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2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题含解析
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这是一份2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题含解析,共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题一、单选题1.等于( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据排列数公式判断即可;【详解】解:因为一共有个数,所以,故选:D2.从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出,其中至少要有一男一女,则不同的选法共有( )A.16种 B.32种 C.95种 D.192种【答案】A【分析】依题意分选出的3人为1男2女和选出的3人为2男1女两类,按分类计数原理求解即可【详解】若选出的3人为1男2女的情况有种.若选出的3人为2男1女的情况有种.所以至少要有一男一女的选法有,故选:A3.下面几种概率是条件概率的是( )A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7,各投篮一次都投中的概率B.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率C.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,小明在一次上学途中遇到红灯的概率【答案】C【分析】根据条件概率的定义一次对选项进行判断即可.【详解】由条件概率的定义:某一事件已发生的情况下,另一事件发生的概率.选项A:甲乙各投篮一次投中的概率,不是条件概率;选项B:抽2件产品恰好抽到一件次品,不是条件概率;选项C:甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率,是条件概率;选项D:一次上学途中遇到红灯的概率,不是条件概率.故选:C4.下列结论正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】B【分析】根据导数运算法则,结合基本函数的导数公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:对于A选项,,,故A错误;对于B选项,,,故B正确;对于C选项,,,故C错误;对于D选项,,,故D错误.故选:B5.函数的极小值点是( )A.2 B. C. D.【答案】A【分析】利用极值点的定义求解.【详解】解:由题意得:∵,∴,令,则,当时,,函数单调递增当时,,函数单调递减当时,,函数单调递增故是函数的极小值点.故选:A6.将三颗骰子各掷一次,设事件“三个点数都不同”,“至少出现一个6点”,则条件概率的值是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据题意,计算,,进而结合条件概率公式求解即可.【详解】根据条件概率的含义,其含义为在发生的情况下, 发生的概率,即在“三个点数都不相同”的情况下,“至少出现一个6点”的概率,因为,,所以.故选:B7.的展开式中的系数为( )A.30 B.10 C. D.【答案】B【分析】求得的通项,令和,即可求出答案.【详解】因为,的通项为:令,则,令,则,所以的系数为.故选:B.8.回文联是我国对联中的一种,用回文形式写成的对联,既可顺读,也可倒读,不仅意思不变,而且颇具趣味,相传,清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”,曾有一副有名的回文联:“客上天然居,居然天上客;人过大佛寺,寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数,称之为“回文数”.如44,585,2662等;那么用数字1,2,3,4,5,6可以组成3位“回文数”的个数为( )A.30 B.36 C.360 D.1296【答案】B【分析】根据题意,第一步选择第一位数,第二步选择第二位数,结合分步计数原理,即可求解.【详解】由题意,第一步选择第一位数,有种方法,第二步选择第二位数,有种方法,利用分步计数原理,共有种.故选:B.二、多选题9.若随机变量X的分布列如下,则( )X1234PA. B. C. D.【答案】AD【分析】由分布列的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为,解得,故A正确,C错误.由分布列可知:,故B错误;,故D正确.故选:AD.10.已知的二项展开式中二项式系数之和为64,下列结论正确的是( )A.二项展开式中各项系数之和为 B.二项展开式中二项式系数最大的项为C.二项展开式中有常数项 D.