2021-2022学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由基本初等函数的导数公式和运算法则对选项一一判断即可得出得出答案.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：C.2．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（       ）A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点【答案】D【分析】根据导函数与原函数的关系可求解.【详解】对于A，在区间，，故A不正确；对于B，在区间，，故B不正确；对于C、D，由图可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以为函数的极大值点，故C不正确，D正确.故选：D3．若的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项式系数相等，则（       ）．A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】由二项式系数的对称性判断.【详解】根据二项式系数的对称性知，则，故选：C．4．已知随机变量X的分布列如下表，则的值为（       ）1230.20.5  A．1 B．2.1 C．5.3 D．随m变化而变化【答案】B【分析】由分布列性质求得，然后根据期望公式计算．【详解】由题意，，．故选：B．5．的展开式中的系数是（       ）A．10 B． C． D．【答案】D【分析】运用二项式通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，令，所以的展开式中的系数是，故选：D6．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为0.85，第二车间的合格率为0.88，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（       ）A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88【答案】C【分析】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，则提出的一台是第车间生产的产品，根据全概率公式即可求出答案．【详解】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，则提出的一台是第车间生产的产品，则，由题意可得，，，，由全概率公式可得,故选：C7．有5名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为（       ）A．60种 B．120种 C．150种 D．30种【答案】C【分析】将5名学生分为3组，再结合“先选后排”运算即可得解.【详解】当3个小区分配的学生人数为1，1，3时，共有种安排方法；当3个小区分配的学生人数为1，2，2时，共有种安排方法；所以不同的安排方法为.故选：C.8．从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是(       )A． B． C． D．【答案】D【分析】设事件为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，则所求概率为【详解】设事件为“第i次抽到偶数”，i＝1，2，则事件“在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数”的概率为：.故选：D.9．已知函数在处有极小值，则实数m的值为（       ）A． B． C．2 D．或【答案】A【分析】求导，根据因为在处有极小值，由求得m，再检验即可.【详解】解：因为，所以，因为在处有极小值，所以，即，解得或，当时，，当或时，，当时，，所以当时，取得极小值，符合题意；当时，，当或时，，当时，，所以当时，取得极大值，不符合题意；所以实数m的值为-6，故选：A10．已知定义在R上的函数满足，且，则的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．【详解】令，可得，所以在R上是增函数， 可得，， ，由，可得，可得：，所以，所以不等式的解集为：，故选：．11．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用函数单调性确定参数，使用参数分离法即可.【详解】，在上是增函数，即恒成立，；设，；∴时，是增函数；时，是减函数；故时，，∴；故选：B.12．已知函数，若，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值．【详解】，所以，则．于是．所以．构造函数，易知当时，单调递增．所以，．于是，令，则．在上单调递减，在单调递增．所以，即．故选：A二、填空题13．曲线在点处切线的斜率为__________．【答案】3【分析】利用导数的几何意义即可求解.【详解】，，所以函数在点处切线的斜率为.故答案为：14．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有__________条．【答案】126【详解】要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左走或向下走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条15．已知随机变量，若，则_________．【答案】0.75【分析】由正态分布得，，代入即可得出答案.【详解】由对称性知：，.所以答案为：0.75.16．函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】先根据时得，再对函数求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数单调性，即可解决.【详解】解：，，.由题意得，令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增，的最小值为.又，，，，即，在区间为减函数.，当时，.又当，时，，故恒成立，因此a的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分析与解决问题的能力，是中档题.三、解答题17．设函数．(1)求函数的单调区间和极值；(2)求函数在上的最值．【答案】(1)的单调增区间为和，减区间是，极大值为，极小值为(2)最大值为9，最小值为【分析】（1）求出函数的导数，列表判断导数的正负，可判断函数的单调性，求得极值；（2）计算出函数在内的极值，再算出端点处的函数值，比较可得答案.【详解】(1)，令，则或．列表如下：x1+0-0+单调递增9单调递减单调递增 因此的单调增区间为和，减区间是．当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．(2)由（1）知在上的极小值为，又，所以在上的最大值为9，最小值为．18．甲乙两人参加一个摸球中奖游戏，一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球，从中依次随机摸出3个球，每次摸出1个球，规定至少有2个红球则中奖．(1)若甲采用有放回的方式摸球，求甲中奖的概率；(2)若乙采用不放回的方式摸球，求乙中奖的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）从中每次摸出1个球，则摸到是红球的概率为，摸到是白球的概率为，随机摸出3个球中，分有2个红球1个白球和3个红球计算概率，再相加可得答案；（2）记“乙中奖”为事件B，由可求得答案．【详解】(1)解：一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球，从中每次摸出1个球，则摸到是红球的概率为，摸到是白球的概率为，在有放回方式下，记“甲中奖”为事件A，则．(2)解：在不放回方式下，记“乙中奖”为事件B，则．19．已知函数．(1)求的单调区间；(2)存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案不唯一，见解析(2)【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性；（2）首先参变分离得，转化为求函数的最大值.【详解】(1)．当时，单调递增；当时，令，得．若单调递减，若单调递增．综上，当时，函数单调递增区间为，无减区间；当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为上．(2)由题设，在上，，设，则．当时恒成立，所以在上单调递增，．于是，故．20．某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果.在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立.(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率；(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）前两局和棋最后一局甲胜，按照乘法公式计算概率即可；（2）的所有可能取值为，依次计算出概率，列出分布列，再计算期望即可.【详解】(1)前两局和棋最后一局甲胜，.(2)的所有可能取值为，乙慢棋比赛胜概率，乙快棋比赛胜概率，乙超快棋比赛胜概率.，的分布列为1234 .21．已知函数(其中，是自然对数的底数).（1）若在点处的切线方程为，求；（2）若，函数恰好有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出导函数，可得切线斜率，从而得出切线方程；（2）问题转化为的图象和直线恰好有2个交点，求，确定的单调性，得的取值范围，从而可得的范围．【详解】（1），由题意可知，解得（2），问题等价于的图象和直线恰好有2个交点，求的取值范围.令，则.令，则，所以在上单调递减.又，当时，，，所以在上单调递增.当时，，，所以在上单调递减，所以的极大值即最大值为当时，；当时，当时，的图象和直线恰好有2个交点，所以当时，函数恰好有两个零点【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点．解决函数零点问题的关键是把问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题，从而只要用导数研究函数的单调性与取值范围，即可得参数范围．属于中档题.22．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）表示出，求导得，含参分类讨论即可.（2）分离参数可得，用导数研究函数单调性即可求出最值，从而求解，【详解】(1)解：因为，所以，若，则在上恒成立，故在上单调递增，若，则当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．(2)由等价于．令，函数，则，由，可得．当时，单调递减；当时，单调递增，故．所以a的取值范围为．