专题11 有理数的乘法-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

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专题11 有理数的乘法

1.会正确进行有理数的乘法运算。
2.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想。
3.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便。
4.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数。

1.有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值．
有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘．
多个有理数相乘：几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于．
注意：有理数乘法运算分两步走，第一步，定符号，第二步，定数值；
2.有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．

乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
注意：1）当用字母表示乘数时，“×"号可以写为“⋅”或省略；
2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为相反数的因数，往往会起到事半功倍的效果；
3）公式的正用与逆用。
3.倒数
1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．
（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
2）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．
（1）非零整数可以看作分母为的分数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数．
注意：1.注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；2.互为倒数的两个数的符号一定是相同的；
3.倒数等于本身的数有：1、-1；

【题型一】 有理数乘法法则的辨析
【解题技巧】有理数乘法的法则
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0．   
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
【典题1】（2022•成都市温江区七年级月考）下列说法中正确的有（　　）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；
③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可．
【解答过程】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；
②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；
③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0，不一定是正数，该小题说法错误；
故选：A．
【典题2】（2021•碑林区七年级月考）下列叙述正确的是（　　）
A．互为相反数的两数的乘积为1 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示
C．绝对值等于本身的数是0 D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负
【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断．
【解答过程】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．
B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．
C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．
D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、故选：B．
【变式练习】
1．（2021·安徽亳州市·七年级期中）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；
②若两个数（非0）互为相反数，则它们相除的商等于1；故原命题错误；
③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确；
④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；
⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．∴正确的有2个；故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆．
2.（2022•澧县七年级月考）下列说法中，不正确的个数有（　　）
①符号相反的数叫相反数；②四个有理数相乘，若有两个负因数，则积为正；
③倒数等于本身的数只有1；④相反数等于本身的数只有0；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】①根据相反数的定义即可求解；②根据有理数的乘法法则即可求解；
③根据倒数的定义即可求解；④根据相反数的定义即可求解．
【解答过程】解：①只有符号相反的数叫相反数，故①符合题意；
②四个有理数（0除外）相乘，若有两个负因数，则积为正，故②符合题意；
③倒数等于本身的数有±1，故③符合题意；
④相反数等于本身的数只有0是正确的，故④不符合题意．故选：D．

【题型二】 利用有理数乘法法则判断符号
【解题技巧】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
【典题1】（2022•九台区期中）已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论判断正确的是（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0
C．a＞0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
【解题思路】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负，即可判定．
【解答过程】解：∵a＞0，ac＜0，∴c＜0，∵abc＞0，∴b＜0；故选：D．
【典题2】（2021·浙江七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图示知b＜-1＜0＜a＜1，然后由有理数的乘法、加减法运算的计算法则即可求解．
【详解】解：由题意得b＜-1＜0＜a＜1，则A、ab＜0是正确的，故本选项不符合题意；
B、a-1＜0，b+1＜0，（a-1）（b+1）＞0是正确的，故本选项不符合题意；
C、a+b＜0是正确的，故本选项不符合题意；
D、|a|-|b|＜0，原来的计算是错误的，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查数轴的知识，属于基础题，解答本题的关键是通过图形得出a为正数，b为负数，且|a|＜|b|，难度一般．
【变式练习】
1. （2021·山东德州市·七年级期中）若m＜n＜0，则（ ）0
A．＜ B．＞ C．= D．≥
【答案】B
【分析】根据m＜n＜0，易知m、n是负数，且m的绝对值大于n的绝对值，于是可得m＋n＜0，m﹣n＜0，根据同号得正，易知＞0．
【详解】解：∵m＜n＜0，∴m＋n＜0，m－n＜0，∴＞0．故选：B．
【点睛】本题考查有理数的乘法法则，解题的关键是先正确判断m＋n，m－n的正负性．
2.（2021•雨花区月考）已知a+b＞0，ab＜0，且a＞b，则a、b的符号是（　　）
A．同为正 B．同为负 C．a正b负 D．a负b正
【解题思路】根据ab＜0可得a，b异号，再由a＞b即可判断出答案．
【解答过程】解；∵ab＜0，∴a，b异号 又a+b＞0且a＞b，∴a正b负．故选：C．

【题型三】有理数的乘法运算
【解题技巧】根据有理数乘法的法则计算即可。
【典题1】（2021·天津南开区·九年级三模）计算的结果是（ ）
A．3 B．27 C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可．
【详解】解：=-=-3．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
【典题2】（2022·成都市·七年级期中）在，2，，，这四个数中，任意三数之积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．8 D．24
【答案】D
【分析】要使任意三数之积最大所选择的数必须有偶数个负数且绝对值尽可能大，由此即可得到结果．
【详解】解：∵有四个数-1，2，-3，-4，
∴三数之积的最大值是（-3）×（-4）×2=24．故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式练习】
1. （2021·重庆市·七年级期中）下列计算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法法则及乘法的分配律，分别进行判断．
【详解】解：A、，正确；
B、，应用了乘法分配律，正确；
C、，有三个负因数，结果应为负数，错误；
D、，逆用分配律，正确．故选C．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则及乘法的分配律，熟练掌握“几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”．
2．（2021·西安市铁一中学七年级月考）下列运算过程中，有错误的是（　　）
A．（3﹣4）×2＝3﹣4×2 B．﹣4×（﹣7）×（﹣125）＝﹣（4×125×7）
C．9×16＝（10﹣）×16＝160﹣ D．[3×（﹣25）]×（﹣2）＝3×[（﹣25）×（﹣2）]
【答案】A
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式＝3×2﹣×2＝6﹣9＝﹣3，符合题意；B、原式＝﹣（4×125×7），不符合题意；
C、原式＝（10﹣）×16＝160﹣，不符合题意；D、原式＝3×[（﹣25）×（﹣2）]，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【题型四】有理数乘法运算律
【解题技巧】运用运算律的一些技巧：
①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：
②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×
③带分数应先化为假分数的形式。如：
④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；
⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）
【典题1】（2021·浙江初一期中）计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【答案】（1）；（2）-1.2；（3）-84；（4）149；（5）；（6）-1
【分析】（1）把带分数化为假分数，小数化为分数，然后根据有理数的乘法法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（3）利用乘法交换结合律进行计算即可得解；
（4）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；（5）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；（6）先算小括号里面的，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）．
【点睛】本题考查有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，计算时要注意运算符号的处理．
【典题2】（2022·江苏宿迁·七年级阶段练习）计算：
（1） （2） （3）
【答案】（1）-11；（2）；（3）-6
【分析】（1）根据有理数的混合计算法则和乘法的分配律进行求解即可；
（2）先将原式变为，然后利用乘法的分配率进行求解即可；
（3）利用乘法的结合律将原式变为由此求解即可．
【详解】解：（1）



