2022届河南省豫北名校联盟高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题含解析

2022届河南省豫北名校联盟高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．复数，则复数的虚部是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简复数，即可得复数的虚部.

【详解】

复数的虚部为，

故选：D.

2．设全集则下图阴影部分表示的集合为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先化简集合，再根据文氏图求解即可.

【详解】，

易知阴影部分为集合，

故选：

3．已知是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据线面垂直的判定及性质进行解答.

【详解】若与不相交，则“直线且”不能推出“”；反之，如果“”，无论与是否相交，都能推出“直线且”，故“直线且”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

4．党的十八夫以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族儿千年的贫困问题，取符历史性成就，同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至.2019年每年我国农村减贫人数的条形图．

根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为（       ）

①平均每年减贫人数超过万；

②每年减贫人数均保持在万以上；

③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律；

④历年减人数的中位数是（万人）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用题目中条形图的规律，中位数的应用逐一判断①②③④即可得正确选项.

【详解】对于①：由条形图知：平均每年减贫人数超过万，故①正确；

对于②：每年减贫人数均保持在万以上；故②正确；

对于③：打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律，故③正确；

对于④：历年减人数的中位数是（万人），故④不正确，

所以①②③正确，④不正确，正确的个数为，

故选：C.

5．已知道试题中有道代数题和道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设事件“第次抽到代数题”，事件“第次抽到几何题”，分别求出、，利用条件概率公式即可求解.

【详解】设事件“第次抽到代数题”，事件“第次抽到几何题”，

，

则，

所以在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为.

故选：C.

6．已知为等差数列的前项和，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据由求和公式得，再结合等差数列通项性质即可求解．

【详解】由题意，

所以，

故选：C．

7．已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意得出直线过圆心，结合垂直关系求得斜率，即可得到直线方程.

【详解】因为直线将圆平分，

所以直线过圆心，

因为直线与直线垂直，所以斜率为，

所以直线，

故选：D

8．四边形中，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可知，四边形为直角梯形，而，再根据数量积的定义以及数量积的运算律即可求出．

【详解】由题意知，四边形为直角梯形，，

所以．故选：B．

9．现有如下信息：

（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为

（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．

（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形，

由上述信息可求得（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】如图作三角形，先求出，再求出的值.

【详解】如图，等腰三角形，,，取中点连接.

，

由题意可得，

所以，

所以，

所以.

故选：D

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.

10．已知抛物线上一点，为焦点，直线交抛物线的准线于点，满足则抛物线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作轴，根据，且，由求解.

【详解】如图所示：

作轴，则，

因为，且，

所以,

即，

解得，

所以抛物线方程是

故选：C．

11．已知函数的部分图象图所示，关于此函数的下列描述：①；②③若，则，④若，则，其中正确的命题是（       ）

A．②③ B．①④

C．①③ D．①②

【答案】C

【分析】根据相邻对称中心距离为半个周期，可求出，正确；再由可求得，错误；根据函数的对称轴为，可判断正确，错误．

【详解】由图知，，因为可得，而，所以，故正确，错误；中，，由图可知，直线是函数的对称轴，故正确，若，错误．所以正确的命题是①③．

故选：C．

12．已知函数与函数的图象交点分别为：，…，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先证明函数关于点对称，再作出两函数的图象分析得解.

【详解】由题意化简，，

因为函数是奇函数，所以函数关于点对称.

因为函数是奇函数，所以函数关于点对称.

又，

所以在上单调递减，

由题得

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

由图象可知，与的图象有四个交点，且都关于点对称，

所以，

所以所求和为

故选：D

【点睛】方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（解方程得解）；（2）图象法（作出函数的图象即得解）；（3）方程+图象法（令得，分析函数得解）.

二、填空题

13．已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】转化为命题“，使得”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.

【详解】因为命题“存在，使”是假命题，

所以命题“，使得”是真命题，

当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；

当时，得，解得.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：转化为命题“，使得”是真命题求解是解题关键.

14．函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为__________.

【答案】12

【分析】分别在上、上求得函数与轴所围成封闭图形的面积，再把这两个值加起来，即得所求.

【详解】由题意可得：围成的封闭图形的面积为:

，

故答案为：12

【点睛】本题主要考查了定积分的的几何意义，属于基础题.

15．在中，，的面积为，为边的中点，当中线的长度最短时，边长等于________.

【答案】

【分析】根据的面积为，求得，再利用余弦定理结合基本不等式，由中线的长度最短时，求得a,b，然后在中利用余弦定理求解.

【详解】如图所示：

∵，

∴，

∴，

，

当且仅当，即，时，等号成立.

此时，

，

所以.

故答案为：

16．若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支各交于，两点，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】设为双曲线的右焦点，易知是平行四边形，利用双曲线的定义可得，且，得到，令，用导数法求解.

【详解】如图所示：

双曲线的，

设为双曲线的右焦点，连接，则是平行四边形，

则，由双曲线定义得，即，且，

所以，

令，

则，

当时，，当时，，

所以当时，，

当时，，

当时，，

所以的取值范围是，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题关键是利用双曲线的定义得到m，n关系和利用三角形边的关系得到m的范围，从而建立函数而得解.

三、解答题

17．已知数列的前n项和为，且成等差数列，

(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)记，若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．

【答案】(1)证明见解析，；

(2)

【分析】（1）由构成等差数列，得，结合退位相减法得，结合，即可证明；求出即可求出的通项公式；

（2）先求出，依次列举出数列和数列中相同的项，由，按照求和公式及分组求和计算即可.

