2022届江西省上饶市六校高三第二次联考数学（理）试题含解析

这是一份2022届江西省上饶市六校高三第二次联考数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届江西省上饶市六校高三第二次联考数学（理）试题一、单选题1．已知R为实数集，集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据对数型函数的定义域求出集合，最后根据补集、并集的定义计算可得；【详解】解：由，即，解得，即，又，所以，所以；故选：D2．复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解判断即可.【详解】，所以，因此在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A3．下列结论错误的是（       ）A．若“”为真命题，则p、q均为真命题B．“”是“”的充分不必要条件C．命题“若，则”的否命题是“若，则”D．命题“，都有”的否定是“，使得”【答案】D【分析】根据且命题的真值表判断选项A；按充分不必要条件的定义判断选项B；根据否命题定义判断选项C；利用全称命题的否定可判断D.【详解】选项A: 若“”为真命题，则p，q均为真命题，故A正确；选项B: 由“”可推出“”，当时，此时由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；选项C: 命题“若，则”的否命题是“若，则”．故C正确；选项D: 命题“，都有”的否命题是“，使得”，故D错误.故选：D.4．函数的大致图像为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．【详解】当，，函数为奇函数，排除C；，排除AD；故选：B.5．为得到函数的图象，只需把函数的图像（       ）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式依次判断各个选项即可.【详解】对于A，向左平移个单位得：，A错误；对于B，向左平移个单位得：，B错误；对于C，向右平移个单位得：，C错误；对于D，向右平移个单位得：，D正确.故选：D.6．在区间上随机取两个数x、y，则满足的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用几何概型计算公式即得.【详解】由题可知试验的全部结果所构成的区域为，满足的结果构成的区域为，结合几何概型计算公式可得满足的概率为.故选：A.7．已知是上的奇函数，且对，都有，当时，函数，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和周期性，即可得解.【详解】由已知可得.故选：B.8．新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有（       ）A．4320种 B．2160种 C．1080种 D．540种【答案】C【分析】由题意可得分到四家医院的人数为2，2，1，1，先进行分组，再分配到四家医院，可得答案.【详解】由题意可知：6名调研员安排到4家医院，符合条件的安排是四家医院分到的人数为：2，2，1，1，共有 ,故选：C9．如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用线面垂直的向量证明方法可构造方程组求得点与重合，可知所求外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线长的一半，由球的表面积公式可得结果.【详解】以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，，，，平面，，解得：，与重合，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球，外接球表面积.故选：B.10．第24届冬季奥林匹克运动会闭幕式，于2022年2月20日在国家体育场（鸟巢）的场馆举行．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相同的椭圆．假设内层椭圆的标准方程为，外层精圆的标准方程为，若由外层椭圆上的一点向内层椭圆引切线、，且两切线斜率都存在，则两切线斜率的积等于（       ）A． B． C． D．不确定【答案】A【分析】假设，切线方程为，联立得即可求解.【详解】假设，切线方程为，由，得，根据题意得，即，所以.故选：A.11．已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先用、表示，再根据向量数量积的运算律及基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以所以，当且仅当时，取等号；所以，当且仅当时，取等号；故选：C12．设，其中e是自然对数的底数，则（       ）注：A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，则，利用导数研究函数的单调性可得；根据作差法和对数的运算性质可得，构造新函数，利用导数研究函数的性质可得，进而，即可得出结果.【详解】令，则，令，则在单调递减，所以，∵；，∴，令，则，∴在单调递增，∴，∴；综上，.故选：C二、填空题13．已知向量，，且，则实数的值为___________．【答案】【分析】求出和的坐标，求解计算即可.【详解】根据题意得，，因为，所以，解得.故答案为：.14．已知的三个内角、、的对边分别为、、，若，，且，则边长的值为__________．【答案】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得角的值，求出的值，再利用正弦定理可求得边长的值.【详解】由及正弦定理可得，可得，由余弦定理可得，，则，因为，则为锐角，可得，由正弦定理可得.故答案为：.15．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．【答案】4或1010或4【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.当时，，y＝sinx图像如图：要使在区间上有最小值无最大值，则：或，此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.16．