2022届湖北省荆门市龙泉中学等四校高三下学期二模数学试题含解析

2022届湖北省荆门市龙泉中学等四校高三下学期二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，全集，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先解分式不等式求出集合，再解对数不等式求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得；

【详解】解：由，即，等价于，解得或，

所以或，由，解得，

所以，

所以，所以；

故选：C

2．设复数z满足， 则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的乘方和加减法运算求出，再根据共轭复数和复数虚部的定义即可得解.

【详解】解：因为，

所以，则，

所以，

所以，

所以的虚部为.

故选：B.

3．若今天（第一天）是星期二，则第天是（       ）

A．星期三 B．星期日 C．星期二 D．星期五

【答案】C

【分析】由，结合二项式展开式研究被7整除后的余数，根据余数确定答案.

【详解】由，则展开式通项为，而可被7整除，

所以，当时均可被7整除，当时，

所以第天是星期二.

故选：C

4．正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则 的最小值是（       ）

A．2 B． C． D．不存在

【答案】B

【分析】由等比数列通项公式及等差中项的性质可得，进而有，利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意等号是否成立.

【详解】由题设，若公比为且，则，

所以，

由，则，故，可得，

所以，而，故等号不成立，

又，故当时，当时，

显然，故时最小值为.

故选：B

5．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设知在恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得，再根据正弦、对数函数的区间单调性及恒成立求参数范围.

【详解】由题设，即在恒成立，

当时，上，不满足题设，

所以，此时在上递减，递增，

要使不等式恒成立，则，即，

综上.

故选：D

6．若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（       ）条．

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】把已知问题转化为两圆的公切线条数，只需判断两圆的位置关系即可．

【详解】解：到点距离为1的直线，可看作以为圆心1为半径的圆的切线，

同理到点距离为的直线，可看作以为圆心为半径的圆的切线，

故所求直线为两圆的公切线，

又，所以，故两圆相交，公切线有条，

故选：C．

7．已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出图形，设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围．

【详解】解：如图所示，

第一排 三个图讨论最短；第二排 三个图讨论最长，

设，，四面体可以由和在同一平面的△沿着为轴旋转构成，

第一排，三个图讨论最短：

当向趋近时，逐渐减少，，可以构成的四面体；

当时构成的四面体，不满足题意；

所以满足题意的四面体第三对棱长大于，

第二排，三个图讨论最长：

当向趋近时，逐渐增大，，可以构成的四面体；

当时构成的四面体，不满足题意；

所以满足题意的四面体第三对棱长小于；

综上，，．

故选B．

【点睛】本题考查了四面体中边长的取值范围问题，也考查了推理论证能力，属于难题．

8．在平行四边形中，分别是上的点，且，（其中），且.若线段的中点为，则当取最小值时，的值为（       ）

A．36 B．37 C．21 D．22

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算将用和表示，然后利用和的长度和夹角求出，再根据二次函数知识可得结果.

【详解】

,

所以

，

所以，

因为，所以，

所以当时，取得最小值，此时，

所以.

故选：D

二、多选题

9．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”，C表示事件“第二次取出的球的数字是奇数”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（       ）

A． B．A与D相互独立 C．B与C是对立事件 D．B与C是互斥事件

【答案】ABD

【分析】利用条件概率公式判断A；根据是否成立判断B；由对立、互斥事件概念及事件描述判断C、D.

【详解】由题设，，，

对于D事件的可能组合有共6种，

所以，易知：，，

，A正确；

，A与D相互独立，B正确；

B与C是互斥事件，但不是对立事件，C错误，D正确.

故选：ABD

10．已知双曲线的一条渐近线方程为，过点（5，0）作直线交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有（       ）

A．或

B．该双曲线的离心率为

C．满足的直线有且仅有一条

D．若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线的斜率的取值范围是

【答案】BD

【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，从而可判断A；求出双曲线方程，从而可得离心率，即可判断B；分当两点都在双曲线的右支上和再双曲线的左右两支上两种情况讨论，即可判断C；求出双曲线的渐近线方程，从而可判断D.

【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，

所以，解得，故A错误；

双曲线方程为，

故，

所以该双曲线的离心率，故B正确；

点（5，0）为双曲线的右焦点，

当时，，

当两点都在双曲线的右支上时，，

因为，所以这种情况的直线只有一条，且与轴垂直，

当再双曲线的左右两支上时，

可得，

而，可得这样的直线有两条，

综上所述，满足的直线有3条，故C错误；

双曲线的渐近线方程为，

要使A和B分别在双曲线左、右两支上，

则直线的斜率的取值范围是，故D正确.

故选：BD.

11．已知函数，且正实数，满足，则下列结论可能成立的是（       ）

A． B．的最大值为

C． D．的最小值为

【答案】AC

【分析】去绝对值分类讨论，判断一个命题是假命题要举反例

【详解】当，时，，

则

所以，所以，故A正确

当，时，，，

则

所以，故C正确

当，时，，

则

所以

对于B，当，，且时

取，时，

（，）

当，且时

取，时，

当，且时，

取，时，

故B错误

对于D， 当，且时，，时，等号成立，故D错误

故选：AC

12．如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则（       ）

A．直线AB与CD所成角的大小为45°

B．二面角的大小为60°

C．三棱锥的体积为

D．直线CD与平面所成角的正弦值为

【答案】ABD

【分析】根据异面直线所成角、二面角、线面角定义，在图形中作出直线AB与CD所成角、二面角的平面角、直线CD与平面所成角，结合已知条件计算判断各项正误.

