2021-2022学年福建省福州第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年福建省福州第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州第一中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数，则（       ）A．2 B． C．4 D．5【答案】B【分析】由复数的四则运算得出，再由模长公式计算即可.【详解】，故选：B2．已知向量，，若，则实数（       ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】向量共线的充要条件.【详解】因为，所以，所以．故选：C．3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设可得，根据余弦定理有，利用基本不等式求角的范围，即可确定最大值.【详解】由，则，所以，，所以，故的最大值为.故选：B4．P是所在平面内一点，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设可得，可得共线且，即可确定答案.【详解】由题设，，故共线且，如下图示：所以.故选：A5．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的模，将两边平方，求出向量，的数量积，再根据向量的夹角公式求得答案.【详解】∵，是单位向量，若，∴，，,∴.∴，∴，∴,由∴与的夹角为,故选:B.6．已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面基本性质作出正方体中的截面图，再由正方体的特征判断截面的性质，即可求周长.【详解】过直线与射线分别交于，作射线交于，连接交于，如下图示：所以六边形即为面截正方体所得的多边形，又M，N，P分别是棱、、的中点，易知：均为中点，所以截面为正六边形，故周长为.故选：C7．表面积为的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于（       ）A．567 B．576 C．240 D．【答案】B【分析】由题意画出截面图形，利用正四棱柱的对角线的长等于球的直径，通过勾股定理求出棱柱的底面边长，然后求出表面积.【详解】设球的半径为，正四棱柱的底面边长为，作轴的截面如图，，又因为，所以，可得：，所以，所以，所以正四棱柱的表面积，故选：B【点睛】本题主要考查了球与正四棱柱的关系，考查求几何体的表面积，属于中档题.8．中，已知，设D是边的中点，且的面积为，则等于(       )A．2 B．4 C．-4 D．-2【答案】A【解析】根据正、余弦定理求出；根据三角形面积公式求出；再根据D是边的中点，将，用和表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．【详解】∵， ∴， ∴，即， ∴，又角是的内角，∴， 又，即 ，∴；又D是边的中点∴.故选：A．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．二、多选题9．m，n是空间中不同的直线，，，y是不同的平面，则下列说法正确的是（       ）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，则D．若l，m是两条异面直线，且，，，，则【答案】ACD【分析】根据直线、平面的位置关系逐一判断即可.【详解】由线面平行的判定可知，故A正确；若，，，则与异面或平行，故B错误；由面面平行的性质可知，故C正确；l，m是两条异面直线，，，，，则存在直线使得，且相交，设确定的平面，由面面平行的判定可知，同理可得，则，故D正确.故选：ACD10．设，，为复数，．下列命题中正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【分析】设出，，，依据复数模的运算求解即可判断A；利用复数运算法则可判断B；由共轭复数的概念可判断C；对于D，，不一定能比大小.【详解】解：设，，，，则.A.，同理可得，若，则，则故A正确；B.因为，所以，又因为，所以，故B正确；C.若，，即，则，故C正确；D.若，与不一定能比大小，如，，，满足，但与不能比大小，故D错误；故选：ABC11．如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．在的仿射坐标系中，，．则下列结论中，正确的是（       ）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】AD【分析】利用平面向量的线性运算可判断A选项；利用平面向量数量积的运算可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B错；对于C选项，，C错；对于D选项，，所以，在上的投影向量为，D对.故选：AD.12．在中，，，，为所在平面内的一点，，则的值可能为（       ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】分两种情况讨论：①当点、位于直线的同侧；②当点、位于直线的异侧.作出图形，设，可得出，，，利用正弦定理可求得，然后利用平面向量数量积的定义、三角恒等变换以及正弦型函数的基本性质求出的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】分两种情况讨论：①当点、位于直线的同侧时，设，则，，因为，，由正弦定理可得，所以，，由已知可得，可得，则，则，所以，；②当点、位于直线的异侧时，同①可求得.综上所述，的取值范围是.故选：BD.三、填空题13．若平面向量、满足，，则的取值范围是_________．