2022届东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第四次模拟联考文科数学试题含解析

2022届东北三省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校高三5月第四次模拟联考

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数满足,则=

A． B． C． D．

2．已知，，则集合M、N之间的关系为（       ）

A． B．

C． D．

3．已知等差数列的前项和为，若，则

A．36 B．72 C．144 D．288

4．已知命题“”为真命题，“”为真命题，则（       ）

A．为假命题，为真命题 B．为真命题，为真命题

C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为假命题

5．新冠肺炎疫情发生以来，医用口罩成为抗疫急需物资．某医用口罩生产厂家生产A、B、C三种不同型号的N95口罩，A、B、C三种型号的口罩产量之比为．为了提高这三种口罩的质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．在样本中B种口罩数量比A种口罩数量多40只，比C种口罩数量多80只，则n=（       ）

A．240 B．280 C．320 D．360

6．若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（       ）

A． B． C． D．

7．下列说法错误的是（       ）

A．相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

B．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好

C．相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%

D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

8．已知中，，，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（       ）

A． B． C． D．

9．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形E是BC的中点，则下列叙述正确的是（       ）

A．与是异面直线 B．平面

C． D．平面

10．已知数列满足，则数列的前5项和为（       ）

A． B． C． D．

11．已知是函数的一个极值点，则的值是（       ）

A．1 B． C． D．

12．已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的单调递减区间为__________.

14．运动会上甲、乙、丙、丁四人参加100米比赛，A，B，C，D四位旁观者预测比赛结果，A说：甲第三，乙第四；B说：甲第二，丙第一；C说：乙第二，丙第三；D说：乙第三，丁第一．比赛结束后发现，四位旁观者每人预测的两句话中，有且只有一句是正确的，比赛结果没有并列名次，则甲是第______名．

15．已知的面积为，则边长的最小值为__________.

16．已知函数（其中是自然对数的底数），若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则直线的方程可以是__________（写出满足条件一个直线的方程即可）.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．已知函数，从下面两个条件：条件①、条件②中选择一个作为已知．

(1)求时函数的值域；

(2)若函数图像向右平移m个单位长度后与函数的图像重合，求正数m的最小值．

18．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；

（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；

（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.

19．已知边长为2的等边（图1），点和点分别是边上的中点，将沿直线折到的位置，使得平面平面，点和点分别是边的中点（图2）.

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积.

20．已知函数（其中是自然对数的底数）.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求证：.

21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为，过点的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在定直线与直线交于点G，使，G，Q共线．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．［选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上任意一点，若将点的极径伸长为原来的倍至点，极角不变，记点的轨迹为．

(1)求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；

(2)设直线与曲线的交点为，，求．

23．［选修4—5：不等式选讲]

已知不等式的解集为A，a，．

(1)若或，求的最小值；

(2)若，且，求的最小值．

参考答案：

1．D

【解析】

【详解】

试题分析：由得，故选D．

考点：复数运算．

2．C

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求集合M，解分式不等式求集合N，即可判断M、N之间的关系.

【详解】

由，

由等价于，可得，

所以.

故选：C

3．B

【解析】

【详解】

因为是等差数列，又，，故选B.

4．A

【解析】

根据复合命题的真假表即可得出结果.

【详解】

若“”为真命题，则为假命题，

又“”为真命题，则至少有一个是真命题，

所以为真命题，即为假命题，为真命题.

故选：A

5．A

【解析】

【分析】

根据样本中、、三种不同型号的数量关系结合比例，由题意列出方程组求解即可.

【详解】

设A，B，C三种口罩数量分别为a，b，c，则，

所以，∴，则，，

∴，

故选A.

6．B

【解析】

【分析】

求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

双曲线的渐近线斜率为，则，即，故所求概率为，

故选：B.

7．B

【解析】

【分析】

根据相关系数的概念，可判定A；由残差的意义可判定BD；由相关指数的概念可判定C.

【详解】

，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，故A正确；

在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B错误；

相关指数，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率为64%，故C正确；

在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故D正确；

故选：B.

8．B

【解析】

【分析】

根据向量的线性运算法则，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】

如图所示，根据向量的线性运算法则，可得，

因为，且为的中点，可得，所以，

又因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且，所以，

则.

故选：B.

9．C

【解析】

证明共面，由此判断A选项错误.由与不垂直，判断B选项错误.通过证明平面，证得，由此判断C选项正确.由而与平面相交，判断D选项错误.

【详解】

对于A选项，由于都含于平面，所以不是异面直线，故A选项错误.

对于B选项，由于，所以与平面不会垂直，故B选项错误.

对于C选项，在等边三角形中，，根据直三棱柱中易得，所以平面，所以，所以C选项正确.

对于D选项，由于，而与平面相交，所以直线与平面不平行，故D选项错误.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.

10．D

【解析】

【分析】

先求出，得到，利用裂项相消法求和.

【详解】

因为，

所以.

所以前5项和为

故选：D

11．D

【解析】

【分析】

由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以.

【详解】

，

∴，∴，

∴

故选：D

12．A

【解析】

【分析】

根据题意可以求出，再利用两点间的距离公式表示出，整理得到关于的一个一元二次方程，利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可

【详解】

，

设点，则

即 有非负实根

解得

故选：A

13．##

【解析】

【分析】

根据复合函数的单调性求解，需注意函数的定义域.

