2021-2022学年江西省景德镇一中高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

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2021-2022学年江西省景德镇一中高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．设复数z满足，则z的共轭复数（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】算出，即可得.【详解】由得，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.2．在对于具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据2456834445由表中数据求得关于的回归直线方程，则回归直线必过的点是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据回归直线方程过样本中心点即可求解.【详解】，，回归直线方程一定过样本中心点.故选：C3．《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（       ）A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．合情推理【答案】C【详解】分析：根据演绎推理的概念，即可作出判断. 详解：演绎推理：就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理可以帮助我们发现结论，题中所给的这种推理符合演绎推理的形式，故选C. 点睛：本题主要考查了演绎推理的定义，是一个基础题，这种题目可以单独出现，但是单独考查了的概率不大，通过这个题考生要掌握击中推理的特点，学会选择. 4．曲线（为参数）中两焦点间的距离是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，求解即可.【详解】曲线(θ为参数)化为普通方程为：，则曲线表示焦点在轴的椭圆，，所以，即两焦点间的距离是.故选：D.5．某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知7号､20号､46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（       ）A．23 B．27 C．31 D．33【答案】D【分析】由系统抽样的性质求解即可.【详解】将座号分成4个组，分别为，由7号在中，则中抽取的号分别为，则样本中还有一个同学的座号是.故选：D6．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（       ）A．A= B．A= C．A= D．A=【答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，是，因为第一次应该计算=，=2，循环，执行第2次，，是，因为第二次应该计算=，=3，，否，输出，故循环体为，故选A．【点睛】秒杀速解   认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为．7．若样本、、、的平均数为，方差为，则样本、、、的平均数和方差分别是（       ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】设样本、、、的平均数为，利用平均数公式结合已知条件求出的值，再利用平均数和方差公式可求得结果.【详解】设样本、、、的平均数为，由已知可得，解得，，所以，样本、、、的平均数为，方差为.故选：D.8．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为（       ）A．62， B．65，62 C．65， D．65，65【答案】D【分析】根据频率分布直方图，最高的矩形底边的中点即为众数；从左边开始求各组的频率和，当频率和为0.5时，底边对应的值即为中位数．【详解】最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为，前两个矩形的面积为，由于，中位数为．故选：D．【点睛】本题考查根据频率分布直方图求数据的众数、中位数，属于基础题．9．吃青团是清明时节的习俗之一.这天小亮的妈妈送来5个青团，其中3个豆沙馅､2个蛋黄馅的，小亮随机取出两个青团，若事件“取到的两个青团为同一种馅”，事件“取到的两个青团都是蛋黄馅”，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题事件的所有可能情况的数目以及事件的所有可能情况的数目得出结果.【详解】事件的所有可能情况的数目为，事件的所有可能情况的数目为，则，故选：A.10．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则（       ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】化简已知得，得，即得解.【详解】解：因，两边取对数得：，令，则，而，于是得，即，所以.故选：B11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第11行的实心圆点的个数是（       ）A．89个 B．55个 C．34个 D．144个【答案】B【分析】由前六项的规律得出第11行的实心圆点的个数.【详解】第1，2，行的实心圆点的个数分别为，由此规律可得第7到第11行的实心圆点的个数分别为，则第11行的实心圆点的个数是55个.故选：B12．对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（       ）A． B． C． D．与有关的值【答案】C【分析】先确定集合相对于的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为把，，，代入上式整理得，.故选：C.二、填空题13．假设要考查某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从60袋这种牛奶中抽取12袋进行检验.利用随机数表抽取样本时，先将60袋牛奶按00，01，…，59进行编号，若从随机数表第8行第7列的数开始向右读，则第4袋牛奶的编号为 ____________ ；(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 16 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【答案】10【分析】根据利用随机数表抽取样本的规则一一读取即可；【详解】解：从随机数表第8行第7列的数开始向右读，分别是78（舍去），59,16,95（舍去），55,67（舍去），16（重复），98（舍去），10，……故第4袋牛奶的编号为10故答案为：10【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题．