二项展开式中系数最大的项为【答案】ABC【分析】根据二项式系数和得,进而根据二项式展开式,二项式系数的性质等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解:因为的二项展开式中二项式系数之和为64,所以,得,所以题中二项式为,二项式展开式的通式公式为:,对于选项A,令,可得二项展开式中各项系数之和为,所以选项A正确;对于选项B,第4项的二项式系数最大,此时,则二项展开式中二项式系数最大的项为,所以选项B正确;对于选项C,令,则,所以二项展开式中的常数项为,所以选项C正确;对于选项D,令第项的系数最大,则,解得,因为,所以时,二项展开式中系数最大,则二项展开式中系数最大的项为,所以选项D错误.故选:ABC11.在新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是( )A.若任意选科,选法总数为B.若化学必选,选法总数为C.若政治和地理至多选一门,选法总数为D.若物理必选,化学、生物至少选一门,选法总数为【答案】ABC【分析】根据题意,结合分类计数原理和分步计数原理,利用组合数的计算公式,逐项计算,即可求解.【详解】对于A中,先从物理和历史中,任选1科,再从剩余的四科中任选2科,根据分步计数原理,可得选法总数为种,所以A正确;对于B中,先从物理、历史中选1门,有种选法,若化学必选,再从生物、政治、地理中再选1门,有种选法,由分步计数原理,可得选法共有种,所以B正确;对于C中,先从物理和历史中选1门,有种选法,若从政治和地理中只选1门,再从化学和生物中选1门,有种选法,若政治和地理都不选,则从化学和生物中选2门,只有1中选法,由分类计数原理,可得共有,所以C正确;对于D中,若物理必选,只有1种选法,若化学、生物只选1门,则在政治、地理中选1门,有种选法,若化学、生物都选,则只有1种选法,由分类计数原理,可得选法总数为,所以D错误.故选:ABC.12.过点作曲线的切线,若切线有且仅有两条,则实数a的值可以是( )A.2 B.0 C. D.【答案】AD【分析】设切点为,求得切线方程为:,将切线过点,代入切线方程,得到有两个解,结合,即可求解.【详解】由题意,函数,可得设切点为,则,所以切线方程为:,切线过点,代入得,即方程有两个不同解,则有,解得或.故选:AD.三、填空题13.已知X是一个离散型随机变量,分布列如表,则常数c的值为__________.X12P【答案】【分析】根据离散型随机变量分布列的性质,列出方程组,即可求解.【详解】由离散型随机变量分布列的性质,可得,解得.故答案为:.14.除以的余数是__________.【答案】8【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】,展开式的通项公式为,当时,为.所以除以的余数是.故答案为:15.已知一个盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,则事件“第二次取到一等品”的概率为__________.【答案】0.75【分析】分析可得所求事件可分为第一次取到的是一等品,第二次取到的是一等品,和第一次取到的是二等品,第二次取到的是一等品,即可求得答案.【详解】设事件“第二次取到一等品”为事件A,可分为第一次取到的是一等品,第二次取到的是一等品,和第一次取到的是二等品,第二次取到的是一等品,所以.故答案为:16.的展开式中的系数为__________.【答案】95【分析】将,,1看作三个不同的对象,把问题可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题求解.【详解】解:将看作对象甲,看作对象乙,1看作对象丙,则题设可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题,则要得到,则给甲1个元素,给乙0个元素,给丙4个元素,或给甲0个元素,给乙2个元素,给丙3个元素,即的系数为.故答案为:95四、解答题17.已知.求:(1);(2).【答案】(1);(2).【分析】(1)(2)根据给定的二项式的展开式,利用赋值法计算作答.【详解】(1)依题意,令,当时,,当时,,所以,.(2)由(1)知,当时,,因此,.18.某种产品的加工需要经过5道工序.(1)如果其中某道工序不能放在最后,那么有多少种加工顺序?(2)如果其中某2道工序既不能放在最前,也不能放在最后,那么有多少种加工顺序?(3)如果其中某2道工序必须相邻,那么有多少种加工顺序?(4)如果其中某2道工序不能相邻,那么有多少种加工顺序?【答案】(1)96,(2)36,(3)48,(4)72【分析】(1)先从另外4道工序中任选1道工序放在最后,再将剩余的4道工序全排列即可;(2)先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后,再将剩余的3道工序全排列;(3)先排这2道工序,再将它们看做一个整体,与剩余的工序全排列;(4)先排其余的3道工序,出现4个空位,再将这2道工序插空【详解】解:(1)先从另外4道工序中任选1道工序放在最后,有种不同的排法,再将剩余的4道工序全排列,有种不同的排法,故由分步乘法原理可得,共有种加工顺序;(2)先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后,有种不同的排法,再将剩余的3道工序全排列,有种不同的排法,故由分步乘法原理可得,共有种加工顺序;(3)先排这2道工序,有种不同的排法,再将它们看做一个整体,与剩余的工序全排列,有种不同的排法,故由分步乘法原理可得,共有种加工顺序;(4)先排其余的3道工序,有种不同的排法,出现4个空位,再将这2道工序插空,有种不同的排法,所以由分步乘法原理可得,共有种加工顺序,19.