【详解】(1)由构成等差数列，得，所以，两式相减得，

所以，又当n＝1时，，所以；当n＝2时，，解得，

满足，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即；

(2)由（1）可知，所以，故是以1为首项，2为公差的等差数列，

又因为，，

令，则，

即.

18．已知函数的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）利用函数的图象，求出A，通过函数的周期求出ω，通过函数的图象经过，求出φ，即可解出函数f（x）的解析式；

（II）利用，结合正弦定理，求出cosB，利用函数的解析式求的表达式，通过A的范围求出函数的取值范围．

【详解】（Ⅰ）由图像知， ，∴，

由图像可知， ，   ∴， ∴，

∴， 又∵， ∴， ∴.

（Ⅱ）依题设， ，

∴，

即 ，

∴， 又， ∴.   ∴.

由（Ⅰ）知，

，

又∵， ∴， ∴，

∴的取值范围是.

【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，正弦定理、辅助角公式的化简应用，属于中档题．

19．如图，扇形AOB的半径为2，圆心角∠AOB＝120°．PO⊥平面AOB，PO=，点C为弧AB上一点，点M在线段PB上，BM＝2MP，且PA平面MOC，AB与OC相交于点N．

(1)求证：平面MOC⊥平面POB；

(2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用OB2+ON2＝BN2，得到OB⊥ON，再根据PO⊥平面ABC，得到PO⊥ON，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；

（2）以点O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面POA的一个法向量和平面面MOC的一个法向量为，由求解.

【详解】(1)证明：∵PA平面MOC，PA在平面PAB内，平面PAB∩平面MOC＝MN，

∴PAMN，

∵BM＝2MP，

∴BN＝2AN，

在△AOB中，由余弦定理有，

＝，

∴，

又在△OBN中，∠OBN＝30°，

由余弦定理有，，

＝，

∴OB2+ON2＝BN2，

故OB⊥ON，又PO⊥平面ABC，ON在平面ABC内，

∴PO⊥ON，

又PO∩OB＝O，且PO，OB都在平面POB内，

∴ON⊥平面POB，又ON在平面MOC内，

∴平面MOC⊥平面POB；

(2)以点O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则，，

设平面POA的一个法向量为，

则，可取；

设平面MOC的一个法向量为，则，可取，

∴，

∴平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为．

20．设为椭圆（）上任一点，，为椭圆的左右两焦点，短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形．

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线：与椭圆交于、两点，直线，，的斜率依次成等比数列，且的面积等于，求椭圆的标准方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，得到，消去b，求出离心率；

（2）用“设而不求法”把直线，，的斜率依次成等比数列表示出来求出斜率k，利用且的面积等于，求出b得到a，即可求出椭圆方程.

【详解】（1）由题意可知，所以；

（2）设点，，则由，消，得，

因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，

由韦达定理得，，，

由题意知，，即，

所以，即，

设点到直线的距离为，则，

，

所以，解得．所以

即椭圆标准方程为．

【点睛】（1）求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率；

（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

21．已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．

(1)求实数k的值；

(2)若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．求实数a的取值范围.

【答案】(1)k＝1

(2)0≤a≤1

【分析】（1）根据函数的极大值为，利用极值的定义求解；

（2）将对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立，转化为对任意x∈（0，+∞），xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0恒成立求解.

【详解】(1)解： ＝，x＞0，

当x∈（0，e）时，＞0，f（x）递增；

当x∈（e，+∞）时，＜0，f（x）递减；

所以f（x）的极大值为f（e）＝，

故k＝1；

(2)根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x），

即，

化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0，

令h（x）＝xex﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0，

h（x）＝elnxex﹣alnx﹣ax﹣a＝elnx+x﹣a（lnx+x）﹣a，

令lnx+x＝t，t∈R，

设H（t）＝et﹣at﹣a，H'（t）＝et﹣a，

只需H（t）≥0，t∈R，

当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a，

所以H（）＜1﹣a（）﹣a＝0，不成立；

当a＝0时，H（t）≥0显然成立；

当a＞0时，由＝et﹣a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）递增，

H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，

由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1，

综上0≤a≤1；

22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与轴的非负半轴重合．曲线的极坐标方程是，直线的极坐标方程是．

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线相交于点、，求的值．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）利用，将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）写出直线过点的参数方程，代入曲线，利用参数的几何意义以及韦达定理，可求出结果．

【详解】（1）曲线化为：，

将代入上式，即，

整理，得曲线的直角坐标方程.

由，得，

将代入上式，化简得，

所以直线的直角坐标方程.

（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），

即（为参数），

代入曲线的直角坐标方程，得，

整理，得，

所以，，

由题意知，.

【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及直线参数方程的应用，关键是要写出直线的标准参数方程，才能利用参数的几何意义来解题，是基础题．

23．设函数.

（1）解不等式；

（2）若对一切实数均成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) 解集为{或};(2) 的取值范围为.

【详解】分析：（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；

（2）要使成立，只需函数的最小值大于即可，利用绝对值三角不等式可得的最小值.

详解：（1）当时，，原不等式即为，

解得，∴；

当时， ，原不等式即为，

解得，∴；

当时， ，原不等式即为，

解得，∴；

综上，原不等式的解集为{或}.

（2）.

当时，等号成立.

∴的最小值为，要使成立，

∴，解得，∴的取值范围为.

点睛：（1）含绝对值不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

（2）不等式恒成立问题通常转化为求函数最值来处理.