2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合则下图中阴影部分所表示的集合为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，结合Venn图与集合间的基本运算，即可求解.

【详解】根据题意，易知图中阴影部分所表示.

故选：C.

2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.

【详解】是奇函数，不满足题意；

的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；

是非奇非偶函数，不满足题意；

是偶函数，且在区间上单调递增，满足题意；

故选：D

3．函数的一个零点所在的区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理，计算出区间端点的函数值即可判断；

【详解】解：因为，在上是连续函数，且，即在上单调递增，

，，，

所以在上存在一个零点.

故选：.

【点睛】本题考查函数的零点的范围，注意运用零点存在定理，考查运算能力，属于基础题．

4．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据数量积的运算律得到，即可得解；

【详解】解：因为，

所以，即，

即，所以，即与的夹角为；

故选：C

5．函数，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先判断，和的大小关系，然后根据函数的单调性，判断的大小关系.

【详解】，，

，，，，

是上的减函数，.

故选：A.

6．在的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先由函数为奇函数可排除A，再通过特殊值排除B、D即可.

【详解】由，所以为奇函数，故排除选项A.

又，则排除选项B,D

故选：C

7．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（       ）

A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增

【答案】D

【分析】由条件根据函数的图象变换规律得到变换之后的函数解析式，再根据正弦函数的单调性判断即可．

【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，

得到，

若，则，因为在上不单调，

故在上不单调，故A、B错误；

若，则，因为在上单调递增，

故在上单调递增，故C错误，D正确；

故选：D

8．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.

【详解】函数是上的增函数，

所以，解得 ，

所以实数的取值范围是

故选：A.

9．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．

【详解】∵

∴

∵∴＝

∴＝，

∴

故选：C

10．已知函数，下列说法错误的是（       ）

A．函数在上单调递减

B．函数是最小正周期为的周期函数

C．若，则方程在区间内，最多有4个不同的根

D．函数在区间内，共有6个零点

【答案】B

【分析】A. 由时，判断；B. 易知是偶函数，作出其图象判断； C.在同一坐标系中作出的图象判断； D. 根据函数是偶函数，利用其图象，判断的零点个数即可.

【详解】A. 当时，，而，上递减，故正确；

B. 因为，所以是偶函数，当时，，作出其图象如图所示：

由图象知；函数不是周期函数，故错误；

C.在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

由图象知：当，方程在区间内，最多有4个不同的根，故正确；

D. 因为函数是偶函数，只求的零点个数即可，如图所示：

由函数图象知，在区间内共有3个，所以函数在区间内，共有6个零点，故正确；

故选：B

11．函数的图象如图所示，则在区间上的零点之和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出周期，确定，再由点确定，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．

【详解】由题意，

∴，又且，

∴，

∴．

由得，，，

在内有：，它们的和为．

故选：D.

12．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.

【详解】设，则为增函数，因为

所以，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B.

【点晴】

本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.

13．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围．

【详解】解：因为，所以，

当时，的最小值为；

当时，，，

由知，，

所以此时，其最小值为；

同理，当，时，，其最小值为；

当，时，的最小值为；

作出如简图，

因为，

要使，

则有．

解得或，

要使对任意，都有，

则实数的取值范围是．

故选：A．

14．如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件可得，设，则，由，展开后，利用二次函数性质求解即可.

【详解】∵

,

因为，，，

所以，

连接，因为，

所以≌，

所以，

所以，则，

设，则，

∴，，，，

所以，

因为，

所以.

故选：A.

二、填空题

15．已知向量，，若，则的值为________.

【答案】

【详解】因为，，，

所以，解得，

故答案为：

16．若，则________.

【答案】16

【详解】因为，所以，

故答案为：16

17．若，，则________.

【答案】

【分析】，然后可算出的值，然后可得答案.

【详解】因为，，

所以，所以，

所以，，因为，所以，

故答案为：

18．已知函数，的部分图象如图所示，其中点A，B分别是函数的图象的一个零点和一个最低点，且点A的横坐标为，，则的值为________.

【答案】

【分析】利用条件可得，进而利用正弦函数的图象的性质可得，再利用正弦函数的性质即求.

【详解】由题知，设，

则，

∴，∴，

∴，

将点代入，

解得，又，

∴.

故答案为：.

19．已知函数，则下列说法正确的有________.

①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

②在上单调递增

③在内有2个零点

④在上的最大值为

【答案】②③

【分析】化简函数，结合三角函数的图象变换，可判定①不正确；根据正弦型函数的单调的方法，可判定②正确；令，求得，可判定③正确；由，得到，结合三角函数的性质，可判定④正确.

【详解】由函数，

对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，

得到，所以①不正确；

对于②中，令，解得，

当时，可得，即函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，所以②正确；

对于③中，令，可得，解得，

当时，可得；当时，可得，

所以在内有2个零点，所以③正确；

对于④中，由，可得，

当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.

故答案为：②③.

20．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________.

【答案】

【分析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案

【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称，

所以，且

因为f(x＋2)为偶函数，

所以的图象关于直线对称，，

所以，即，

所以，即，

当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则

，

因为，所以，得，

因为，所以，

所以当时，，

所以，

故答案为：

三、解答题

21．函数

(1)当时，求函数的值域；

(2)当时，求函数的最小值．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）化简函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解；

（2）根据函数的解析式，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，函数，

可得函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为，

综上函数在上的值域为.

(2)解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；

②当时，函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增，最小值为；

③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，

综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.

22．已知向量，，．

(1)若，求向量与的夹角；

(2)若函数．求当时函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出的坐标，再根据数量积、向量夹角的坐标公式计算可得；

（2）根据数量积的坐标公式、二倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，再根据的取值范围，求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】(1)解：因为，

当时，，又.

所以，，，

所以，

因为，

所以向量与的夹角为.

(2)解:因为，，

所以，

当时，，

所以，则

因此函数在时的值域为

23．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．

(1)求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额减去成本）

(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)100百辆时，1300万元

【分析】（1）分和，由利润=销售额减去成本求解；

（2）由（1）的结果，利用二次函数和对勾函数的性质求解.

【详解】(1)解：由题意得当，，

当时，，

所以；

(2)当时，，

当时，，

当时，

由对勾函数，当时，

，时，，

时，

即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元

24．已知函数，（为常数）.

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论；

（2）由得，转化为，设，利用二次函数的性质，即可求解.

（3）把函数有个零点转化为方程有两个解，令，作的图像及直线图像，结合图象，即可求解，得到答案.

【详解】（1）当时，且时，是单调递减的.

证明：设，则

又且，

故当时，在上是单调递减的.

（2）由得，变形为，即，

设，令，则，

由二次函数的性质，可得，所以，解得.

（3）由有个零点可得有两个解，

转化为方程有两个解，

令，作的图像及直线图像有两个交点，

由图像可得：

i）当或，即或时，有个零点.

ii）当或或时，由个零点；

iii）当或时，有个零点.

【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合理分离参数和转化为图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.