14．计算：___________.【答案】【分析】根据等比求和公式以及复数的运算得出答案.【详解】故答案为：15．已知的三边长为，内切圆半径为，则△ABC的面；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积_______【答案】【分析】以球心为顶点将三棱锥分割成四个小三棱锥，可类比得出.【详解】以球心为顶点将三棱锥分割成四个小三棱锥，则它们的高都为，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积，即.故答案为：.【点睛】类比推理是一种非常重要的推理方式，本题属于升维类比，面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可类比为四面体的内切球.16．已知均为正数，则的最大值为______________.【答案】【分析】根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.【详解】（当且仅当且时取等号）,（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.【点睛】本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.三、解答题17．已知复数是虚数单位.(1)若是实数，求的值和；(2)设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第四象限，求的取值范围.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）先由复数的除法运算求得，再结合复数的类型列方程求解即可；（2）先求出，再结合复数在复平面上对应的点位于的象限列不等式组求解即可.【详解】(1)由题可得，∵是实数，∴，解得，∴，即；(2)∵，∴，由复数在复平面上对应的点位于第四象限，则，解得，故的取值范围为.18．求证：(1)已知，求证：；(2)已知a>0，b>0，且，求证：与不可能同时成立.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由作差法证明即可；（2）由反证法证明即可.【详解】(1)因为，所以所以(2)因为，所以假设与同时成立因为与的解集分别为，所以，与矛盾，故假设不成立.即：与不可能同时成立.19．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表： 混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25530 使用未经淡化海砂151530总计402060(1)根据表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？(2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：P（K2≥k）0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关；(2).【分析】（1）利用公式可得，进而即得；（2）利用列举法即得.【详解】(1)由已知数据可求得：因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．(2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为个，“混凝土耐久性不达标”的为1个．“混凝土耐久性达标”的记为 “混凝土耐久性不达标”的记为．从这6个样本中任取2个，共有15可能，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件，它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含共5种可能，所以，即取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是.20．设函数.(1)若是从﹣2､﹣1､0､1､2五个数中任取的一个数，是从0､1､2三个数中任取的一个数，求函数有零点的概率；(2)若是从区间[﹣2，2]任取的一个数，是从区间[0，2]任取的一个数，求函数有零点的概率.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题得，再利用古典概型的概率公式求解；（2）利用几何概型的概率公式求解.【详解】(1)解：函数有零点等价于方程有实根，可得，可得，记事件为函数有零点，总的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共个，事件包含的基本事件有：、、、、、、、、，共有9个.所以.(2)解：试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）记事件为函数有零点，事件所构成的区域为且，所以.21．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.若直线的参数方程为为参数）,曲线的极坐标方程为.（I）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（II）设直线与曲线相交于两点，若点的直角坐标为，求的值.【答案】(I)；.(II) .【详解】分析：（I）由直线参数方程消参数去，即可求得直线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；（II）把直线的参数方程为为参数），曲线的直角坐标方程，求得，即可利用参数的几何意义求解结论.   详解：（I）由参数方程为参数）消去可得， 即直线的普通方程为.                                                         由可得，因此，所以，故曲线的直角坐标方程为.                                   （II）由于，令，则直线的参数方程为为参数）.将代入曲线的直角坐标方程可得，       设两点对应的参数分别为，则，   于是.故.                                      点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中掌握直线参数方程中的参数的几何意义是解答难点，着重考查了推理与运算能力. 22．已知函数.(1)若，解不等式；(2)若均为正实数，且，求证：.【答案】(1)或；(2)证明见解析.【分析】（1）当时，得到不等式，分类讨论即可求解不等式的解集；（2）由题可得，利用基本不等式求得最小值，即可作出证明.【详解】(1)当时，不等式，即为. 若，则，解得；若，则，解得；若，则，无解.综上，不等式的解集为或.(2)由于均为正实数，所以，当且仅当时取等号，而，当且仅当，即时取等号，所以.