2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题含解析

这是一份2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的除法运算直接求解.【详解】因为，所以.故选：B2．已知命题: ，命题: 则是的（       ）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若，则或，即或，所以是的必要不充分条件．故选：B3．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（       ）A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线【答案】A【分析】依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解.【详解】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：A.4．若，则与的大小关系是（       ）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】由题知，进而研究的符号即可得答案.【详解】解：，所以，即.故选：B5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为，所以，，所以，函数图象的对称中心为，将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象向下平移个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数为奇函数.故选：A.7．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D．8．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(       )A． B． C． D．【答案】C【分析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围．【详解】，，当且仅当时取等号，故．故选：C．9．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由几何概型公式求解即可.【详解】红灯持续时间为40秒，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为，故选：B10．等差数列的通项公式，数列，其前项和为，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据裂项求和法求得，再计算即可.【详解】解：由题意得====所以.故选：D11．圆与直线的位置关系为（       ）A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.【详解】直线可化为，所以恒过定点.把代入，有：，所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.故选：C12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（       ）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】D【详解】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．13．已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数、都有，记，，，则（          ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题，可得是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出的大小关系.【详解】设，由题，得，即，所以函数在上单调递减，因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，因此，，，即.故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果．【详解】因为 ，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B．二、填空题15．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________．【答案】0.3【分析】由频率之和等于1，即矩形面积之和为1可得.【详解】由题知，解得.故答案为：0.316．若，且，则_____________．【答案】【分析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.【详解】解：因为，所以，，，又，所以，所以，所以，故答案为：.17．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为              .【答案】【详解】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积18．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；其中，所有正确结论的序号是________．【答案】①②【分析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3.【详解】①:由于曲线，当时，；当时，；当时，；由于图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上，故曲线恰好经过6个整点：,,,,,,所以①正确；②:由图知，到原点距离的最大值是在时，由基本不等式，当时，，所以即，所以②正确；③:由①知长方形CDFE的面积为2，三角形BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误；故答案为：①②.【点睛】找准图形的关键信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键.19．已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________．【答案】【分析】设过M的切线切点为，求出切线方程，参变分离得，令，则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点，根据导数研究g(x)的图像即可求出m的范围．【详解】，设过点的直线与曲线相切于点，则，化简得，，令，则过点存在三条直线与曲线相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点．∵，故当x<0或x>1时，，g(x)单调递增；当0<x<1时，，g(x)单调递减，又，，∴g(x)如图，∴-2<-m-2<0，即．故答案为：﹒三、双空题20．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x=_____________，y=_____________．【答案】     3     5【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y.【详解】由题意，甲组数据为56，62，65，70+x，74；乙组数据为59，61，67，60+y，78.要使两组数据中位数相等，有65=60+y，所以y=5.又平均数相同，则，解得x=3.故答案为：3；5.四、解答题21．已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解（2）由余弦定理与面积公式，结合基本不等式求解【详解】(1)由己知可得，由，解得：，故的单调递减区间是．(2)，，故，得，由余弦定理得：，得，当且仅当时等号成立，故，面积最大值为22．如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点．(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设与交点为，延长交的延长线于点，进而根据证明，再结合底面得，进而证明平面即可证明结论；（2）由得点到平面的距离等于点到平面的距离的，进而过作，垂足为，结合（1）得点到平面的距离等于，再在中根据等面积法求解即可.【详解】(1)证明：设与交点为，延长交的延长线于点，因为四棱锥的底面为直角梯形，，所以，所以，因为为的中点，所以，因为所以，所以，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，所以又因为底面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面(2)解：由于，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离的，因为平面平面，平面平面故过作，垂足为，所以，平面，所以点到平面的距离等于．在中，，所以，点到平面的距离等于.23．已知椭圆（）的左、右焦点为，，，离心率为．（1）求椭圆的标准方程．（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】(1)由可求出，结合离心率可知，进而可求出，即可求出标准方程.(2) 由题意知，，则由直线的点斜式方程可得直线的解析式为，与椭圆进行联立，设，，结合韦达定理可得，从而由斜率的计算公式对进行整理化简从而可证明.【详解】（1）解：因为，所以．又因为离心率，所以，则，所以椭圆的标准方程是．（2）证明：由题意知，，，则直线的解析式为，代入椭圆方程，得．设，，则．又因为，，所以．【点睛】关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和椭圆的方程后，结合韦达定理，用表示交点横坐标的和与积，从而代入进行整理化简.24．已知函数在处的切线与轴平行．(1)求的值；(2)判断在上零点的个数，并说明理由．【答案】(1)0(2)f（x）在（0，π）上有且只有一个零点，理由见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）由，可得，令，，，，利用导数法求解.【详解】(1)解：，所以k=f′（0）=-a=0，所以a=0；(2)由，可得，令，，所以，①当时，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′（x）＞0，所以g（x）在上单调递增，又因为g（0）=0，所以g（x）在上无零点；②当时，令，所以h′（x）=2cosx ex＜0，即h（x）在上单调递减，又因为，h（π）=-eπ-1＜0，所以存在，，所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，因为，g（π）=-π＜0，所以g（x）在上且只有一个零点；综上所述：f（x）在（0，π）上有且只有一个零点．