2021-2022学年广东省深圳市深圳中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2021-2022学年广东省深圳市深圳中学高一下学期期中数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省深圳市深圳中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的幂运算的周期性可直接求得结果.【详解】，，，，其中，.故选：B.2．=（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角差的正弦可求三角函数式的值.【详解】,故选：D.3．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式进行求解即可.【详解】由，故选：B4．如图，在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算作答.【详解】在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则，所以.故选：B5．的内角所对的边分别为，已知，（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合正弦定理求得正确答案.【详解】，由正弦定理得.故选：A6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求即可.【详解】由b2＝ac，又c＝2a，得，由余弦定理，得cos B＝＝.故选：B.7．已知向量，且，则的值是（       ）A．1 B． C．3 D．【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再利用两角和的正切公式，求.【详解】，，得，.故选：D8．在中，，若，则向量在上的投影是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，进而求出，再利用向量投影的意义计算作答.【详解】在中，，，由正弦定理得：，即有，整理得，解得，，因此，，，，所以向量在上的投影是.故选：C二、多选题9．已知复数，下列说法正确的是（       ）A．复数z的虚部是 B．复数z的模为5C．复数z的共轭复数是 D．在复平面内复数z对应的点在第四象限【答案】BD【分析】根据复数的相关定义、模的运算与几何意义即可求得答案.【详解】复数的虚部为-3，A错误；复数的模为，B正确；复数的共轭复数为，C错误；复数对应的点的坐标为，在第四象限，D正确.故选：BD.10．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）A．－2 B． C．1 D．－1【答案】ABD【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．【详解】因为，．假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.故选：ABD．11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中不正确的是（       ）A．向量，则B．若点G为的重心，则C．若O为所在平面内一点，且，则D．若I为的内心，则【答案】AC【分析】利用向量坐标运算及模的坐标表示计算判断A；利用三角形重心定理计算判断B；利用数量积运算律计算判断C；利用三角形内角平分线性质推理计算判断D作答.【详解】对于A，，则，，A不正确；对于B，点G为的重心，如图，延长交BC于E，则E是BC中点，则，因此，，B正确；对于C，由得：，即，点O在边BC的高所在直线上，显然，C不正确；对于D，I为的内心，如图，延长交BC于D，显然分别平分，则有，，，，，同理，，所以，D正确.故选：AC【点睛】易错点睛：平面向量数量积的关系等式中，不能全与代数等式的相关性质类比，如：不能推出.12．如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面正确的是（       ）A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/小时C．甲乙两船相遇时，甲行驶了小时 D．甲乙两船不可能相遇【答案】AD【分析】连接，求出，再用余弦定理求出，计算乙船速度判断A，B；延长与延长线交于O，计算甲乙到达点O的时间判断C，D作答.【详解】如图，连接，依题意，（海里），而海里，，则是正三角形，，海里，在中，，海里，由余弦定理得：，且有，所以乙船的行驶速度是海里/小时，A正确，B不正确；延长与延长线交于O，显然有，即，海里，海里，海里，甲船从出发到点O用时（小时），乙船从出发到点O用时（小时），，即甲船先到达点O，所以，甲乙两船不可能相遇，C不正确，D正确.故选：AD【点睛】关键点睛：解三角形应用问题，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型是解题的关键．三、填空题13．函数的最大值为________．【答案】2【分析】利用辅助角公式化简即可求解.【详解】解：，当时，函数取得最大值为2．故答案为：2．14．已知在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是_________．【答案】【分析】根据复数的运算法则和复数的几何意义即可列式计算.【详解】，由题可知，.故答案为：.15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_______．【答案】1【分析】根据给定条件，确定角A与B的关系，结合诱导公式计算作答.【详解】在中，因，则，，所以.故答案为：116．中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为________【答案】【分析】根据即可得，进而得答案.【详解】因为，所以 ，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助得，进而求解.四、解答题17．已知复数满足为虚数单位)，复数.（1）求；（2）若是纯虚数，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简即可，（2）先求出，再利用纯虚数的概念列出方程组得答案.【详解】解：（1），，（2），是纯虚数，，.18．已知为锐角，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式法计算作答.（2）由同角公式求出，再利用差角的正切公式计算作答.【详解】(1)因，所以.(2)因为锐角，则，而，则，于是得，所以.19．如图，已知内接于以O圆心，半径为2的圆O中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径．若和是圆O的弦，且．(1)求；(2)求弦的长．【答案】(1)30°；(2).【分析】（1）由正弦定理求出，进而根据角的范围求得答案；（2）通过正弦定理并结合两角和与差的正弦公式即可求得答案.【详解】(1)由正弦定理可知，因为，所以，则.(2)由（1）可知，于是由正弦定理可得，即弦AB的长为.20．己知函数，在锐角中，．(1)求A的值；(2)角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求锐角面积最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用给定函数及，借助同角公式求出A作答.（2）利用余弦定理结合均值不等式，求出的最大值，再由三角形面积定理求解作答.【详解】(1)依题意，，则，在锐角中，，，于是得，解得，所以.(2)在锐角中，由余弦定理得：，即，当且仅当时取“=”，于是得，所以锐角面积最大值为.21．如图，在直角梯形中，，，，M为上靠近B的三等分点，交于．(1)用和表示；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算即可求解；（2）选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示及三点共线即可求解.【详解】(1)由题意可知，因为，所以.又因为M为上靠近B的三等分点，所以...(2)因为交于，由（1）知，，所以，因为三点共线，所以，解得，所以，即，于是有.所以.22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量．(1)若，且，求向量的坐标；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）运用向量平行的条件和向量的模长公式，解方程可得，进而得到所求向量的坐标；（2）由向量垂直数量积为零的条件求出，代入函数式子化简，利用余弦函数的性质，可得所求函数的最小值.【详解】(1) ， ，         ①又             ②由①②得， 当时，（舍去）当时， (2)由（1）知， 即 又 的取值范围为.