2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学（理）试题含解析

这是一份2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学（理）试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．若复数则的虚部为（       ）A．-4 B． C．4 D．【答案】C【解析】利用复数的除法可先求出，然后再计算，从而可得其虚部.【详解】因为，所以，，故选C.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的概念，属于基础题.2．已知，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的定义和运算法则求解.【详解】解：因为，所以，则，所以，.故选：D3．函数在处导数存在，若p:是的极值点，则（       ）A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】C【详解】试题分析：根据函数极值的定义可知，函数为函数的极值点，一定成立，但当时，函数不一定取得极值，比如函数，函数的导数，当时，，但函数单调递增，没有极值，则是的必要条件，但不是的充分条件，故选C．【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判定．4．已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则（       ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】求得，利用，即可求得结果.【详解】因为 ，所以 ，由题意有 ，所以，故选：A.【点睛】本题考查利用导数由斜率求参数值，属基础题.5．满足+=2n的最小自然数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由复数的乘方与除法则化简后然后代入值验证．【详解】因为，，所以，时，原式＝，时，原式＝，时，原式＝，满足题意．故选：C．6．已知函数，在其定义域内的子区间上不单调，则实数m的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意知，函数在区间上有极值，从而得到，解之即可．【详解】解：在其定义域内的子区间上不单调，函数在区间上有极值，由得或（舍去），解得：，故选：．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析得到函数在区间上有极值是关键，注意定义域，考查分析与运算能力，属于中档题．7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出即可.【详解】因为，，，，所以，即.故选：C.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（       ）A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【答案】B【解析】根据反设的思想，直接得出结果.【详解】用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为“假设至少有两个钝角”.故选：B.【点睛】本题主要考查反证法的应用，熟记反证法的概念即可，属于基础题型.9．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（       ）A．4 B．6C．4.5 D．8【答案】A【分析】【详解】设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，∴S′(x)＝2x－.令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.答案　A10．已知，为f（x）的导函数，则的图象是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，令，根据导函数的奇偶性可排除AD，再根据的符号可排除C，即可得解.【详解】解：，则，令，，所以函数为奇函数，故排除AD，又，故排除C.故选：B.11．已知且，则的最大值（       ）A． B．2 C．1 D．【答案】B【详解】分析：由可得，可设，，，可得，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵且∴设，，.∴∴的最大值是故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．12．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由，（1）当时，可得，即，即，构造函数，所以函数单调递增，则，此时，即满足；（2）当时，可得，由函数递增，则，此时或，即满足；（3）当时，，即满足.综上，.故选：A.二、填空题13．设复数的模为，则________________.【答案】3【详解】由得，即，所以.【解析】复数的运算.14．若函数则与x轴围成的封闭图形的面积为___________.【答案】【分析】画出函数的图象，明确与轴围成封闭图形，利用定积分表示后就是即可．【详解】函数，则的与轴围成封闭图形如，其面积为：；故答案为：．15．已知是抛物线上的一点，过点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在两边同时求导，得：，则，所以过的切线的斜率.试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为_________.【答案】【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.详解：用类比的方法对两边同时求导得，，∴切线方程为，整理为一般式即：.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16．已知函数则下列命题正确的有：___________.①若有两个极值点，则或②若有极小值点，则③若有极大值点，则④使连续的a有3个取值【答案】③④【分析】同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：在同一坐标系中作出的图象，如图所示：①若有两个极值点，则或，故错误；②当时，是的极小值点，故错误；③若有极大值点，由图象知：，故正确；④使连续的a有3个取值-1,0,1故正确；故答案为：③④三、解答题17．已知复数z满足.(1)求复数z；(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1），利用复数的除法运算求解；（2）【小问2详解】先化简复数，再根据复数在复平面内对应的点在第一象限求解.【详解】(1)解：∵，∴，∴.(2)由（1）知，则， ，由题意得：∵解得，即实数a的取值范围为.18．设a，b，c均为正数，且.(1)证明：；(2)是否存在？并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用基本不等式证明；（2）利用基本不等式判断.【详解】(1)方法一：证明：因为，所以（当且仅当时取等）；方法二：∵（当且仅当时取等）；(2)因为，所以，（当且仅当时取等）而，所以.19．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为，记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大.【答案】(1) 与的函数关系式为 ;(2) 改进工艺后，每个配件的销售价为元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大.【详解】试题分析：（1）由题易知每件产品的销售价为，则月平均销售量为a件，利润则是二者的积去掉成本即可．（2）由（1）可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值．试题解析：（1）改进工艺后，每个配件的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元）， 与的函数关系式为（2）由得（舍）当时；时，函数在取得最大值， 故改进工艺后，每个配件的销售价为元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大. 20．已知数列的通项公式，其前项和为.（1）求；（2）若，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）;（2）见解析.【详解】试题分析：（1），可知数列是等差数列，根据等差数列前 项和公式即可求出结果；（2）由于，可得，，，，于是猜想.然后再利用数学归纳法证明，即可证明出结果.试题解析：（1）∵，∴数列是等差数列，且，于是.（2）∵，∴，，，，于是猜想.下证明猜想：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，那么，当时，所以，时，猜想成立.由①②可知，对任意都成立.21．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.（1）求f(x)的极值点；（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）极大值点为，极小值点为；（2）；（3）.【分析】（1）求导，讨论导函数的正负得出函数的单调性，根据函数的单调性可求得其极值点；（2）由（1）可知函数的单调性及极值，结合数形结合分析可得的范围；（3）由题意分离参数即在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，求出其在上的最小值即可得到答案.【详解】（1），令，得，当时，f′(x)>0，当，f′(x)<0，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，分别为的极大值点，极小值点.(2)当时，，当时，，，要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点，则 则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为.（3）当时，由f(x)≥k(x－1)，即，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，所以在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)>g(1)＝－3，所以所求k的取值范围是为(－∞，－3].22．设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求；(2)证明: 【答案】（1）；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.试题解析：（1）函数的定义域为，.由题意可得，.故，.（2）证明：由（1）知，，从而等价于.设函数，则.所以当，；当时，.故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.设函数，则.所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.综上，当时，，即.【解析】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.