广东省佛山市南海区南海艺术高级中学2022届高三下学期第四次综合测试数学试题-8

这是一份广东省佛山市南海区南海艺术高级中学2022届高三下学期第四次综合测试数学试题-8，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，在中，若，则，函数的图象大致是等内容，欢迎下载使用。
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广东省佛山市南海区南海艺术高级中学2022届高三下学期第四次综合测试数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
五
总分
得分






注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位）是方程（）的根，则的值为（       ）.
A． B．13 C． D．5
3．在中，若，则（       ）
A．3 B． C．4 D．
4．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．
5．函数的图象大致是（       ）
A． B． C． D．
6．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则的解集为（       ）
A． B． C． D．
7．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”.该办法已于2020年4月开始施行.通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为（       ）
A．4 B．100 C．40000 D．10000
8．已知直线和是曲线的两条对称轴，且函数在上单调递减，则的值是（       ）
A． B．0 C． D．
评卷人
得分



二、多选题
9．已知，现有下面四个命题中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
11．已知曲线C的方程为，圆，则（       ）
A．C表示一条直线
B．当时，C与圆M有3个公共点
C．当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点
D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是
12．已知函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（       ）
A．的图象与轴有两个交点
B．
C．若，则
D．若，，，，，，则最大
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



三、填空题
13．的展开式中的系数为________．
14．已知曲线在处的切线的斜率为2，则实数的取值是__________．
15．在三棱锥中，底面为直角三角形，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为__________．
评卷人
得分



四、双空题
16．设、为正数，若，则的最小值是______，此时______.
评卷人
得分



五、解答题
17．已知数列的前n项和为，．
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和．
18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______________？
19．2020年春节期间，湖北武汉爆发了新型冠状病毒肺炎，国家卫健委高级别专家组组长钟南山建议大家出门时佩戴口罩，一时间各种品牌的口罩蜂拥而出，为了保障人民群众生命安全和身体健康，C市某质检部门从药店随机抽取了100包某种品牌的口罩，检测其质量指标．
指标质量





频数
10
20
30
25
15

（1）求所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①已知口罩的质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某药店购买了3包这种品牌的口罩，记这3包口罩中质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和方差．
附：①计算得所抽查的这100包口罩的质量指标的标准差为\；
②若，则，．
20．如图1，在梯形中，，，.将与分别绕，旋转，使得点，相交于一点，设为点，形成图2，且二面角与二面角都是45°.

（1）证明：平面平面；
（2）若，且梯形的面积为，求二面角的余弦值.
21．已知椭圆经过点，，是C的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点，且的周长为．
（1）求C的方程；
（2）若，求l的方程．
22．已知函数，，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设函数，当时，求在区间上的最小值．

参考答案：
1．B
【解析】
先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【详解】
∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞2}，
B＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，
∴A∩B＝{x|2＜x≤4}＝（2，4]．
故选B．
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．B
【解析】
【分析】
将代入方程，展开整理利用复数相等的条件即可求解.
【详解】
因为复数（为虚数单位）是方程（）的根，
所以，
整理可得：，
所以，
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
先求得的值，然后求得.
【详解】
由于，所以，
所以.
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
由题设可得，由结合已知，得到齐次方程求a、b的数量关系，写出渐近线方程即可.
【详解】
由题设，，由轴，知，
∴，又，
∴，得，又，得，
∴，又渐近线方程为，即等价于.
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
先根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数，再利用即可得出.
【详解】
由题知的定义域为．
因为，
所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除选项B；
又，故排除选项C，D.
故选：A．
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．B
【解析】
根据偶函数以及当时，,可得时的表达式,由此求得的解析式，再求解该不等式即可.
【详解】
∵是定义域为R的偶函数，当时，
∴当时，，所以.
，故，分别求解，或
即可得解为
故选：B
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,分段函数解不等式,属于中档题.
7．D
【解析】
【分析】
根据题中函数解析式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】
设的声音和的声音强度分别为：，所以有：
，，
得：，
所以选：D
8．A
【解析】
【分析】
根据两条对称轴直线方程和单调递减区间可知为最小值，然后解的值
【详解】
由在上单调递减可知 是最小值
由两条对称轴直线和可知也是对称轴且，为最小值
故
又 ，解得
故选：A
9．AB
【解析】
【分析】
当时，由可得，进而得，当时 ，利用指对互化及换底公式可得.
【详解】
当时，由，可得，则，此时，所以A正确；
当时，由，可得，
则，所以B正确.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.
10．BC
【解析】
【分析】
分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【详解】
若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
11．BC
【解析】
【分析】
对于A，由，得，则表示两条直线；对于B，C，利用点到直线的距离公式进行判断；对于D，举反例判断即可
【详解】
由，得，即，
则表示两条直线，其方程分别为与，所以A错误；
因为到直线的距离，所以当时，直线与圆相切，易知直线与圆相交，与圆有3个公共点，所以B正确；
当时，存在圆，使得圆内切于圆，且圆与这两条直线都相交，即与有4个公共点与圆的公共点的个数的最大值为4，所以C正确；
当时，圆与直线、 交于一点，所以公共点的个数为3，所以D错误，
故选：BC
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是对方程得，即，从而可得曲线表示的是直线与，从而进行分析即可，考查计算能力，属于中档题
12．BCD
【解析】
【分析】
根据导数判断的单调性及与轴的交点和极值可判断AB选项；由的图象及，，可知，再根据和在上单调递增可判断C选项；由指数函数单调性和幂函数单调性可知 ，，由及的单调性可判断D选项.
【详解】
的定义域为，且，当，即时，单调递增；当，即时，单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.由于时，，且当时，，故只有一个零点，所以A选项不正确；
由于的单调性，可得，所以B选项正确；
由的单调区间，可画出函数的简图.由，，可知，.因为在上单调递减，可知，故有.因为在上单调递增，所以.综上，有，所以C选项正确；
因为，由指数函数单调性可知，，，；由幂函数单调性可知，，，，即有，，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中.由及的单调性，有，即.由，可得，即，所以；同理可得.综上可得，6个数中最大数是，最小数是，所以D选项正确，
故选：BCD.

