2021-2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2021-2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省莆田第一中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知是虚数单位，复数满足，则是（       ）A．1 B．-1 C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘除运算即可求解.【详解】由题可知：，故.故选：C.2．已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据体积公式可得三个球的半径之比，再根据表面积公式可得表面积之比【详解】由题，设三个球的半径分别为，则由题，，故，故表面积之比故选：B3．在中，角、、的对边分别是、、，若．则的大小为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理结合角的范围可求得角的值，再利用三角形的内角和定理可求得的值.【详解】因为，则，则，由余弦定理可得，因为，则，故.故选：B.4．设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（    ）A． B． C． D．且【答案】C【详解】若使成立，则选项中只有C能保证，故选C[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.5．已知，其中，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值.【详解】，，可得，因此，.故选：C.6．已知向量，点，，则向量在上的投影向量的模长为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，从而利用投影向量的模长公式进行求解.【详解】，故在上的投影向量的模长为.故选：D7．为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得塔顶处的仰角为，从A处向正东方向走140米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为(       )A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】设TO=h，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．【详解】设铁塔的高度为，在中，，，在中，，，在中，，由余弦定理得，；即，化简得，解得．故选：A．8．中，,,,为线段上任意一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先设PA＝x，x∈[0，]，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解．【详解】△ABC中，设PA＝x，x∈[0，]，则（）•x（﹣x）×cos180°+2（﹣x）×cos45°＝x2﹣x+4，∵x∈[0，]，由二次函数的性质可知，当x时，有最小值；当x＝0时，有最大值4，所求的范围是[，4]．故选：C【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题．二、多选题9．下面关于空间几何体叙述正确的是（       ）A．若梯形面积为，则其斜二测画法直观图面积为B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C．正四棱柱都是长方体D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥【答案】ACD【分析】根据斜二测画法的概念，空间几何体的概念判断各选项．【详解】如图，，由斜二测画法， 直观图面积为，任何平面多边形都可能切割成图中类似的直角三角形，通过这些直角三角形面积的和得出平面图形的面积，即这个规律对平面上任何图形都适用．所以时，，A正确；底面是正多边形的棱锥，顶点在底面上的射影不一定是底面中心，因此它不一定是正棱锥，B错；正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形也属于长方形，因此它是长方体，C正确；直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，D正确．故选：ACD．10．若角为钝角，且，则下列选项中正确的有（       ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用平方关系得到的值，再求解，即可解得.【详解】，解得：，故D正确；，是钝角， ，即，联立，解得： ，.故选：BD11．根据下列中的一些边和角（其中角、、的对边分别为、、），分别判断符合条件的的个数，其中满足条件的只有一个的选项是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】AD【分析】在中，已知两边和其中一边的对角判断三角形解的个数情况如下，以已知，，为例，当为锐角时：若 ，则有一个解，若 ，则无解，若 ，则有两个解，若 ，则有一个解.当为直角或钝角时：若，则无解，若，则有一个解.分别判断选项即可得到答案.【详解】对于A，，所以有一个解，故A正确，对于B，，所以无解，故B正确，对于C，，所以有两个解，故C错误.对于D，，所以有一个解，故D正确.故选：AD.12．已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】BCD【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.