2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学校高一下学期第二次月考数学试题含解析

2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学校高一下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．式子的值为　　

A． B．0 C．1 D．

【答案】B

【解析】利用两角和与差的三角函数以及特殊角的三角函数值求解即可．

【详解】解：．

故选：．

【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数求值，考查计算能力，属于基础题．

2．如果，那么下面不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质依次判断即可.

【详解】若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.

故选：C.

3．如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.

【详解】由题意，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.

4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.

【详解】因为角的终边经过点

由三角函数定义可得

根据正切的二倍角

代入可得

故选:D

【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.

5．已知不等式的解集为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.

【详解】由不等式的解集知：和是方程的两根，.

故选：A.

6．函数的最小正周期是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二倍角公式得，再求函数的最小正周期即可.

【详解】解:由二倍角公式得,所以函数的最小正周期为.

故选：A

7．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，则的形状为（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】利用正弦定理得到或，即可判断.

【详解】在中，对于 ，

由正弦定理得：，即，

所以或

即或.

所以为等腰三角形或直角三角形.

故选：D

8．计算: （　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦余弦的二倍角公式化简求解.

【详解】，

故选A.

【点睛】本题考查三角函数的恒等变化，关键在于寻找题目与公式的联系.

9．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以的速度由处出发，沿北偏东方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达处时，发现北偏西方向有一艘船，若船位于处北偏东方向上，则缉私艇与船的距离是（       ）

A． B． C．C． D．

【答案】D

【详解】缉私艇的速度为40 km/h行驶半小时，行驶距离，，，根据正弦定理得： ，，选D.

10．秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世． 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为，若满足，，且a<b<c，则用“三斜求积”公式求得的面积为（       ）

A． B．

C．1 D．

【答案】B

【解析】先由正弦定理得，由余弦定理得，代入公式即得解.

【详解】因为，

所以.

因为，所以，

所以.

故选：B

11．如图，正方形中，是的中点，若，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，利用平面向量的坐标运算建立有关、的方程组，求出这两个量的值，可得出的值.

【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，

由此，，故，

解得.故选B.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.

12．如图所示，是边长为6的等边三角形，G是它的重心，过G的直线分别交线段AB，AC于E，F两点，，当在区间上变化时，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由正弦定理可求，，利用三角函数恒等变换化简可得，求得范围，利用正弦函数的性质即可计算得解．

【详解】解：在△AEG中，由正弦定理得，则，

又，同理可得，

可得

由，得，则

即的取值范围是.

故选：A

二、填空题

13．已知向量，，且，则实数___________.

【答案】

【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.

【详解】由得：，解得：.

故答案为：.

14．在中，若，，，则钝角___________.

【答案】135°

【分析】由正弦定理即可求解.

【详解】因为，，，

由正弦定理可得，所以，

因为为钝角，所以.

故答案为：.

15．已知，则的值为___________.

【答案】

【分析】根据三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式求解.

【详解】因为，所以，所以.

故答案为：.

16．在中，若角，角C的对边，则该三角形内切圆半径的取值范围是_________．

【答案】

【分析】根据直角三角形可知，利用正弦定理转化为三角函数，化简求值域即可求解.

【详解】设该三角形内切圆半径为，两直角边分别为，

则，

由正弦定理知，,

,

,

,   , ，

.

故答案为：.

三、解答题

17．解不等式：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次不等式的求解方法直接求解即可；

（2）化为即可求解.

【详解】(1)可得，∴

∴该不等式解集为；

(2)原不等式，∴，

∴该不等式解集为；

18．已知向量，．

(1)求的值；

(2)已知，若向量与共线，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用数量积的坐标运算即可求得；

（2）利用向量共线的坐标表示列方程求出k.

【详解】(1)向量，．

．

(2)，.

，向量与共线，

，

解得：．

19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．

（1）求边c的值；

（2）求的面积

【答案】（1）（2）3

【分析】（1）由可得,利用正弦定理可得,即可求解；

（2）先利用余弦定理求得,即可求得,再利用三角形面积公式求解即可

【详解】解:（1）因为,

所以,即,

则

（2）由（1）,则,

所以,

所以

【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化,考查利用余弦定理求角,考查三角形面积公式的应用

20．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：

（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；

（Ⅱ）β的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；

（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．

【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），

∵，，

∴sinα，cos（α﹣β），

∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）

，

又∵，∴β．

【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键.

21．已知向量，函数．

（1）求函数的最小正周期T；

（2）若，求函数的值域．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数公式化简函数的解析式，然后求解周期；

（2）由可得，结合正弦函数的性质可得结果.

【详解】（1）

，

故函数的最小正周期．

（2）当时，，

∴，

∴函数的值域．

22．在中，已知向量，且，记角的对边依次为.

（1）求角C的大小；

（2）若，且是锐角三角形，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据向量，且，结合二倍角的余弦公式化简得到，再由求解.

（2）利用正弦定理得到，，则，利用二倍角公式和两角和与差的三角函数的正用和逆用，化简得到，再利用正弦函数的性质求解.

【详解】（1）依题意：即，

即，

又，∴，

∴．

（2）由正弦定理得，

得，，

所以

，

因为三角形是锐角三角形，所以，

即，∴，

∴，即.

【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量，二倍角公式以及辅助角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.