2021-2022学年天津市第一中学高二下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年天津市第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．设的导函数为，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

本题选择C选项.

2．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是图中的（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据的正负情况，可以判断的增减情况，进而判断得出答案.

【详解】由的图象易得

当或时，，故函数在区间和上单调递增，

当时.，故函数在区间上单调递减；

故选：A.

3．已知函数的单调递减区间是，则（       ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用导数结合韦达定理得出的值.

【详解】函数，则导数

令，即，

∵，的单调递减区间是，

∴0，4是方程的两根，

∴，，

∴

故选：B.

4．函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由得，，，故切线方程为，令得，令得，故切线与坐标轴围成的三角形面积为，故选A.

【解析】1.导数的几何意义；2.三角形面积公式.

【名师点睛】本题考查导数的几何意义与三角形面积公式，属中档题；解决导数的几何意义有关的问题时应重点注意以下几点：1.首先确定已知点是是否为曲线的切点是解题的关键；2.基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；3.熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提.

5．函数的单调减区间是（       ）

A． B．

C． D．和

【答案】D

【分析】先求出导函数，进而令导函数小于0，最后求得答案.

【详解】由题意，，，令，解得：且，即该函数的减区间为，也可为.

故选：D.

6．已知函数有极值，则c的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求导得，则，由此可求答案．

【详解】解：由题意得，

若函数有极值，则，

解得，

故选：A．

7．已知函数在区间有最小值，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由可得，函数在区间上有最小值，函数在区间上有极小值，而在区间上单调递增，在区间上必有唯一解由零点存在定理可得，解得实数的取值范围是，故选D.

【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(4)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，利用 求解.

8．已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.

【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，

，求导，令，得

当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；

作出函数图像，如图所示，

由图可知，实数的取值范围是

故选：B

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

9．已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，利用导数可求得在上单调递减，根据为奇函数可知其在上单调递减；根据指数和对数函数单调性可得到，由单调性可得大小关系.

【详解】令，当时，，

在上单调递减；

，为上的奇函数，

在上单调递减；

，

，即.

故选：C.

10．设是定义在上的可导函数，且满足，对于任意的正数，下面不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可得出合适的选项.

【详解】因为是定义在上的可导函数，令，，

因为，，所以，，故为上的减函数，

因为，所以，，即，因此，.

故选：C.

二、填空题

11．编号为1，2，3，4，5，6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法___________ 种.(用数字作答).

【答案】240

【分析】首先捆绑3、4号同学，再应用插空法将1，2，5，6号同学逐一插入队列，由分步计数求不同的排法数.

【详解】1、捆绑3、4号两位同学有种方法，

2、将1号插入的方法有种方法，

3、将2号插入的方法有种方法，

4、将5号插入的方法有种方法，

5、将6号插入的方法有种方法，

∴不同的排法共有种.

故答案为：240

12．已知函数，则的极大值为________．

【答案】

【详解】 ，因此，时取极大值

13．设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是______.

【答案】

【分析】求出，由，根据的范围可得答案.

【详解】∵，

∴，

又∵，

∴或

则角的取值范围是.

故答案为：.

14． 3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，有______种分配方法.

【答案】

【分析】把3名医生和6名护士按每组1名医生2名护士，进行平均分3组.注意除以均分组数的全排列.再将3个小组作为3个元素分到3所学校，这样就有一个全排列. 根据分步计数原理得到结果.

【详解】属于平均分组且排序型，共有.

故答案为：540.

【点睛】本题考查了平均分组分配问题，属于基础题.

三、解答题

15．已知函数，

(1)若，求函数的极值；

(2)若函数在上是增函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)有极小值，无极大值

(2)

【分析】（1）求定义域，求导，求出其单调性，从而得到极值；（2）求导，利用在上是增函数得到在上恒成立，求出实数的取值范围.

【详解】(1)函数的定义域为

若，则，

当时，，当时，

故在上单调递减，在上单调递增，

故函数在时有极小值，无极大值；

(2)∵，

又∵函数在上是增函数，

∴在上恒成立，

即在上恒成立，

即，解得：

故实数的取值范围是.

16．已知函数

(1)若，求的增区间；

(2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；

(3)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据函数的定义域以及即可求出的增区间；

（2）根据题意可知，在上有解区间，再分参转化为求最值，即可求出的取值范围；

（3）依题意可得，即直线与曲线有两个交点，利用导数得出函数的单调性，即可求出实数的取值范围.

【详解】(1)的定义域是，时，，

令，得，∴函数的增区间是.

(2)，由函数存在单调递减区间，知在上有解区间，∴，即，而，当且仅当时取等号，∴，（当时，不等式只有唯一的解，不符题意舍去），又，∴的取值范围是．

(3)时，，则即为，

令，则，

当时，，递减；当时，，递增.

∴，又，，，

∴，即实数的取值范围是．

17．已知函数在处取得极值为2，

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；

（3）若为函数图像上的任意一点，直线与的图象相切于点，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）对函数求导，得到，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；

（2）根据（1）的结果，得到，求出函数的增区间，再由题中条件，列出不等式组求解，即可得出结果；

（3）根据导数的几何意义，得到，令，得到，且，求出的范围，即可得出结果.

【详解】（1）由得，

因为函数在处取得极值为2，

所以，即，解得，；

（2）由（1）得，

令，解得；即函数的单调递增区间是，

因为函数在区间上为增函数，

所以只需 ，解得；

（3）根据导数的几何意义可得，=

令，则，且，

由二次函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增，

则，又时，；时，；

的取值范围是.

【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数，考查由函数单调性求参数，考查求曲线在某点的切线斜率，属于常考题型.

18．已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；

（3）证明：对任意的正整数，不等式都成立.

【答案】（1）（2）；（3）见解析

【详解】试题分析：(1)

时,取得极值,

故解得经检验符合题意.

（2）由知 由,得

令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.

当时,,于是在上单调递增;

当时,,于是在上单调递减.

依题意有,

解得,

(3) 的定义域为,由(1)知,

令得,或(舍去), 当时, ,单调递增;

当时, ,单调递减. 为在上的最大值.

,故(当且仅当时,等号成立)

对任意正整数,取得,

故.

（方法二）数学归纳法证明：

当时，左边，右边，显然，不等式成立.

假设时，成立，

则时，有.做差比较：

构建函数，则，

单调递减，.

取，

即，亦即，

故时，有，不等式成立.，综上可知，对任意的正整数,不等式都成立.

【解析】利用导数研究函数的极值函数与方程的综合运用不等式的证明．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，注意函数与方程的综合运用，以及会进行不

等式的证明．