2021-2022学年四川省成都外国语学校高一下学期期中考试数学（文）试题含解析

2021-2022学年四川省成都外国语学校高一下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．下列向量关系式中，正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的概念与线性运算法判断即可；

【详解】解：根据向量的概念可得A、B错误，对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：D

2．在等差数列中，若，则（       ）

A．27 B．18 C．9 D．6

【答案】C

【分析】利用等差数列的性质可求.

【详解】因为为等差数列，故，故，

故选：C.

3．已知向量，，且，则实数（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量共线的坐标表示，简单计算可得结果.

【详解】由，且，

所以，得.

故选：A

4．在中，内角的对边分别为，若，则一定是（       ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】先由正弦定理得到，推出，即可得出结果.

【详解】因为，由正弦定理得：，所以，

故，所以一定是等腰三角形.

故选B

【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.

5．在中，角A，B，C所对的边分别是，，，，，，则（       ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得，即可求得.

【详解】，，

由正弦定理得：

，，

故选C.

6．要得到函数的图象，只需把函数的图象（       ）

A．向左平移个单位 B．向右移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】C

【分析】先用三角恒等变换化简，再用平移法则求解即可

【详解】，

因此要得到函数的图象，

只需把函数的图象向左平移个单位，

故选：C

7．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】注意观察已知角与所求角，不难发现，所以，利用诱导公式及二倍角余弦公式化简即可求解.

【详解】解：因为，

所以

，

故选：B.

8．设等比数列的前n项和为，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断的情况，然后当根据求出，代入求解即可.

【详解】解：设等比数列的公比为，

若，则，所以

所以，与已知矛盾.

所以，

，得

故选：D

9．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得，进而根据余弦定理即可求解的值．

【详解】解：，，，

由正弦定理,可得,可得，

，设的外接圆半径为，

由正弦定理可得，

又，可得，

可得，，可得，

，则为锐角，解得．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.

10．已知数列满足：，，则下列正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将中两边同时除以，再利用累加法得到的通项公式，即可求解.

【详解】解：∵，等式两边同除以，∴，

可得到，，…，，利用累加法，可得到

，即，

又∵，所以.

，∴，故A正确；

，∴，故B错误；

，∴，故C错误

，∴，故D错误.

故选：A

11．设等差数列的前项和，且满足，，对任意正整数，都有,则的值为（       ）

A．1008 B．1009 C．1010 D．1011

【答案】C

【分析】根据，，结合等差数列的性质和前n项和公式得到，且求解.

【详解】因为，，

所以，

所以，且，

因为对任意正整数，都有，

所以，

故选：C

12．在中，，若点为的内心，则的值为（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】由余弦定理得，得到，求得，进而求得 内切圆半径，得出，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

【详解】在中，由，且点为的内心可知，平分，

设圆交于点，根据余弦定理可得，

所以，所以，所以，

则 内切圆半径，

所以在中，，

所以

故选：C.

二、填空题

13．sin35°cos25°+cos35°cos65°=________．

【答案】

【分析】利用诱导公式将原式化为，再根据两角和得正弦公式即可得出答案.

【详解】解：sin35°cos25°+cos35°cos65°

.

故答案为：.

14．已知向量，满足，则与的夹角为__________．

【答案】30。

【分析】根据向量的数量积运算可以算出向量的夹角.

【详解】解：由题意得：

又

所以与的夹角取值范围为，故与的夹角为

故答案为：

15．设等比数列满足，，则的值为__________．

【答案】

【分析】根据题意求得等比数列的公比，进而的，结合等差数列的求和公式和对数的运算性质，即可求解.

【详解】由题意，等比数列满足，，

可得，所以，

则，解得，所以，

所以，

所以.

故答案为：.

16．如图，直角梯形公园OABC中，OA=2km，OC=CB=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF(点E，F分别在边OA与BC上)，D为切点，令∠DOE=θ，则道路EF的长度y与θ的函数关系为_____________．

【答案】，

【分析】由题意，且，连接，则分别在Rt△、Rt△有、，又，即可写出y与θ的函数关系，注意的取值范围.

【详解】

由题意，且，则在Rt△中，，

在Rt△中，，则，

∵，

∴，

∴，即，

如图，当重合时，最大，此时，而当重合时，最小，此时，

综上，，.

故答案为：，

三、解答题

17．已知平面向量，，

(1)求

(2)若与垂直，求实数k的值．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）先求出，从而求出模长；（2）利用向量垂直得到方程，求出实数k的值.

【详解】(1)，．

(2)由，

又与垂直，所以，

解得：．

18．在①，②4是，的等比中项这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．

问题：已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，且________．

(1)求；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)任选一条件，都有；

(2).

【分析】（1）由题意得，选①得，得到，，即可求出

选②得，得到，，即可求出

（2）由（1）得，，，裂项相消即可得到答案.

【详解】(1)设等差数列的公差为，

由，可得，即，

选①，即有，即，

由，解得，，

则；

选②4是，的等比中项，即有，即，

由，解得，，

则；

(2)，，

，

19．已知函数．

(1)求函数的单调减区间；

(2)若，，，且．求的值．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）化简函数解析式，再根据三角函数的单调区间写出的单调减区间即可

（2）根据题中的数据，结合三角函数的和差公式化简计算求值即可得出答案

【详解】(1)根据可化简得：

∵函数的单调减区间为：，

∴的单调减区间满足：，

化简得：，

所以函数的单调减区间为，；

(2)由（1）得：

∴，又∵，，

∴，且得，

∴

∴．

20．已知数列满足，.

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）若数列满足，为数列的前项和，求.

【答案】（1）证明见解析；；（2）.

【解析】（1）由递推关系直接构造新的等比递推关系，进而求出数列的通项公式.

（2）先用（1）的结论，再用错位相减法求出数列的和.

【详解】（1）数列满足，，

整理得，（常数），

所以是以3为首项，公比为3的等比数列

，得.

（2）数列满足，

所以数列的通项公式为，

所以①，

②，

①②得：，

整理得.

【点睛】本题考查数列的通项公式求法，错位相减法求和，同时考查式的运算能力，属于基础题.

21．如图，在△ABC中，，，在AC的右侧取点D，构成平面四边形ABCD，且．

(1)求△ACD外接圆的面积；

(2)求△ACD周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先算出的度数，然后根据正弦定理算出外接圆的半径即可求出圆的面积.

（2）令，利用正弦定理表达出与的关系，即可利用三角恒等变换求出周长的取值范围.

【详解】(1)解：由题意得：

在△ABC中，由余弦定理得：

∴

∵，

∴

设△ACD外接圆的半径为r，则由正弦定理得

∴

△ACD外接圆的面积为．

(2)令，则，且

在△ACD中，有正弦定理得

∴，

∴

，

∵，

∴，

∴．

∴

22．已知数列是等比数列，且，，数列满足：对于任意，有．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足：，，求数列的前2n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设数列的公比为，根据，，求出首项与公比，即可求出数列的通项，再根据数列的通项与前项和的关系即可求出数列的通项公式；

（2）由（1）结合，可得，再分奇偶求出数列的通项公式，再利用分组求和法即可得出答案.

【详解】(1)解：设数列的公比为，

∵，，则，

∴，，，

所以数列的通项公式，

，

当时，，

两式相减得：，

即，

又∵，即满足上式，

所以；

(2)解：∵，

∴

得，又，

∴，得，

∴当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

∴，

.