【详解】过A作且，连接，则四边形ABDE是平行四边形，如图，

所以且，故是直线AB与CD所成角或其补角，

因，，则，而，面，

于是面，面，则，

故，则，A正确；

因，即，而，则是二面角的平面角，又，

因此，，即为正三角形，，B正确；

因面，，则面，在面内过C作于O，于是，

又，而，

所以，C错误；

连接而，则是直线CD与所成角，，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】转化为命题的否定是真命题后求解

【详解】由题意得“”为真命题，故，

故答案为：

14．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有_________种．

【答案】150

【分析】先分组，在分配，分组问题必须考虑去除重复.

【详解】5个人，分成3组，共有2种分法，即1，1，3和2，2，1，

共有 种，

再分配 种；

故答案为：150.

15．已知数列的通项公式则的前项和_____．

【答案】241

【分析】讨论、对应的通项可得，结合等差数列前n项和公式求值即可.

【详解】当且时，

当且时，，

所以

.

故答案为：241

四、双空题

16．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题：

（1）椭圆C的离心率为__________．

（2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为__________．

【答案】     0.5    

【分析】(1)由题意得到关于a,c的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率;

(2)由题意利用几何关系求得a,b的值即可求得椭圆方程.

【详解】设椭圆C的长轴长为2a(a>0),则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，经过的路程为，从而；

如图示：

延长,交于点F0.

在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,则且H为中点.

在△中,

则,∴,

所以椭圆方程为.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知数列的前项和为，且

(1)求数列的通项公式；

(2)，求数列的前项和；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知得，两者作差可得，则可判断数列为等比数列，即可求其通项公式；

（2）利用分组求和的方法求和即可.

【详解】(1)在数列中， 由可知，

两式作差可得，即，

当时，，，即，，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

即；

(2)由（1）知，

所以

.

18．如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】(1)

因为平面ABC，平面ABC，所以，

又为等边三角形，D为AC的中点，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，所以.

在直角梯形中，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

(2)由（1）知DB，DC，两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DB，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，

设平面的法向量为，

由得

所以平面的一个法向量为

设平面的法向量为，

因为，，

由得

所以平面的一个法向量为

设平面与平面夹角，则

，

由图象可得平面与平面夹角为锐角，

所以.

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，．

(1)求角C的大小；

(2)若D，E是边BC上的两点，，，求△ADE的面积S的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理，以及利用三角函数的和差公式，即可求解.

（2）在△ABD中，设，利用正弦定理，分别得出，进而可以用三角形面积公式求解.

【详解】(1)∵       ∴，

∴，∴

∵∴由正弦定理得：

其中

∴．          

∵，∴       ∴        ∴．

∴．

(2)

如图，由（1）得，△ABC为等腰三角形，∴，在△ABD中，设，，∴，同理，

因为，所以，

因为，则，所以当时，S的最小值

20．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.

（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；

（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.

【答案】（1）；（2）小明的盈利多，理由见解析.

【分析】（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，利用独立重复试验的概率计算可得；

（2）的可能取值为0，4，8，12，分别求出对应的概率，列出分布列求出；的可能取值为0，1，4，9，求出对应的概率，列出分布列求出，比较与的大小，确定小明的盈利多.

【详解】（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以，

所以这个小球掉入5号球槽的概率为.

（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12.

，

，

，

.

一次游戏付出的奖金，则小红的收益为.

小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9.

，

，

，

.

一次游戏付出的奖金，则小明的收益为.

显然，，所以小明的盈利多.

【点睛】方法点睛：本题考查独立重复试验的概率问题以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.

21．过抛物线的焦点的直线交抛物线于A和B两点，过A和B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点E．

(1)求证：．

(2)若，求的面积的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设出直线方程，与抛物线联立，表示出和方程，求得点，则可证明；

（2）由题得出，则可得，再表示出面积即可求出.

【详解】(1)由题意知当直线斜率不存在时不符合题意，设，

联立，可得，

则，，，

则直线方程为，直线的方程为，

联立两直线可得，即，

当时，轴，轴，成立，

当时，，也成立，

综上，；

(2)由可得，则，

由得，则，

所以.

22．已知函数（其中实数）的最小值为5，

(1)求实数的值；

(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）对求导，构造并由二次函数性质判断其零点及区间符号，进而确定的单调性、极值，结合已知最值列方程得，再构造中间函数求零点，进而求的值；

（2）令问题转化为对恒成立，构造中间函数研究的最值，并判断单调性，最后可求的范围．

【详解】(1)由题设，且，

令，则在上递增且，

所以有唯一正实根，记为，则．

当时，即，单调递减，

当时，即，单调递增，

所以极小值也是最小值为．

又，可得，故，

令，其中，则，

所以在上单调递增且，而，即，从而．

综上，实数的值为.

(2)由题意，恒成立，令．

令，则，

令

ⅰ、当时，，不合题意，舍去，

ⅱ、当时，有唯一的正实根，记为，且，则且

当时，，即，当时，，即

所以在单调递减，在上单调递增，则极小值也是最小值为．

要使对恒成立，则．

令，则，即在上递减，又，

所以不等式的解集为，故，

又则的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：

（1）构造中间函数，并结合导数研究单调性、最值，根据已知求得参数间的函数关系及参数范围；

（2）令，根据已知确定隐零点与参数k的关系，并求出的范围，进而求k的范围.