已知等差数列中,公差为,为其前n项和,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前2022项的和.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用基本量法求解即可;(2)由(1)有,再利用裂项求和求解即可【详解】(1)等差数列中,公差为d(),为其前n项和,且,,成等比数列.所以,,.,,成等比数列.所以,又因为,解得.所以.(2)因为,故..所以.所以.20.某工厂生产一种航天仪器零件,每件零件生产成型后,得到合格零件的概率为0.6,得到的不合格零件可以进行一次技术处理,技术处理费用为100元/件,技术处理后得到合格零件的概率为0.5,得到的不合格零件成为废品.(1)求得到一件合格零件的概率;(2)合格零件以1500元/件的价格销售,废品以100元/件的价格被回收.零件的生产成本为800元/件,假如每件产品是否合格相互独立,记X为生产一件零件获得的利润,求X的分布列.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)设事件A:“一次性成型即合格”,设事件B:“经过技术处理后合格”,求得的值,结合互斥事件的概率公式,即可求解;(2)根据题意,得到随机变量可取,,,求得相应的概率,即可得出的分布列.【详解】(1)解:设事件A:“一次性成型即合格”,设事件B:“经过技术处理后合格”,则,.所以得到一件合格零件的概率为.(2)解:若一件零件一次成型即合格,则.若一件零件经过技术处理后合格,则.若一件零件成为废品,则.所以可取,,,则,,,所以随机变量的分布列为0.60.20.221.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点.(1)求证:AE⊥平面PBC;(2)试确定点F的位置,使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.【答案】(1)见解析(2)当点F为BC中点时,平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°【分析】(1)证明.,推出平面.得到.证明,得到平面.然后证明平面平面.(2)分别以的方向为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形的边长为2,求出为平面的法向量,平面的法向量,利用空间向量的数量积求解即可.【详解】解:(1)∵PA⊥平面ABCD,BC平面ABCD∴PA⊥BC∵ABCD为正方形∴AB⊥BC 又 PA∩AB=A,PA,AB平面PAB∴BC⊥平面PAB∴AE平面PAB∴AE⊥BC ∵PA=AB,E为线段PB的中点∴AE⊥PB又 PB∩BC=B,PB,BC平面PBC∴AE⊥平面PBC (2)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设正方形ABCD的边长为2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)P(0,0,2)E(1,0,1)∴,, 设F(2,λ,0)(0≤λ≤2),∴设平面AEF的一个法向量为则∴令y1=2,则∴ 设平面PCD的一个法向量为则∴令y2=1,则∴∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°,∴,解得λ=1,∴当点F为BC中点时,平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明,二面角等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力和空间想象能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.22.已知抛物线C:的焦点为F,抛物线上一点到F的距离为3.(1)求抛物线C的方程:(2)设直线l与抛物线C交于D,E两点,抛物线C在点D,E处的切线分别为,,若直线与的交点恰好在直线上,证明:直线l恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)由抛物线的定义即可求解;(2)设直线l的方程并与抛物线方程联立,写出韦达定理和两条切线方程,将两切线方程联立可得交点坐标,根据交点在直线上,即可得到所求定点.【详解】(1)由抛物线C:上一点到F的距离为3,可得,解得,所以抛物线C的方程为.(2)证明:设,,由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,联立方程,整理得,所以,且,,又由,可得,所以抛物线C在点D处的切线的方程为,即,同理直线的方程为,联立方程,解得,,又因为直线与的交点恰好在直线y=-3上,所以,即,所以,解得,故直线l的方程为,所以直线l恒过定点.
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