【详解】

在上单调递增，，

当时，单调递减，

根据复合函数的单调性知在（也可）上单调递减，

故答案为：（也可）

14．二

【解析】

【分析】

根据A说两句话中，分类讨论，结合B、C、D的说法，进行判定，即可求解.

【详解】

由题意，若A说两句话中，当甲第三正硧，则B说甲第二错误，丙第一正确，

则C说：丙第三错误，乙第二正确，

则D说乙第三错误，丁第一正确与B说丙第一正确矛盾；

若A说两句话中，当乙第四正确，甲第三错误，则C说乙第二错误，丙第三正确；

D说乙第三错误，丁第一正确，则B说丙第一错误，甲第二正确．

故答案为：二.

15．

【解析】

【分析】

根据面积公式求出，再由余弦定理及均值不等式求最值即可.

【详解】

设中内角对应边分别为，

，当且仅当时取等号，

时取到，

故边长的最小值为.

故答案为：

16．（不唯一）

【解析】

【分析】

由函数解析式可得函数关于点中心对称，据此及函数为增函数由可得，据此求出满足条件的直线即可.

【详解】

在上单调递增，

，，

曲线关于点中心对称，

在平面直角坐标系中，所有满足即的点都不在直线上.

所以，直线上的点都满足，即直线在表示的半平面内，

故直线斜率为，纵截距小于等于2，如等.

故答案为：（不唯一）

17．(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）若选择①：根据余弦二倍角公式、诱导公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可；

若选择②：根据正弦二倍角公式、诱导公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可；

（2）若选择①：根据正弦型函数图像的变换性质进行求解即可；

若选择②：根据余弦型函数图像的变换性质进行求解即可；

(1)

若选择条件①作为已知：，

时，，

，

故函数的值域为；

若选择条件②作为已知：

时，，，

故函数的值域为；

(2)

若选择条件①作为已知：

函数图像向右平移个单位长度后，

得到函数，即的图像，

∵的图像与函数的图像重合．

∴，，即，，

当为正数时，．

若选择条件②作为已知：

函数图像向右平移个单位长度后，

得到函数，即的图像．

的图像与函数的图像重合．

∴，，即，，

当为正数时，．

18．（1）0.08，图见解析；（2）102；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由频率和为1，求得第七组的频率，并补全频率分布直方图；

（2）利用平均数求解公式，用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分即可.

（3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人，求得基本事件总数和分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数，从而求得概率.

【详解】

(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：

.

完成频率分布直方图如下：

(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：

(3)样本成绩属于第六组的有人，设为a，b，c，

样本成绩属于第八组的有人，设为d，e，

从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，

基本事件为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，

则总数，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件为：(a,b)，(a,c)，(b,c)，(d,e)，其个数，

他们的分差的绝对值小于10分的概率.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接，由三角形的中位线的性质和等边三角形的性质可证，进而得出，即可得证

（2）通过解三角形分别计算出，利用余弦定理求出，利用同角三角函数关系计算出，计算出的面积，根据题意是三棱锥的高，则体积可求

(1)

证明：连接点和点分别是边上的中点，，

等边中，点是边的中点，，

等边中，点是边的中点，，

又平面，平面平面，且平面平面，

平面，

平面

(2)

由（1）可知，平面，在直角中，为的高，

在中，，

由余弦定理得：，

所以.

在中采用余弦定理可得

中，由余弦定理得：

所以三棱锥的体积

20．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据导数的几何意义计算即可

（2）根据题意构造函数，证明即可，利用导数研究的单调性，求出的最小值即可

(1)

，

，，

所以在处的切线方程为，即

(2)

，

构造函数，

则.

令，则，

当时，当时，

于是在上递减，在上递增，于是.

于是当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

于是，命题获证.

21．(1)

(2)存在满足条件，分析见解析.

【解析】

【分析】

(1)由条件列关于的方程，解方程可得椭圆C的方程；(2)联立方程组，利用设而不求结论求直线，的交点，由此确定的方程.

(1)

∵，所以，故，

∵     ∴，又，所以

∴椭圆C的方程为∴

(2)

由已知可得直线l的斜率一定存在，

设直线l的方程为

得：，

．

设，，则

，

∴

，，

，，

令

∴，

∴

∴存在直线满足题意

【点睛】

直线与椭圆的综合问题的综合问题的解决一般考虑利用设而不求法确定交点的坐标关系，再结合条件求解即可.

22．(1)：，：

(2)

【解析】

【分析】

（1）由直线的参数方程，消去参数求得到直线的普通方程，设，则在曲线上，代入化简，即可求得曲线的极坐标方程．

（2）求得直线的极坐标方程，得到，代入的极坐标方程，求得，，结合，即可求解．

(1)

解：由直线的参数方程（为参数），消去参数，可得其普通方程为，设，则在曲线上，所以，

所以曲线的极坐标方程为．

(2)

解：由，可得直线的极坐标方程，

所以，代入的极坐标方程得，

令，，

由，且，，

则．

23．(1)3

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意可知方程的根为，利用根与系数的关系可求出的值，再根据绝对值三角不等式即可求出结果；

（2）根据题意可知，再根据，利用基本不等式即可求出结果.

(1)

解：由于不等式的解集为或，

所以．

∴（当且仅当时，等号成立）

(2)

解：当时，不等式为，

因为，，所以可得，

所以

（当且仅当时，等号成立），所以的最小值等于．