2021-2022学年四川省成都外国语学校高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省成都外国语学校高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．向量＝（－2，1）所对应的复数是（　　）

A．z＝1＋2i B．z＝1－2i

C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义即可.

【详解】根据复数的几何意义，向量 ＝（－2，1）所对应的复数是z＝－2＋i；

故选：D.

2．由①是一次函数；②的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提､小前提和结论的分别是（       ）

A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②

【答案】D

【分析】根据三段论的概念，即可判断出结果.

【详解】该三段论应为：③一次函数的图象是一条直线（大前提），①y=2x+5是一次函数（小前提），②y=2x+5的图象是一条直线（结论）

故选：D.

3．用反证法证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”时，反设是“关于的一元二次方程（       ）

A．有两个相等实数根 B．无实数根

C．无实根或有两个相等实数根 D．只有一个实数根

【答案】C

【分析】根据反证法证明方法与步骤即可得出选项.

【详解】证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”

反证法需假设“关于的一元二次方程无实根或有两个相等实数根，

推出矛盾.

故选：C

4．要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（       ）

A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】C

【分析】根据三角函数图象变换前后的解析式，确定图象变化过程.

【详解】将在横坐标方向上缩短到原来的，即可得，

∴.

故选：C

5．已知在上是增函数，则实数a的最大值是（       ）

A．0 B．1 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由在上恒成立，参变分离求出a的取值范围即可求解.

【详解】由题意知：，在上是增函数，即在上恒成立，

则在上恒成立，又在上的最小值为3，故，即a的最大值是3.

故选：C.

6．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由观测的数据得到线性回归方程可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由变量正相关，可排除BC；再由回归直线过样本中心，即可得出结果.

【详解】因为变量x与y正相关，BC选项的的系数为负数，所以排除BC；

又回归直线过样本中心，

A选项，过点，所以A正确；

D选项，不过点，所以D不正确；

故选：A.

7．若椭圆的参数方程为（为参数），则椭圆的焦距为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】写出椭圆的普通方程，求出、、的值，即可求得椭圆的焦距.

【详解】因为椭圆的参数方程为（为参数），则椭圆的标准方程为，

所以，，，则，因此，椭圆的焦距为.

故选：D.

8．下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，对其求导，判断单调性，进而可得出结果.

【详解】构造函数，

因为对一切恒成立，

所以函数在上是减函数，从而有，

即.

故选：A．

【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.

9．函数的部分图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明其单调性，即可判断；

【详解】解：因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、D；

当时，，则，

所以当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，故C错误、B正确；

故选：B

10．若函数在上无极值，则实数的取值范围（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围.

【详解】由可得

，

恒成立，为开口向上的抛物线，

若函数在上无极值，

则恒成立，所以，

解得：，

所以实数的取值范围为，

故选：D.

11．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为 (为参数)，直线与曲线交于两点，则的值是（       ）

A．1 B．3

C． D．4

【答案】B

【详解】分析：将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数的几何意义，利用韦达定理求解即可.

详解：设对应的参数分别为，

把的参数方程代入，

得，整理得，

所以 

，故选B.

点睛：本题主要考查直线参数方程中参数的几何意义，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.

12．已知函数，若不等式恒成立，则a的最大值为（       ）

A．1 B． C．2 D．e

【答案】A

【分析】先判断出.利用同构，把转化为（），利用导数判断单调性，求出最小值，即可得到a的最大值.

【详解】要使不等式恒成立，只需.

函数的定义域为.

因为，所以令，则.

对于，，所以在上单调递增，

当时，；当时，.

所以.

对于（）. .

令，解得：；令，解得：.

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以 ，即.

所以=1.

故选：A

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

二、填空题

13．函数，其导函数为，则________________

【答案】0.5

【分析】先求导，然后代入，进行求解

【详解】因为，所以

故答案为：

14．设复数满足（为虚数单位），则______．

【答案】

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故答案为：.

15．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是_____．

【答案】甲

【详解】试题分析：∵相关指数R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，

又∵甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，

0.96＞0.85，∴甲模型的拟合效果好，故填甲．

【解析】本题主要考查回归分析中对相关系数强弱的认识．

点评：在线性回归模型中，R2解释变量对于预报变量变化的贡献率，它的值越接近于1表示回归的效果越好．

16．已知是函数且的个零点，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据函数解析式可得，，由此可得知，，可将所求式子化为；令，利用导数可求得，由此可得所求式子的范围.

【详解】，

当时，；又，，，

；

令，则，在上单调递减，

，的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．（1）在极坐标系中，已知点，请将点的极坐标化为直角坐标；

（2）在平面直角坐标系中，求曲线经过伸缩变换后的曲线方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标关系可直接转化得到结果；

（2）由变换原则可得，代入曲线方程即可得到所求曲线方程.

【详解】（1）由题意得：，，，；

点的直角坐标为.

（2）由得：，，即，

变换后的曲线方程为：.

18．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）.

【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的关系，即可写出圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）联立圆O和直线l方程求交点，将其转化为极坐标即可.

【详解】（1）圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：，即ρsin θ－ρcos θ＝1，

∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

19．已知函数在处取得极值．

(1)求的解析式；

(2)当时，的图象与的图象有两个公共点，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由解出，代回导数，检验在处取得极值即可；

（2）先确定函数在上的单调性，求出最值及端点值，即可求得m的取值范围.

【详解】(1)，

∵在处取得极值，∴，∴，解得：，

∴，此时，当时，；当时，，

在单增，在单减，满足在处取得极值，故.

(2)由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减；

又，，，所以．

20．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求证：．

【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）对求导，令导函数与大于0，小于0即可得出答案.

（2）设，对求导，此题转化为求.

【详解】(1)依题意知函数的定义域为，∵，

由，得；由，得，

∴的单调增区间为，单调减区间为．

(2)设，

∴，

∵当时，，当时，，

∴在上为减函数，上为增函数，

∴，即．

21．为推动实施健康中国战略，手机APP推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月5日获得“运动达人”称号的统计数据：

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：

请根据上标判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？

参考公式：，；.

【答案】(1)

(2)没有

【分析】（1）利用公式可求线性回归方程；

（2）根据列联表可求参数的值，根据公式可求，结合临界值表判断可得答案.

【详解】(1)，

，，，

∴，

由过，故，∴.

(2)，

∴没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关.

22．已知函数，其中e是自然对数的底数．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若存在，，使得，且，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对求导，求，由点斜式即可求出答案.

（2）设，，结合，代入整理得，构造函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得a的取值范围．

【详解】(1)当时，，，，所以在处的切线方程为：，所以.

(2)不妨设，，所以关于t的方程有正实数解，

所以，即有正实数解，

设，

则，，所以单调递增，

所以，

①当时，，所以单调递增，所以，不合题意；

②当时，存在，使得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，即存在，符合题意．

综上，a的取值范围为．