已知双曲线的左焦点为，过的直线l与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若双曲线的离心率为，则_______．【答案】【分析】设双曲线的右焦点为，过作于，得到和，设，求出和，根据求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为，过作于，由中位线定理知：，，因为，设，由双曲线定义知：，又因为，由勾股定理知：；故答案为：3三、解答题17．计算机和互联网的出现使得“千里眼”“顺风耳”变为现实．现在，的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，经济收入在近一个时期内逐月攀升，如图是该创新公司年至月份的经济收入（单位：千万）的折线图．(1)由折线图初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；(2)若该创新公司定下了年内经济月收入突破千万的宏伟目标，请你预测该公司能否达到目标？附注：参考数据：，参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，【答案】(1)(2)能达到目标【分析】（1）利用最小二乘法直接求解即可；（2）将代入回归直线可求得，由此可得结论.【详解】(1)由题意得：，，，，关于的回归方程为：.(2)当时，，该公司能达到目标.18．已知数列，且为等差数列．(1)求的通项公式；(2)若对任意正整数n，都有，求m的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算可得，再利用与的关系即得；（2）利用裂项相消法可得，进而即得.【详解】(1)由题可知，∴等差数列的公差，∴，∴，当时，，又∵，∴；(2)由（1）可知，∴． 由题可知，∴m的取值范围是.19．如图，四棱锥中，平面平面．(1)若为等边三角形，求证：∥平面；(2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面平行的定义证明即可（2）根据定义，得出即为二面角的平面角，再列出，进而可利用三角函数的性质求解即可【详解】(1)在底面四边形中，，∵是等边三角形，∴，∴，又∴平面，∴平面，∴平面(2)∵，，∴，又∵平面平面平面，平面平面，∴平面，          取中点H，∵，∴，∵平面平面，∴，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，          ∵，其中为所成的角，∵，∴时，四棱锥的体积最大，此时，∴，∴是等边三角形，∴，在中，∴，∴，∴二面角的正切值为20．已知抛物线上的点到准线的距离为a．(1)求抛物线C的方程；(2)设，O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线l，使得，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在；.【分析】（1）由题意可列出的方程组，计算求解即可；（2）设直线l的方程为，、，联立方程组得出、，根据题意可求出的值，可求出的直线l方程.【详解】(1)由题可知：，∴抛物线C的方程为；(2)假设存在满足题意的直线l，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，、，则，、，由，得，由题可知：，∴，∴，故存在满足题意的直线l，直线l的方程为.21．已知函数，其中．(1)求的极值；(2)设函数有三个不同的极值点．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：．【答案】(1)，无极大值；(2)（i） ；（ii）证明见解析.【分析】（1）由题可得在单调递增，进而可得在单调递减，在单调递增，即得；（2）（i）由题可知有三个不同的正实根，令进而构造，可得有两个不同的正实根，再利用二次方程根的分布即得；（ii）令、,则、为的正实根，再利用导数解决双变量问题，可得，进而即证.【详解】(1)由题可得， ∴在单调递增，∵，∴时，时，∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大值；(2)（ⅰ），由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，∴有两个不同的正实根，∴∴， 设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，又∵，∵，且，∴有三个不同的正实根，满足题意，∴a的取值范围是；（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，，令，则，，令在单调递增、，∴在单调递减，在单调递增， 令，则，∵，∴，令，，∴在单调递增，∴，∴在单调递减，∵，∴，∵，∴，∵在单调递增，∴，∴.【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.22．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．(1)求曲线和曲线的直角坐标方程；(2)在极坐标系中，射线与曲线、分别交于A、B两点，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；根据消参法即可求得曲线的直角坐标方程；（2）求得曲线的极坐标方程，将代入求得极半径，结合曲线的极半径，求得答案.【详解】(1)根据 ，可得 ，故曲线的直角坐标方程为；曲线的参数方程为（为参数），则消去参数得；(2)将代入，得曲线的极坐标方程为，令，∵，射线与曲线交于A，对应的极半径为 ，∴．23．已知．(1)解关于x的不等式；(2)若对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）对绝对值进行分类讨论，即可求解（2）根据基本不等式，可得，进而问题转化为，进而求出所求的范围【详解】(1)可得，当时，不等式等价于，解得，，当时，不等式等价于，此时不等式恒成立，，当时，不等式等价于，解得，，综上所述，不等式的解集是(2)，，，当且仅当时成立，所以，对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，等价于，设，由（1）得，，明显可见，，，所以，，当时，有最小值，，所以，此时实数的取值范围为，综上所述，实数的取值范围．