2021-2022学年河南省新乡市高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年河南省新乡市高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．在下面的图示中，是流程图的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据流程图的定义即可判断.

【详解】A是流程图，B是知识结构图，C是图表，D是韦恩图.

故选：A.

2．复数的共轭复数为（       ）

A．7＋i B．－7－i C．7－i D．－7＋i

【答案】D

【分析】先计算复数，然后由共轭复数定义即可得到答案.

【详解】∵，

∴．

故选：D

3．在极坐标系中，曲线表示（       ）

A．两条直线 B．两个圆，且这两个圆有公共点

C．两条射线 D．两个圆，且这两个圆无公共点

【答案】B

【分析】根据原式得或确定为两个圆，联立两圆直角坐标方程可确定有公共点.

【详解】由，得或，

所以曲线表示两个圆，

将等式两边同乘，得到，

由，，

得直角坐标方程为，

由，

可将化直角坐标方程为，

联立，解得或，

故这两个圆有公共点.

故选：B

4．矩形的长和宽分别为a，b，其对角线长为．将此结论类比到空间中，得到正确的对应结论为（       ）

A．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体积为abc

B．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体对角线长为

C．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其表面积为

D．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体对角线长为

【答案】B

【分析】由矩形的对角线类比到长方体的体对角线即可得到结论．

【详解】矩形的对角线类比到长方体中对应的几何量为体对角线长．故正确的对应结论为长方体的长、宽、高分别为a，b，c．其体对角线长为．

故选：B

5．在用反证法证明命题“若三个正数a，b，c满足，则a，b，c三个数中至多有两个数小于3”时，应该反设为（       ）

A．假设a，b，c三个数都小于3

B．假设a，b，c三个数都大于3

C．假设a，b，c三个数中至少有两个数小于3

D．假设a，b，c三个数中至多有两个数不小于3

【答案】A

【分析】反证法证明题目时，往往先假设所给命题的结论不成立，或结论的反面成立，再推导出矛盾.

【详解】至多有两个意味着不超过两个，则应该假设a，b，c三个数都小于3.

故选：A.

6．将一组数据绘制成如图所示的散点图，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y和x的回归方程类型的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据散点图的趋势结合相应函数的增长变化的特征选定正确的选项.

【详解】对于B，当时，为开口向上的二次函数，不符合，当，为开口向下的二次函数，

，则在为减函数，不符合，

对于C，散点图不呈现正弦函数关系，故不符合，

对于D，当时，在为减函数，不符合，当，在为增函数，但会趋近于一个常数值，故不符合散点的变化趋势，故D错误，

对于A，，为增函数，则，当增大时，在减小，即函数各点切线斜率减小，即增长速度变慢，且散点图的变化趋势符合型函数，故A正确，

故选：A.

7．下列命题的证明最适合用分析法的是（       ）

A．若，，证明：

B．证明：

C．证明：，，不可能成等比数列

D．证明：

【答案】B

【分析】分析法即执果索因，B选项等价于两边平方比较大小，属于分析法的应用.

【详解】选项A和D的证明最适合用综合法，选项C的证明最适合用反证法，选项B的证明最适合用分析法.

故选：B.

8．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（       ）

A．不可能为纯虚数

B．在复平面内对应的点可能位于第二象限

C．在复平面内对应的点一定位于第三象限

D．在复平面内对应的点可能位于第四象限

【答案】D

【分析】利用第二象限的辐角范围确定的辐角范围，即可判断各选项的正误.

【详解】由为第二象限，其对应辐角范围为，

所以对应辐角为，

故在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.

所以A、B、C错误，D正确.

故选：D

9．观察数组：，，，，，….根据规律可得第7个数组为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数组的第一个数成等差数列，第二个数为质数，第三个数是前两个数之和求解.

【详解】数组的第一个数成等差数列，且首项为0，公差为2；

数组的第二个数为质数，且按从小到大的顺序排列；

数组的第三个数是前两个数之和.

因此第6个数组为，第7个数组为.

故选：D

10．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），点，直线l与圆交于A，B两点，则的值为（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】将直线l的参数方程与联立，然后利用直线参数的几何意义求解.

【详解】解：将直线l的参数方程代入，

得，

设|MA|，|MB|对应的参数分别为，，则，

所以.

故选：C

11．观察下列各式：，，，…．根据规律可得的个位数是（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【分析】观察题目中各式可得的个位数的周期T＝4，由周期即可推得的个位数.

【详解】经观察易知8，，，，，，，的个位数分别为8，4，2，6，8，4，2，6．

故（n为正整数）的个位数的周期T＝4．因为，所以的个位数与的个位数相等，所以的个位数是2．

故选：A

12．若复数为纯虚数，其中，复数满足，则的最小值为（       ）

A．0 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】根据纯虚数确定a，再利用复数模的几何意义，把转化为求点到点距离的问题，即可得解.

【详解】因为为纯虚数，所以，.

设，因为，

所以，

所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，

则P到坐标原点O距离的最小值为，

所以的最小值为.

故选：B

二、填空题

13．函数的值域为___________.

【答案】

【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，结合图象得到函数的值域；

【详解】解：因为，

函数图象如下所示：

所以，即函数的值域为；

故答案为：

14．咽拭子检测是一种医学检测方法，用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测，可以了解患者病情､口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况，具体数据如表所示：

根据以上数据发现y与t呈线性相关，其回归方程为，则估计第8天使用的棉签袋数为___________.

【答案】86

【分析】根据所给数据求出，确定回归方程，代入即可估算出第八天使用棉签袋数.

