2022届甘肃省武威第一中学高三数学（文）冲刺试题含解析

这是一份2022届甘肃省武威第一中学高三数学（文）冲刺试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届甘肃省武威第一中学高三数学（文）冲刺试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用对数的真数为正、指数函数的值域化简两个集合，再求其交集.【详解】因为，，所以.故选：B.2．已知复数，，则复平面内表示复数的点在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数的四则运算法则和复数的几何意义求解即可.【详解】，则复平面内表示复数的点在第四象限，故选：.3．已知，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值法，结合已知逐一判断即可.【详解】因为，所以，选项A正确；当时，显然满足，但，选项B不正确；当时，显然满足，但，选项C不正确；当时，显然满足，但是，选项D不正确，故选：A4．在等比数列中，已知，则公比（       ）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根据等比数列的性质求得，再结合已知条件，即可求得结果.【详解】由等比数列，解得，所以，所以.故选：.5．已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（       ）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】先根据向量共线可知，表达出和的关系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即可.【详解】解：由题意得：点E是的中线上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知：设当且仅当，即时取等号，故的最小值为.故选：C6．如图是某多面体的三视图，尺寸如图，则该几何体的体积是（       ）A．6.5 B． C． D．3.5【答案】A【分析】由题得该几何体为一个正方体被切去一个大角和一个小角，利用体积公式计算即可.【详解】由题可得该几何体为一个正方体被切去一个大角和一个小角，如图，该几何体的体积为故选：A.7．连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量与向量的夹角的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定的可能组合数，由题设列举出的可能组合，即可求概率.【详解】由题设，向量的可能组合有36种，要使向量与向量的夹角，则，即，满足条件的情况如下：时，，时，，时，，时，，时，，综上，共有15种，故向量与向量的夹角的概率是.故选：D8．已知函数，.的最小值为（       ）A．2 B．1 C．4 D．6【答案】A【分析】利用正弦函数的性质可得周期，进而计算即得．【详解】∵，∴函数的最小正周期的最大值为，故的最小值为．故选：Ａ9．已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（       ）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.【详解】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程有7个不同实数解，则关于u的二次方程的一根为，则，则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.所以且.故选：C.10．已知抛物线：的焦点为，点为，若射线与抛物线相交于点，与准线相交于点，且，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由抛物线定义得，进而求得，再结合坐标及斜率公式即可求解.【详解】如图，作垂直于准线，垂足为.因为，则，，，又，，则，解得.故选：B.11．如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，利用三角函数求出圆柱的表面积的最大值，即可求出球的表面积与圆柱的表面积之差.【详解】如图.设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，则，，圆柱的高，圆柱的侧面积为，当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，为，球的表面积与圆柱的表面积之差为.故选：D．12．已知函数，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是（　　）A． B．[，4]C． D．【答案】B【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：的导函数为，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，由题意，得，，可得，解得．故选：B.二、填空题13．函数图象的一个对称中心的坐标是______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据正切型函数的对称中心可直接求出答案.【详解】令，解得,则图象的对称中心的坐标是．当时，，则是图像的一个对称中心．故答案为：（答案不唯一）.14．已知函数，则______．【答案】4043【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，设，则两式相加，可得，所以.故答案为：.15．已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）【答案】【分析】直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．【详解】,则解得，则，又，∴，即，故答案为：．16．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为渐近线上一点，若，且，则该双曲线的离心率为______.