|≥0，
∴m+2＝0，n﹣1＝0，
解得m＝﹣2，n＝1，
∴
＝6m2n3﹣（﹣4mn3﹣3mn+5mn3﹣2mn﹣6m2n3）
＝6m2n3+4nm3+3mn﹣5nm3+2mn+6m2n3
＝12m2n3+5mn﹣mn3
＝mn（12mn2+5﹣n2）
＝（﹣2）×1×[12×（﹣2）×12+5﹣1]
＝（﹣2）×（﹣20）
＝40．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
三．有理数的混合运算（共5小题）
11．（2022春•遵化市期中）计算（﹣+﹣）×（﹣24）的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10
【分析】根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：（﹣+﹣）×（﹣24）
＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）
＝﹣22+28+（﹣18）+13
＝1，
故选：A．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．
12．（2022春•嘉定区校级期中）计算：﹣25+26＝　32　．
【分析】先算乘方，再算加法即可．
【解答】解：﹣25+26
＝﹣32+64
＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．（2021秋•连州市期末）计算：（﹣3）2+6＝　15　．
【分析】先算乘方，再算加法，进行计算即可解答．
【解答】解：（﹣3）2+6
＝9+6
＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．
14．（2022•莲湖区一模）计算：﹣12+2×|﹣4|＝　7　．
【分析】原式先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加法即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣1+2×4
＝﹣1+8
＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2022•青县一模）计算：．
解法1：原式＝①＝②＝0③

解法2：原式＝①＝②＝③
（1）解法1是从第 　①　步开始出现错误的；解法2是从第 　③　步开始出现错误的；（填写序号即可）
（2）请给出正确解答．
【分析】（1）观察算式得出出现错误的步骤；
（2）先算乘除，后算减法．
【解答】解：（1）解法1是从第 ①步开始出现错误的；解法2是从第 ③步开始出现错误的．
故答案为：①，③；
（2）原式＝
＝
＝﹣35．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【过关检测】
一．选择题（共8小题）
1．（2022•白云区一模）计算：﹣12＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据幂的意义求解．
【解答】解：﹣12
＝﹣（1×1）
＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握（﹣1）2与﹣12的区别是解题的关键．
2．（2022•滑县模拟）（﹣1）2022的相反数是（　　）
A．﹣1 B．2022 C．﹣2022 D．1
【分析】先求出（﹣1）2022＝1，再根据相反数即可得到答案．
【解答】解：（﹣1）2022＝1，
1的相反数是﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘方和相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
3．（2022•鼓楼区二模）计算结果是212的式子是（　　）
A．25+27 B．224÷22 C．23×24 D．（22）6
【分析】根据有理数的加法可以判断A；根据同底数幂的除法可以判断B；根据同底数幂的乘法可以判断C；根据积的乘方可以判断D．
【解答】解：25+27≠212，故选项A不符合题意；
224÷22＝222，故选项B不符合题意；
23×24＝27，故选项C不符合题意；
（22）6＝212，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（2022春•梁山县期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，则x+y的值等于（　　）
A．1或5 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或5
【分析】根据绝对值和有理数的乘方求出x，y的值，根据x＞y分两种情况分别计算即可．
【解答】解：∵|x|＝2，y2＝9，
∴x＝±2，y＝±3，
∵x＞y，
∴当x＝2，y＝﹣3时，x+y＝﹣1；
当x＝﹣2，y＝﹣3时，x+y＝﹣5；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，考查分类讨论的思想，根据x＞y分两种情况分别计算是解题的关键．
5．（2022春•覃塘区期中）计算（﹣12）3的正确结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣6 D．6
【分析】根据有理数的乘方计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣1）3
＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握（﹣1）2与﹣12的不同是解题的关键．
6．（2022•新都区模拟）计算（﹣2）×（﹣5）2的结果等于（　　）
A．10 B．﹣50 C．50 D．20
【分析】先计算乘方，再计算乘法即可得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣2）×25
＝﹣50．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，乘法，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．
7．（2022春•闵行区校级期中）在（﹣5）2、﹣（﹣2.9）、﹣72、|﹣3|、0、、﹣1中，非负数共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】化简这些数，根据非负数的定义即可得出答案．
【解答】解：（﹣5）2＝25，
﹣（﹣2.9）＝2.9，
﹣72＝﹣49，
|﹣3|＝3，
非负数有：25，2.9，3，0，共5个，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，有理数，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．
8．（2022•蓝山县二模）定义运算：把1×2×3×⋯×n的缩写为n!，n!叫做n的阶乘，如3！＝1×2×3＝6，4!＝1×2×3×4＝12．请你化简1！×1+2!×2+3!×3+⋯+n!×n，得（　　）
A．（n+1）!﹣1 B．n!﹣1 C．（n+1）! D．（n+1）!+1
【分析】根据题目中的新定义，可以将题目中的式子变形，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
（n+1）!
