2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第八章 平面解析几何 8.8　抛物线

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1.抛物线的定义一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的距离　　　　的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的　　　　,定直线l称为抛物线的　　　　. 问题思考面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗?
提示 不一定.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线.
2.抛物线的几何性质
1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　)(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(　　)(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).(　　)(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　)(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是
3.(2020江西萍乡一模)已知动圆C经过点A(2,0),且截y轴所得的弦长为4,则圆心C的轨迹为(　　)A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线
答案 D　解析 设圆心C(x,y),圆C截y轴所得的弦为BD,过点C作CE⊥y轴,垂足为E(图略),则|BE|=2,|CE|=|x|.依题意|CA|2=|BC|2=|BE|2+|CE|2,所以(x-2)2+y2=22+x2,化简得y2=4x.所以圆心C的轨迹为抛物线.故选D.
4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程为　　　　　. 
答案 y2=16x或x2=-8y　解析 令y=0,得x=4.令x=0,得y=-2.所以抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0,-2),所以所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-8y.
【例1】 (1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(　　)A.(0,-4) B.(0,-2) C.(0,2)D.(0,4)(3)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线C的准线的距离为(　　)A.6B.5C.4D.3
答案 (1)C　(2)BC　(3)A　
(3)由题意得,抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,连接OB,由|FA|=2|FB|,得|AM|=2|BN|,则B为AP的中点.因为O为PF的中点,所以|OB|= |FA|,所以|OB|=|FB|,所以点B的横坐标为1.
又B为AP的中点,点P(-2,0),所以点A的横坐标为4,所以点A到抛物线C的准线的距离为4+2=6.故选A.
解题心得1.涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,则|PF|=x0+ .若过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p.若遇到抛物线其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到.
对点训练1(1)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=(　　)A.8D.12(2)(2020河北衡水三模)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA|+|FB|+|FC|=10,则x1+x2= (　　)A.6B.5C.4D.3
答案 (1)B　(2)A　
解析 (1)如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足分别为D,E,设|AB|=|BC|=m,直线l的倾斜角为α.则|BE|=m|cs α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cs α|),
(2)由已知得抛物线的准线方程为x=-1,根据抛物线的定义,知|FA|=1+1=2,|FB|=x1+1,|FC|=x2+1,则|FA|+|FB|+|FC|=2+x1+1+x2+1=10,故x1+x2=6.故选A.
【例2】 (1)(2020重庆调研)已知抛物线y2=2px(p>0),点C(-4,0),过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若△CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为(　　)A.y2=4xB.y2=-4x C.y2=8xD.y2=-8x(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线方程为(　　)A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2= x
答案 (1)D　(2)B　
解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.
答案 (1)C　(2)D　
(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)A.16B.14C.12D.10
答案 (1)D　(2)A　解析 (1)由已知得点C1(3,2 ),F(2,0),记抛物线C2的准线为l,如图,过点M作直线l的垂线,垂足为D,过点C1作直线l的垂线,垂足为D1,则|MF|+|MN|=|MD|+|MN|≥|MD|+|MC1|-1≥|C1D1|-1,当且仅当M,C1,D1三点共线,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|+|MN|取得最小值,则点M1的坐标为(1,2 ),|MF|-|MN|≤|MF|-(|MC1|-1)=|MF|-|MC1|+1≤|FC1|+1,当且仅当M为线段FC1的延长线与抛物线的交点,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|-|MN|取得最大值,
解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”这一原理来解决问题.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”这一原理来解决问题.
对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为(　　)A.2B.3C.D.4(2)设P为抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,点B(3,2).求:①|PB|+|PF|的最小值.②点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.
(2)解①由题意可知抛物线的准线方程为x=-1.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,过点P作PM垂直准线于点M,由抛物线的定义可知|PF|=|PM|,则|PB|+|PF|=|PB|+|PM|≥|BQ|=4,当点P为BQ与抛物线的交点时,等号成立.故|PB|+|PF|的最小值为4.
②由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,点A在准线上.由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于|PF|.于是,问题转化为|PA|+|PF|的最小值.如图,显然,当点P为AF与抛物线的交点时,|PA|+|PF|取最小值,此时最小值为
【例4】 (1)已知过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,A.3B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为(　　)
答案 (1)A　(2)D　
解题心得 求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.
(3)(2021年1月8省适应性测试)已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为(　　)A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0
答案 (1)A　(2)A　(3)B　
解题心得解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,则可直接使用公式|AB|=|x1|+|x2|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.[提醒]涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.
对点训练5(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F,与抛物线C分别交于A,B两点,且直线l与x轴不垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),则S△AOB=(　　)①求直线AB的斜率;②设M为曲线C上一点,曲线C在点M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.