2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．若复数满足，则的虚部等于（       ）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】C【分析】利用复数的运算性质，化简得出.【详解】若复数满足，则，所以的虚部等于.故选：C.2．已知集合， ，则（       ）A． B． C． D．P∩Q＝【答案】D【分析】化简得到集合， ，结合为奇数，为偶数，即可求解.【详解】由和，可得集合， ，因为为奇数，为偶数，所以.故选：D.3．设命题，；命题q：若，对任意恒成立，则．下列命题中为真命题的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据零点存在性定理判断命题p真假，由恒成立求出a的取值范围判断q,再由复合命题的真值表判断即可求解.【详解】令，则在为连续函数，且，，故在上存在零点，故方程在上有解，故命题p为真命题，对任意恒成立，则，解得，故命题q为假命题，所以为真命题，，，为假命题．故选：C．4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.5．在正方体分别为的中点，则异面直线与所成角的大小为(       )A． B． C． D．【答案】C【分析】连接、、，则∥∥，即为异面直线与所成角或其补角，根据等比三角形是等边三角形即可求解.【详解】连接、、、易知∥∥，即为异面直线与所成角或其补角，易知等边三角形，故角为.故选：C.6．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（       ）种．A． B． C． D．【答案】B【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可.【详解】由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一组，共有；第二种：三人一组和三人一组，共有；所以不同的方案一共有：.故选：B.7．把函数的图像向右平移个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，则下列说法不正确的是（       ）A．函数的最小正周期为； B．函数的最大值为；C．函数在区间上单调递增； D．函数的图象关于直线对称.【答案】D【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得的解析式，依次判断的最值､最小正周期､对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数向右平移个单位长度得：，横坐标伸长到原来的倍得：.对于A：最小正周期为，可知A正确；对于B：最大值为，可知B正确；对于C，当时，，此时单调递增，可知C正确；对于D：时，，则可知不是的对称轴，可知D错误.故选：D.8．在区间（0，）上随机取一个数，使得成立的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出图象，利用几何概型求概率公式求解.【详解】画出正弦函数与余弦函数由（0，）的函数图象，可以看出当时满足成立，即概率是=.故选：A9．如图所示，为测量两塔塔尖之间的距离，若平面，平面，选择地面点C为测量观测点，测得，，，，，则塔尖之间的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.【详解】依题意，在中，，，则，；在中，，，则；又中，，则.故塔尖之间的距离为.故选：C10．设，若为函数的极小值点，则（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】先对函数求导，令，则或，然后分和结合的正负讨论判断函数的极值点即可【详解】由，得，令，则或，当，即时，若时，则在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不合题意，若时，则在，上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，当时，，若时，在，上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极大值点，不合题意，若时，在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，得，综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，故选：C11．设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得 ， ，设点，由中点公式可得线段的中点 ，可得线段的斜率与的斜率之积等于，可得，可得e的范围.【详解】解：由题意得 ， ，设点，则由中点公式可得线段的中点 ，线段的斜率与的斜率之积等于，即，，，，，或舍去，．又椭圆的离心率   ，故，故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的相关问题，根据题意列出不等式是解题的关键.12．设，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】比较与通过作商，构造通过研究单调性比较大小；与通过作差，构造通过研究单调性比较大小.【详解】，，则，令，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以，所以.而，因此构造，则，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以，故.故选：A【方法点睛】比较大小一般是作差与作商比较，然后要能够有统一化的元素作为比较大小的纽带.二、填空题13．已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则________．【答案】【分析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b．【详解】解：依题意可得抛物线的准线为，又因为椭圆焦点为所以有．即b2＝3故b．故答案为．【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．14．已知向量，，，且，则实数_______．【答案】2【分析】两向量垂直，则两向量的数量积为0，进行计算，得出结果.【详解】由得，即，得故答案为：215．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．【答案】30+6【分析】根据三视图,可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD,其中底面△BCD中,CD⊥BC,且侧面ABC与底面ABC互相垂直,由此结合题中的数据结合和正余弦定理,不难算出该三棱锥的表面积．【详解】解：根据题意,还原出如图的三棱锥A﹣BCD：底面Rt△BCD中,BC⊥CD,且BC=5,CD=4，侧面△ABC中,高AE⊥BC于E,且AE=4,BE=2,CE=3，侧面△ACD中,AC==5，∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE⊥BC，∴AE⊥平面BCD,结合CD⊂平面BCD,得AE⊥CD，∵BC⊥CD,AE∩BC=E，∴CD⊥平面ABC,结合AC⊂平面ABC,得CD⊥AC，因此,△ADB中,AB==2,BD==,AD==,∴cos∠ADB==,得sin∠ADB==，由三角形面积公式,得S△ADB=×××=6，又∵S△ACB=×5×4=10,S△ADC=S△CBD=×4×5=10，∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6，故答案为30+6．