【详解】因为，，

所以，所以.

当时，.

故答案为：86

15．一个二元码是由0和1组成的数字串．（），其中（k＝1，2，…，n）称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1或由1变为0）．已知某个二元码的码元满足如下校验方程组： 其中的运算法则：，，，．若这个二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了100101，则利用上述校验方程组可判定，这个二元码为______．

【答案】101101

【分析】利用题目给的校验方程组直接检验即可.

【详解】假设这个二元码为100101．经计算成立，也成立．但不成立．因此，，，有一个错误，由与，知，，，，没有错误，则错误．故这个二元码为101101．

故答案为：101101

16．如图，若程序框图的运行结果，则t的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据程序的功能和数列的裂项相消法求解.

【详解】解：根据程序，运行过程如下：

，，不符合题意，所以不成立；

，，不符合题意，所以不成立；

…

，，不符合题意，所以不成立，即；

，，符合题意，所以成立.

故t的取值范围为.

故答案为：

三、解答题

17．已知．

(1)求z的虚部；

(2)求．

【答案】(1)-4

(2)

【分析】（1）利用复数商的运算得到复数z，即可得到虚部.

（2）计算出，利用模的公式计算即可.

【详解】(1)因为，所以，

所以z的虚部为－4．

(2)因为，所以．

所以，

故．

18．新高考的选课走班模式在全国陆续展开，为进一步了解学生在选择高考科目时的情况，某学校对高一年级部分学生的选课情况进行统计，其中是否选择地理和化学的学生数量统计情况如表所示：

(1)求出列联表中a，b，c的值并估计该校高一年级学生同时选择地理和化学的频率；

(2)能否有90%的把握（即在犯错误的概率不超过0.1的前提下）认为学生是否选择地理和化学有关联？

参考公式和数据：，，

【答案】(1)

(2)没有90%的把握认为学生是否选择地理和化学有关联

【分析】（1）根表中所给数据求出a，b，c，同时选择地理和化学的频率为，求解即可.

（2）将已知数据代入公式，求得近似值与2.706比较，即可判断是否有把握.

【详解】(1)由列联表可知解得

估计该校高一年级学生同时选择地理和化学的频率为.

(2)因为，

所以没有90%的把握认为学生是否选择地理和化学有关联.

19．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)若点P为直线上的动点，点Q是曲线C上的动点，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接消去参数，可得的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求得曲线C的普通方程；

（2）求出曲线C的参数方程，设，然后利用点到直线的距离公式表示出点Q到直线的距离，化简变形后可求出其最小值

【详解】(1)由（t为参数），消去参数t，可得的直角坐标方程为．

由曲线C的极坐标方程及

可得，整理得，

所以曲线C的普通方程是．

(2)直线的普通方程为，曲线C的参数方程为（为参数，）．

设，

则点Q到直线的距离（其中）．

当时，．

所以．

20．已知实数x，y满足．

(1)求关于x的不等式的解集；

(2)若，，求的最小值．

【答案】(1)

(2)9

【分析】（1）去绝对值，得到不等式组，即可解出不打算的解集；

（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】(1)原不等式可化为，即，

解得，故所求不等式的解集为．

(2)由，得．

因为，

当且仅当，时，等号成立．

所以的最小值为9．

21．为研究男体育特长生的身高与体重之间的关系，从某校的男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：

(1)根据最小二乘法的思想与公式求得身高与体重的线性回归方程为.利用已经求得的线性回归方程，完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）.

(2)通过残差分析，对于残差绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58kg.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.

参考公式：，，，.参考数据：，，，，.

【答案】(1)填表答案见解析，约为0.91

(2)

【分析】（1）根据，结合残差的定义完成残差表，再根据所提供数据，求相关指数；

（2）利用最小二乘法求解；

【详解】(1)解：对编号为6的数据：；

对编号为7的数据：；

对编号为8的数据：.

完成的残差表如下所示：

，

，

所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值约为0.91.

(2)由（1）可知，第六组数据的体重应为58，

此时，又，，，

，

，

所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为.

22．已知函数.

(1)证明：.

(2)若函数，证明：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）令，利用导数法求解；

（2）易得，再（1）转化为，然后令，用导数法证明即可.

【详解】(1)解：令，

则，，

当时，，当时，，

所以，

故.

(2)若，

则，

由（1）可得.

令，则，

当时，，当时，，

所以，

则，又，

所以中的等号不成立，

故.

23．在直角坐标系xOy中，曲线的直角坐标方程为．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的参数方程和的直角坐标方程；

(2)射线与曲线，分别交于两点，求线段的长．

【答案】(1)（为参数），.

(2)

【分析】（1）根据已知条件直接利用转换关系，把极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化即可，

（2）根据已知条件及的几何意义，联立方程组得出的极坐标，进而可以求解线段的长.

【详解】(1)因为的直角坐标方程为，

所以曲线的参数方程为（为参数）．

由，得，

所以曲线的直角坐标方程为．

(2)由：及，

得，所以曲线的极坐标方程为，

设，则

因为射线与曲线交于 M点，

所以，解得，即.

又因为射线与曲线交于 N点，

,解得，即

所以线段MN的长为．

24．已知函数，．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论法求解不等式即可得出结果；

（2）由绝对值的三角不等式得到，进而可得，解不等式即可求出结果.

【详解】(1)当时，，

等价于

或或，

即或或，

故不等式的解集为．

(2)不等式可转化为，

因为，所以等价于，

可得或，即a的取值范围是．