【详解】A.若，则，所以该选项正确；B.若，则，所以该选项错误；C.若，，则，所以该选项错误；D.，，则.所以该选项错误.故选：BCD.三、填空题13．已知复数（为虚数单位），则的模为__________.【答案】【分析】利用复数乘法和模长运算法则直接计算即可.【详解】，.故答案为：.14．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．【答案】【分析】由条件求解底面半径和圆锥的高，即可求得圆锥的体积.【详解】设底面半径为，由题意可知，解得：，圆锥的高，所以圆锥的体积.故答案为：15．函数在区间上的最大值为__________（用数字作答）.【答案】【分析】用平方关系化简得到，当时即可求出最值.【详解】函数，因为，所以，当时，即，函数取得最大值，故答案为：.四、双空题16．如图所示，四边形中，，，，则__________，__________.【答案】     5     8【分析】第一空由正弦定理即可求得答案，第二空，先计算，进而求得，再求出，在中由余弦定理求得答案.【详解】在中，，，，由正弦定理得，所以，解得；因为，，所以，在中，，由余弦定理得,所以.故答案为：5；8五、解答题17．已知向量，.(1)求，；(2)求与的夹角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由数量积坐标表示计算数量积，由模的坐标表示计算模；（2）由数量积的定义计算向量夹角的余弦值．【详解】(1)因为，，所以.(2)设与的夹角为，则.18．已知函数，其中.函数图象的一个对称中心坐标为.(1)求的单调递增区间；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求的最大值以及取得最大值时所有的集合.【答案】(1)；(2).【分析】(1)通过三角恒等变换公式将f(x)化简为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，根据其对称中心可求出ω，再根据复合函数和正弦函数单调性即可求其增区间；(2)根据图象变换求出g(x)的解析式，结合三角函数性质即可求其最大值及取得最大值时x的取值集合．【详解】(1)∵．而函数图象的一个对称中心坐标为，∴，即．∵，∴，因此．由，解得，∴函数增区间为．(2)将函数的图象向左平移个单位，得到，再将图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到，当，即时，取得最大值为．此时．19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①（为虚数单位），②的面积为，③，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，__________．（1）求；（2）在（1）的结论下，若点为线段的一点且，求长．【答案】选择见解析；（1）；（2）．【分析】（1）若选择条件①：根据模长关系可解得，利用余弦定理即可求解；若选择条件②：根据面积关系可得，再解得，利用余弦定理即可求解；若选择条件③：根据向量数量积，；，再解得，利用余弦定理即可求解；（2）结合余弦定理得，在中，由余弦定理得解.【详解】（1）方案一：选择条件①由，解得，则，则．方案二：选择条件②∵，∴，又∵，∴，由，解得，∴，则．方案三：选择条件③∵，；∴，由，解得，∴，则．（2）在中，由余弦定理得：，因为，，则．在中，由余弦定理得：，则．20．已知，，．(1)若，求的值；(2)若，且，，求的值．【答案】(1)1(2)详见解析【分析】（1）由题得，再利用二倍角公式及同角关系式可得，即求；（2）由题可得，再利用同角关系式及两角和公式即求.【详解】(1)∵，，，，∴，即，∴.(2)∵，，，∴，，∴，∴，又，，∴，当时，，当时，.21．山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为.（1）如图（1），若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为，用，，表示山的高度h.（2）如图（2），若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的正投影．已知石塔高度，当观测点E在AD上满足时，看BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h.【答案】（1）h＝；（2）h＝180.【分析】（1）由已知条件可得，利用正弦定理得到，再利用即可得出结果；（2）设，先求出，再利用两角差的正切公式得到，最后利用基本不等式即可得出结果.【详解】（1）解：在中，，由正弦定理得：，得，则，（2）设，，，，当且仅当，即时，最大，从而最大，由题意，，解得.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．向量，，函数.(1)求函数的对称中心；(2)若函数在上有5个零点，求的取值范围；(3)在中，内角，，的对边分别为，，，的角平分线交于点，且恰好为函数的最大值.若此时，求的最小值.【答案】(1)（Z）(2)(3)【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及三角恒等变换先求出，再令，即可解出；（2）由题可知在上有5个根，当时，，所以它的5个根分别是的解，即可由得出的取值范围；（3）由恰好为函数的最大值可求得，，在和中，根据正弦定理可求出，再在中，利用正弦定理求出，从而得到的表达式，最后利用基本不等式可求出最小值．【详解】(1)∵，，∴，∴.令得，∴的对称中心为（Z）.(2)当时，，又在上有5个零点，∴，∴的取值范围为.(3)由恰好为函数的最大值可得，即，∵，则可解，则，在中，由，可得，在中，由，可得，∴，在中，，则可得，，则，∵，，∴，当且仅当等号成立，故的最小值为.