2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材）第二章　函数 2.4　幂函数及三类不等式的解法（绝对值、高次、无理）

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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材）第二章　函数 2.4　幂函数及三类不等式的解法（绝对值、高次、无理），共56页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，yxα，0+∞，单调递增，-aa，常用结论，考点自诊等内容，欢迎下载使用。

案例探究(三) f(x)=ax+ (ab≠0)型函数的性质及应用
1.幂函数(1)幂函数的定义:一般地,函数　　　　　称为幂函数,其中α为常数. (2)五种幂函数的图像
(3)五种幂函数的性质
{x|x∈R,且x≠0}
{y|y∈R,且y≠0}
当x∈[0,+∞)时,单调递增;当x∈(-∞,0)时,单调递减
当x∈(0,+∞)时,单调递减;当x∈(-∞,0)时,单调递减
2.分式不等式的解法
3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
(2)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.(3)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).(4)|f(x)|0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.
4.无理不等式的解法
5.一元高次不等式的解法(标根穿线法)(1)化x的最高次系数为正;(2)在数轴上标出方程的根;(3)从数轴上方穿针,奇穿偶回;(4)写出解集.
1.幂函数y=xα的图像在第一象限的两个重要结论(1)恒过点(1,1);(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(2)幂函数y=xα,当α>0时,在第一象限内,函数单调递增.(　　)(3)幂函数y=xα,当α<0时,在第一象限内,函数单调递减.(　　)(4)有些幂函数的图像经过第四象限.(　　)(5)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1).(　　)
2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图像,则a,b,c的大小关系为(　　)A.a>b>cB.a答案 D　解析根据幂函数的性质,可知选D.
4.不等式(x-1)(x-2)(x-3)<0的解集为　　　　.
答案 (-∞,1)∪(2,3)　解析方程(x-1)(x-2)(x-3)=0的三个根分别为1,2,3,标根穿线如图所示.故解集为(-∞,1)∪(2,3).
答案 (1)C　(2)B　
解题心得1.幂函数y=xα的特点:①系数必须为1,②指数必须为常数.2.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.
答案 (1)B　(2)C　
【例2】 (1)幂函数y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图像是(　　)(2)已知幂函数 (n∈Z)的图像关于y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则n的值为(　　)A.-3B.1C.2D.1或2
解题心得探讨幂函数图像的分布规律,应先观察图像是否过原点,过原点时α>0,否则α≤0;若α>0,再观察第一象限的图像是上凸还是下凸,上凸时0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增大得出结论.
对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应的是(　　)
(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点(a, )在幂函数f(x)=(a-1)xb的图像上,则函数f(x)是(　　)A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数
答案 (1)B　(2)A　
解题心得1.幂函数的主要性质(1)当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;(2)当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.
答案 (1)(3,5)　(2)A　
【例4】解下列不等式:(1)|x2+x|≤3x;(2)|x-1|+|x+2|<5;(3)|2x-1|-|x-2|<0.
(方法2)观察到若要使得不等式|x2+x|≤3x成立,则3x≥0,即x≥0,进而|x2+x|内部恒为正数,绝对值直接去掉,即只需解x2+x≤3x即可.解得0≤x≤2,∴不等式的解集为[0,2].
(2)令两个绝对值分别为零解得x=1,x=-2,①当x>1时,不等式变为x-1+x+2<5,解得x<2,∴1-3,∴-3解题心得1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点,选择更简便的方法.2.零点分段法的好处在于,一段范围可将所有的绝对值一次性去掉,缺点在于需要进行分类讨论,对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求,以及如何整理结果,这些细节部分均要做好,才能保证答案的正确性.
对点训练4(1)不等式|3x-4|>x2的解集为(　　)A.(-4,1)B.(-1,4)C.(-4,-1)∪(1,4)D.(-∞,-4)∪(1,+∞)(2)不等式|x+3|>|2-x|的解集是　　　　. (3)设x∈R,不等式|x|+|2x-1|>2的解集为　　　.
解析 (1)由|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4【例5】 (1)解不等式(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.(2)解不等式(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.
解 (1)①检查各因式中x的符号均正;②求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根);③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始,如图),④∴原不等式的解集为{x|-1解题心得1.在本例(1)中因为3是三重根,所以在点C处穿三次,结果相当于直接穿一次;2是二重根,所以在点B处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,对于因式(x-x1)n,当n为奇数时,曲线在点x1处穿过数轴;当n为偶数时,曲线在点x1处不穿过数轴,归纳为“奇穿偶不穿”.2.在本例(2)中,不等式若带“=”号,点画为实心,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2点,但x=-2满足“=”的条件,不能漏掉.
对点训练5解不等式x(x-1)2(2-x)(x+1)≤0.
解原不等式可化为x(x-1)2(x-2)(x+1)≥0,标根穿线,如图:∴原不等式的解集为[-1,0]∪{1}∪[2,+∞)
解题心得无理不等式的等价转化,即由无理不等式转化为等价的有理不等式求通解,要求必须熟练掌握;其他解法要根据不等式的具体情况而定.
案例探究(三) f(x)=ax+ (ab≠0)型函数的性质及应用
(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R.(2)奇函数.(3)函数在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,无最值.
(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R.(2)奇函数.(3)函数在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,无最值.
(5)图像:对勾函数就是以y轴和直线y=ax为渐近线的双曲线.
(6)渐近线:y轴和直线y=ax.
对点训练1已知函数f(x)=2x,且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2ag(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围.
【例2】某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?
对点训练2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)求当隔热层建造为多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.