【点睛】本题给出三棱锥的三视图,求该三棱锥的表面积,着重考查了三视图的理解、线面垂直与面面垂直的判定与性质和利用正余弦定理解三角形等知识,属于中档题．16．平面四边形中，，，，，则面积的最大值为__________.【答案】【分析】由题意结合正弦定理和余弦定理得到关于三角形面积的解析式，结合三角函数的性质即可确定面积的最大值.【详解】设，，依题意得，则中由余弦定理得：中正弦定理得：，即则，即，所以，当且仅当取等号.综上可得：面积的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．某中学对学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了100名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成列联表如下： 良好以下良好及以上合计男25  女 10 合计70 100(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了9人．若从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系； 良好以下良好及以上合计男252045女451055合计7030100(2)【分析】（1）根据题意补全表格，代入公式求解即可；（2）先求出样本中男生和女生人数，再计算概率即可.(1) 良好以下良好及以上合计男252045女451055合计7030100所以，所以有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.(2)根据题意，抽取了9人中男生有6人，女生有3人；设事件表示9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，抽到的3人全是男生，所以，故从这9人中随机抽取3人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的3人全是男生的概率为：.18．如图，三棱柱中，，，平面，分别是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，通过计算证明得.（2）通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.【详解】解：（1）由题知可以B为原点，分别以BC,BA,BB1为x,y,z轴建系如图所示则有A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),E(0,0,1),F(1,1,2)故有： 由：知：即（2）假设平面AEF的法向量为由不妨假设，则，又平面ABC的法向量 即所成锐二面角的余弦值为19．已知数列的前项和（），数列的前项和（）．（1）求数列的前项和；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由数列的前项和（），利用求出其通项公式，从而得到数列的通项公式，再用裂项相消求和法求出其前项和；（2）求出数列的通项公式，从而就可得数列的通项公式，再用错位相减法求出数列的前项和．【详解】解：（1）由得：当时，，又当时，，，由得：当时，，又当时，，，从而，所以数列的前项和为：，，；（2）由（1）得，所以数列的前项和，则，两式相减得：，，20．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1） （2） 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又，解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.21．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；(3)当时，证明：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由不等式分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.（3）由（1）得到，先证明，然后证明，从而证得不等式成立.【详解】(1)当时，，，切点为，斜率，.∴曲线在点处的切线方程为.即.(2)由，得恒成立，令，则，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以的最小值为，所以，即，故的取值范围是；(3)由（2）知时，有，所以.①要证，可证，只需证.先证，构造函数，则，由得，由得，∴在上单减，在上单增，∴，故（当且仅当时取等号），从而当时，.故当时，成立.②要证，可证.构造函数，则，由得，由得，∴在上单增，在上单减，故，即（当且仅当时取等号），从而当时，.由于，所以，所以，综上所述，当时，证明：.【点睛】要证明，可通过证明来证得.在利用导数证明不等式的过程中，主要利用的是导数的工具性的作用，也即利用导数来求单调区间、最值等.22．在直角坐标系中，圆的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）设直线与圆相交于，两点，求圆在，处两条切线的交点坐标．【答案】（1）圆的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）.【分析】（1）由题意结合直角坐标方程与极坐标方程的转化公式可得圆的极坐标方程；转化直线的极坐标方程为，再利用直角坐标方程与极坐标方程的转化公式即可得直线的直角坐标方程；（2）由题意联立方程组可得，的坐标，结合直线与圆相切的性质、直线方程的求解即可得两切线方程，联立方程即可得解.【详解】（1）圆的方程可变为，所以圆的极坐标方程为即；直线的极坐标方程可变为，所以直线的直角坐标方程为即；（2）由题意联立方程组，解得或，不妨设点，，设过，处的切线分别为，，圆的圆心为，半径为，易得，由直线的斜率可得直线的斜率，所以直线的方程为即，由可得，所以圆在，处两条切线的交点坐标为.【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了直线与圆相切性质的应用及直线方程的求解，属于中档题.23．已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由得出，不等式两边平方，化简后解二次不等式即可；（Ⅱ）由题意得出对任意的恒成立，利用绝对值三角不等式求得的最大值，可得出关于的不等式，解出即可.【详解】（Ⅰ）由得，则，得，解得或，因此，不等式的解集为；（Ⅱ）不等式对恒成立，即，即恒成立，由绝对值三角不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，解得，则或.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，涉及绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.