＝n!×（n+1）
＝n!×n+n!
＝n!×n+（n﹣1）!×n
＝n!×n+（n﹣1）!×（n﹣1）+（n﹣2）!
＝n!×n+（n﹣1）!×（n﹣1）+（n﹣2）!×（n﹣2）+…+1!×1，
∴1！×1+2!×2+3!×3+⋯+n!×n＝（n+1）!，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
二．填空题（共5小题）
9．（2022•官渡区一模）若|a+2|+b2﹣6b+9＝0，则a+b＝　1　．
【分析】已知等式变形，利用非负数的性质求出a与b的值，原式整理后代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：|a+2|+（b﹣3）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝﹣2，b＝3，
则原式＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为零，那么这几个非负数都等于0是解决此题的关键．
10．（2022•金平区一模）已知a、b为有理数，且|a﹣3|+（3b+1）2＝0，则（ab）2022＝　1　．
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b的值，代入代数式求值即可得出答案．
【解答】解：∵|a﹣3|≥0，（3b+1）2≥0，
∴a﹣3＝0，3b+1＝0，
∴a＝3，b＝﹣，
∴（ab）2022
＝[3×（﹣）]2022
＝（﹣1）2022
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．
11．（2022春•房山区期中）若（a+1）2+|a﹣b+4|＝0，则a＝　﹣1　，b＝　3　．
【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值即可．
【解答】解：由题意得：
∴a+1＝0，a﹣b+4＝0，
∴a＝﹣1，b＝3．
故答案为：﹣1，3．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
12．（2022春•闵行区校级期中）已知（m﹣4）2+|n+3|＝0，则nm的值是 　81　．
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入计算即可．
【解答】解：根据题意得，m﹣4＝0，n+3＝0，
解得m＝4，n＝﹣3，
所以，nm＝（﹣3）4＝81．
故答案为：81．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13．（2022•兴平市模拟）《九章算术》中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺；蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半”．请计算出第四日后，蒲的长度为 　　尺．
【分析】根据蒲的增长规律计算出前四天的总长度即可．
【解答】解：3+3×+3×（）2+3×（）3
＝3+++
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了有理数的乘方，根据实际问题准确列出算式是解决问题的关键．
三．解答题（共4小题）
14．（2022•上思县模拟）计算：|﹣1|+2×32÷（1﹣4）．
【分析】先算乘方和去绝对值，然后计算出乘除法，最后算加法即可．
【解答】解：|﹣1|+2×32÷（1﹣4）
＝1+2×9÷（﹣3）
＝1+18÷（﹣3）
＝1+（﹣6）
＝﹣5．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．
15．（2022春•普陀区校级期中）计算：﹣42÷23+1÷（﹣）3．
【分析】先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可．
【解答】解：﹣42÷23+1÷（﹣）3
＝﹣16÷8+1÷（﹣）
＝﹣2+1×（﹣27）
＝﹣2+（﹣27）
＝﹣29．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．
16．（2022•兴宁区校级模拟）计算：﹣12022+4×（﹣3）÷（2﹣4）．
【分析】先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可．
【解答】解：﹣12022+4×（﹣3）÷（2﹣4）
＝﹣1+4×（﹣3）÷（2﹣4）
＝﹣1+（﹣12）÷（﹣2）
＝﹣1+6
＝5．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．
17．（2022•桑植县模拟）【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2②＝　1　；（﹣）③＝　1　；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　（﹣）3　，（）⑥＝　54　．
（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33．
【分析】【初步探究】（1）根据题目中的例子，可以计算出所求式子的值；
【深入思考】（2）仿照给出的算式，可以计算出所求式子的值；
（3）根据（2）中的计算过程和有理数的运算法则，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：【初步探究】
（1）2②＝2÷2＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）＝1，
故答案为：1，1；
【深入思考】
（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，
（）⑥＝÷÷÷÷÷＝×5×5×5×5×5＝54，
故答案为：（﹣）3，54；
（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33
＝144÷（﹣3）2×（﹣）4﹣（﹣3）4÷27
＝144÷9×﹣81÷27
＝16×﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答问题．