【答案】【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.【详解】由向量模的三角不等式可得，当且仅当、反向时，等号成立，，当且仅当、同向时，等号成立，综上所述，.故答案为：.14．在中，，，若此三角形恰有两解，则边长度的取值范围为_________．【答案】【分析】作出图形，可得出当恰有两解时，所满足的不等式，即可得解.【详解】如下图所示：若恰有两解，则，即.故答案为：.15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为______.【答案】【解析】设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，根据等体积法求解即可.【详解】解：设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，左侧倒圆锥形沙堆的体积，右侧圆锥形沙堆的体积，由得.故答案为：.【点睛】本题考查等体积法求，圆锥的体积计算公式，考查运算能力，是基础题.16．已知等边，D是外的一点，且，，则平面四边形的面积的最大值是_________．【答案】【分析】设等边三角形边长为，应用三角形面积公式、余弦定理有、，代换后应用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值.【详解】若等边三角形边长为，则，又，所以，而，则，所以当时，平面四边形的面积的最大值是.故答案为：四、解答题17．已知复数，若存在实数，使成立．(1)求的值；(2)求的最小值【答案】(1)(2)【分析】（1）由复数的运算化简，再由复数相等得出的值；（2）由模长公式结合二次函数的性质得出最值.【详解】(1)，，解得(2)即的最小值为18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________．(1)求角C的大小；(2)若，，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据所选条件，应用正弦定理边角关系、和角正弦公式、三角形内角性质化简条件得到关于角C的三角函数值，即可得结果；（2）由已知及正弦定理可得，再由余弦定理有，进而求得，最后应用三角形面积公式求面积.【详解】(1)选①：由正弦定理得：，而，所以，整理得：，又，可得，而，则.选②：由正弦定理得：，而，所以，则，而，可得，而，则.选③：由正弦定理得：，而且，则，又，所以，则，即.(2)由，则，故，而，则，可得，又，整理得，则，可得，所以的面积为.19．已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．(1)求和的值；(2)若，，，求与所成角的余弦值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值；（2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可.【详解】(1)根据题意，梯形中，，，E为的中点则又由可得，(2)是与所成的角，设向量与所成的角为，则，则则，因为所以所以与所成角的余弦值为.20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．(1)求证：平面；(2)求证：F为的中点；(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在N使得平面，，理由见解析.【分析】（1）连接交于，连接，易知，再由线面平行的判定证结论；（2）由，根据线面平行的判定有面，再由线面平行的性质可得，结合已知即可证结论.（3）为中点，连接，由已知易证为平行四边形，则，再由线面平行可证面，即可判断存在性.【详解】(1)连接交于，连接，如下图：由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点，所以为中位线，则，又面，面，故平面；(2)由题设知：，面，面，所以面，又面，面面，所以，又E为棱的中点，即是△的中位线，故F为的中点；(3)存在N使得平面且，理由如下：为中点，连接，由题设且，由（2）知且，所以且，即为平行四边形，所以，而面，面，所以面，故所求点即为点，则上存在点N使得平面，且.21．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边上，为的角平分线．．(1)求；(2)若，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面积公式得出，再由正弦定理结合得出；（2）由，，利用余弦定理结合得出的大小．【详解】(1)，，即由正弦定理可得，即(2)，即设，则，解得22．如图为一块边长为8km的等边三角形地块，为改善市民生活环境，当地政府有计划对这块地进行改造，在、、上分别选取点D、E、F使，在四边形区域内种植草坪，其余区域修建停车场，设．(1)当D为中点且时，求草坪的面积；(2)若在改造的过程中，因实际需要，D与B、C的距离都不少于2km，求草坪的面积的最大值，并求出此时的值．【答案】(1)草坪的面积为；(2)草坪的面积的最大值为，【分析】(1)根据正弦定理及三角形面积公式求出，面积，由此可得草坪的面积；(2)由正弦定理结合三角形面积公式，根据基本不等式结合二次函数性质求其最小值，由此可得草坪的面积的最大值，根据取最值的条件求.【详解】(1)因为为等边三角形，且边长为8，D为中点，所以,，又，所以，在由正弦定理可得，所以，又，所以，所以的面积，因为，，所以,在由正弦定理可得，所以，所以，所以的面积，所以草坪的面积(2)设，则，因为D与B、C的距离都不少于2km，所以，在由正弦定理可得，所以，故，所以的面积，在由正弦定理可得，所以，所以所以的面积，所以所以，当且仅当时等号成立，当或时，函数取最小值，最小值为，又草坪的面积所以草坪的面积的最大值为，此时，化简得，