【答案】【分析】先在中利用余弦定理求出，再利用勾股定理判断为直角三角形，再利用直角三角形求出的值，再利用进行求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，设，在中，因为，所以，即，且为直角三角形；所以在中，，，，所以，则双曲线的离心率为.故答案为：.三、解答题17．已知圆C的参数方程是（为参数）.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，将直线向左平移3个单位长度得到直线.(1)求圆C的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)直线与圆C交于点A，B，求优弧和劣弧长度的比值.【答案】(1)；；(2)2.【分析】（1）将圆C的参数方程转为直角坐标方程然后利用互化公式即得，由题可得直线的直角坐标方程，利用平移变换可得直线的直角坐标方程；（2）由题可得直线的极坐标方程为，利用韦达定理可得，然后利用圆的性质即得.【详解】(1)圆C的参数方程为(为参数)，转为直角坐标方程为，把代入方程，化简可得圆C的极坐标方程为；由直线的极坐标方程为，可得直线的直角坐标方程为，即，∴直线的直角坐标方程为；(2)因为直线的直角坐标方程为，所以直线的极坐标方程为，代入圆C的极坐标方程为，可得，设对应的极径为，则，∴，又圆C的半径为2，∴，∴劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为，所以，优弧和劣弧长度的比值为2.18．已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求实数a；(2)求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由导数的几何意义及切线方程有，即可求a；（2）应用分析法，将问题转化为证在上，针对不等式左右两侧分别构造函数，并应用导数研究最值，即可证结论.【详解】(1)由题设，，则，解得．(2)由（1）知：，要证且，需证，令，则，所以时，递增；时，递减．∴，令，在单调递增，∴，综上，，即，故，得证．19．已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点．(1)若线段的中点为，求的值；(2)若，求证：原点到直线的距离为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设出两点的坐标，利用点差法即可求出的值；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，写韦达；根据，求出，从而可证明原点到直线的距离为定值．【详解】(1)设，则，，两式相减，得，即，所以，即，又因为线段的中点为，所以，即；(2)设斜率为的直线为，，由，得，所以，，因为，所以，即，所以，所以，即，所以，原点到直线的距离为.所以原点到直线的距离为定值.20．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆周上一点，，四边形为矩形，点在上，且平面.(1)请判断点的位置并说明理由；(2)平面将多面体分成两部分，求体积较大部分几何体的体积.【答案】(1)点是的中点，理由见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到，从而得到平面，同理可证平面，即可得到平面平面，从而得证；（2）由勾股定理求出，，再根据锥体的体积公式求出、、、即可得解；【详解】(1)解：点是的中点，取的中点，连接，，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，由四边形为矩形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，(2)解：由（1）知点是的中点，因为，所以，所以，且，所以，所以三棱锥的体积；又三棱锥的体积，所以四棱锥的体积，所以几何体的体积，所以体积较大部分几何体的体积为；21．为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了200名学生，统计他们在寒假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，统计情况如下：(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关？ 运动达标运动欠佳总计男生   女生   总计    (2)现从“运动欠佳”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选2人进行体育运动指导，求选中的2人都是女生的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.250.100.050.0250.0100.0011.3232.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)列联表见解析，能(2)【分析】（1）根据统计图，算出对应人数，即可完成列联表，再根据公式计算判断即可；（2）通过列举法得出5人中任选2人的不同情况，根据定义即可得到选中的2人都是女生的概率【详解】(1)列联表为 运动达标运动欠佳总计男生6832100女生5248100总计12080200，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关.(2)由（1）知“运动欠佳”的男生、女生分别有32人和48人，按分层抽样的方法从中抽取5人，则男生、女生分别抽到2人和3人，记两名男生分别为A，B，三名女生分别为a，b，c.则从5人中任选2人有，，，，，，，，，共10种情况，其中两人全是女生的情况有，，共3种，所以，即选中的2人都是女生的概率为.22．在中，角，，所对的边分别为，，，且.(1)判断的性状，并加以证明；(2)，，点，分别在线段，上，且，求的最小值.【答案】(1)直角三角形；(2)【分析】（1）由余弦的二倍角公式变形后利用余弦定理化角为边，从而得三角形形状；（2）求出面积，得为定值，用余弦定理求并利用基本不等式得最小值．【详解】(1)由，得，所以，由余弦定理得，整理得，所以，是直角三角形；(2)由，，得，，，，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是．