【点睛】
本题考查了函数的性质，解题的关键点是利用导数判断函数的单调性和极值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
13．-40
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】
解：的展开式中的项为，
所以的展开式中的系数为-40，
故答案为：-40
14．
【解析】
【详解】
f′（x）=3ax2+，
则f′（1）=3a+1=2，解得：a=，
故答案为．
点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略
（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．
15．
【解析】
【分析】
先画出图形，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为2，则，设，则，继而可得平面，即为三棱锥的高，可求得，最后可得，利用函数的知识可求得体积的最大值．
【详解】

如图所示，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为2，
则，设，则，因为，
所以的外接圆圆心为的中点，从而平面平面，
故平面，又BD边上的高，
所以三棱锥体积为

当时，体积最大，最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查已知三棱锥外接球的表面积求棱锥的体积的问题，利用了数形结合的思想，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.
16．     4    
【解析】
【分析】
巧用“1”改变目标式子的结果，借助均值不等式求最值即可.
【详解】
，
当且仅当即，时等号成立.
故答案为，
【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
17．（1）； （2）.
【解析】
（1）由，递推化简得到，根据等比数列的通项公式，求得，再利用等比数列的求和公式，即可求解；
（2）由（1）求得，结合“乘公比错位相减法”和“等差数列的求和公式”，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，整理得，即，
当时，可得，解得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，则
设，数列的前项和分别为，
则
，
两式相减得，
所以，
又由，
所以数列的前n项和.
【点睛】
错位相减法求解数列的前项和的分法：
（1）适用条件：若数列为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前项和；
（2）主要事项：
①在写出和的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；
③作差后，作差部分应用为的等比数列求和.
18．答案见解析.
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简可得的值.条件①借助辅助角公式可求得，再利用正弦定理解题.条件②可以利用二倍角公式计算的值，再利用正弦定理解题.条件③利用正弦定理求的值，再判断三角形不存在.
【详解】
解：由结合正弦定理可得，
所以.
因为，所以.
[选择条件①的答案]
所以.
由得，所以.
因为，所以.所以.
由正弦定理得.
[选择条件②的答案]
所以.
因为，所以.
由正弦定理得.
[选择条件③的答案]
所以.
由得.
因为，所以.
所以三角形不存在.
19．（1）26.5；（2）①0.4772；②分布列见解析，方差为．
【解析】
【分析】
（1）由样本数据，每组区中间值5，15，25，35，45，计算平均数即可.
（2）①服从正态分布，且，，根据题目所给信息，可得，进而可求出结果.
②根据题意得，由二项分布公式，依次求出随机变量的概率，进而可求分布列和方差.
【详解】
（1）所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数为
．
（2）①∵服从正态分布，且，，


∴落在内的概率是0.4772．
②根据题意得，
，

，
．
∴X的分布列为：

0
1
2
3






．
【点睛】
本题考查了频率分布表、正态分布和二项分布，考查了运算求解能力和数据分析能力，属于基础题目.
20．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）证明，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明.
（2）由题意求出，，，以的中点为原点建立空间直角坐标系，取出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量的数量积，结合图象即可求解.
【详解】
（1）∵，，
∴，，∴.
与分别绕，旋转的过程中，
，的角度保持不变，故有，.
又由得，且，故可得平面.
又由平面，所以平面平面.
（2）根据翻折过程中角度的不变性可知，，.
故为二面角的平面角，同理为二面角的平面角.
由题意可知，所以为等腰直角三角形.
依题意易求得，又求得，由此可得
.即可得.结合梯形的面积公式可得.
如图，以的中点为原点建立空间直角坐标系，
则可得点，，
，，.

所以有，，
由第（1）问可知是平面的一个法向量，
取平面的一个法向量.
设平面的一个法向量，则有
即可得
解得.令，可得.即.
所以有，
则有二面角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；
（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.
（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
.
21．（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）由题意可得关于a，b，c的方程组，求解a，b，c的值，即可得到椭圆的方程；
（2）当轴时，A，B的坐标为，，易知，不满足题意；当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为，联立椭圆方程得到根与系数的关系，将用表示，解方程即可.
【详解】
（1）依题意，，故．        
将点代入椭圆方程得，，所以，       
所以C的方程为．            
（2）由（1）知，的坐标分别为，．
设，，
①当轴时，A，B的坐标为，，则
，不满足题意．       
②当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为，
代入得：．
所以，
，，             
因为，，
所以．     
因为，
所以
                              
．
依题意得：，                                                                         
解得，即．                                                                      
综上，直线l的方程为或．
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是一道中档题.
22．（1）；（2）当时，在上单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出切线方程即可；（2）求导判断导函数的正负进而得到原函数的单调性；（3）利用导数判断原函数的单调性，最后求出最小值．
【详解】
解：（1）因为，所以．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，定义域为，
所以．
①当时，．
所以在上单调递增．
②当时，令，得，
所以当时，与在上的变化情况如下：










极小值


所以在内单调递减，在内单调递增．
由①②可知，当时，在上单调递增．
当时，在内单调递减，在内单调递增
（3）因为，
所以，
所以．
令，所以．
所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增．
所以．
因为，所以．
所以在区间上单调递增．
所以．
所以当时，在区间上的最小值是.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是对进行分类讨论得到导数的符号，最后得到函数的单调性．