；
（2）


；
（3）



．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律和结合律．
【变式练习】
1.（2021·河南洛阳·七年级期中）有理数的运算律简便运算：
（1）99（﹣5）． （2）．
【答案】（1）；（2）0．
【分析】（1）首先把99转化成，再根据乘法的分配率对原式展开，最后加减即可；
（2）将原始中转化成=，然后根据乘法的分配率的逆运算进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了乘法的分配率和整式的加减，解答的关键是熟练掌握乘法分配率及其逆运算．
2．（2022·全国·七年级课时练习）计算：
（1）；                          （2）；
（3）；                    （4）；
（5）；          （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）7.5；（5）14；（6）0
【分析】（1）先利用乘法分配律去括号，然后合并即可；（2）利用乘法的结合律进行求解即可；（3）先把带分数化成假分数，然后利用乘法的交换律和分配律求解即可；（4）利用乘法的结合律求解即可；（5）利用乘法的分配律和结合律求解即可；（6）利用乘法的结合律求解即可．
【详解】解：（1）

；
（2）


；
（3）



；
（4）



；
（5）


；
（6）



．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

【题型五】 有理数乘法的实际应用
【解题技巧】
【典题1】（2022·江苏苏州·七年级期末）某超市出售一种方便面，原价为每箱24元．现有三种调价方案：方案一，先提价20%，再降价20%；方案二，先降价20%，再提价20%；方案三，先提价15%，再降价15%．三种调价方案中，最终价格最高的是（       ）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意，算出每种方案的最终价格，然后比较即可．
【详解】解：方案一的最终价格为：元；
方案二的最终价格为：元；方案三的最终价格为：元；
因为，则选方案三，故选：C
【点睛】此题考查了列出代数式计算的能力，读懂题意，找出题中的数量关系，列出式子正确计算是解题的关键．
【典题2】（2021·北京顺义区·九年级二模）某快餐店的价目表如下：
菜品
价格
汉堡（个）
21元
薯条（份）
9元
汽水（杯）
12元
1个汉堡＋1份薯条（A套餐）
28元
1个汉堡＋1杯汽水（B套餐）
30元
1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C套餐）
38元
小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元．
【答案】300
【分析】由题意可知，A、B、C套餐的优惠力度分别为2元、3元、4元，如果三样商品数量比较接近的话，选择C套餐会更划算，但是本题汉堡的数量接近于薯条和汽水之和，所以应该选择套餐搭配的方式，尽量保证每个商品都能在套餐里购买，所以，选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐，会更优惠．
【详解】选择5份B套餐、4份A套餐和1份C套餐价格最低，需要花费30×5+28×4+38×1=300元，
故答案为：300．
【点睛】本题属于创新题型，主要考查的了方案选择，比较贴合生活实际，需要学生梳理出有哪些方案，根据一定的规律找到最优方案．
【变式练习】
1．（2022·江苏·常州市朝阳中学二模）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费_______元．
【答案】19
【分析】根据题意列出算式，计算求值即可．
【详解】解：圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，超过了5千克，
需付费（元），故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，读懂题意，准确判断付费标准是解决问题的关键．
2. 王叔叔将“绿色出行，从我做起”化为实际行动，坚持每天步行上下班，他以步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录了一周上下班的步数情况如下表，若王叔叔平均每步米，请你计算本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了多少米（ ）
星期
一
二
三
四
五
步数





A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意和表格数字列出运算式子，再计算有理数的乘法与加减法即可得．
【详解】由题意得：，
（米），
即本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了米，故选：D．
【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．


【题型六】 有理数乘法的新定义问题
【解题技巧】
【典题1】（2022·广东广州·七年级期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则*（﹣2*5）＝_____．
【答案】﹣15
【分析】根据a*b＝3ab，可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵a*b＝3ab，
∴*（﹣2*5）＝*[3×（﹣2）×5]＝*（﹣30）＝3××（﹣30）＝﹣15，故答案为：﹣15．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【典题2】（2021·河北张家口市·七年级期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则的值为（ ）
A． B．99 C．9900 D．2
【答案】C
【分析】根据运算的定义，可以把100！和98！写成连乘积的形式，然后约分即可求解．
【详解】解：原式==99×100 =9900．故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确理解题意，理解运算的定义是关键．
【变式练习】
1. （2021·山西吕梁市·九年级二模）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可．
【详解】解：C125 =
故选：B．
【点睛】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法进行解答．
2．（2021·湖南张家界市·七年级期末）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得(a－2)×2＋b，即a※b＝(a－2)×2＋b，例如：3※5＝(3－2)×2＋5＝2＋5＝7．
根据上面规定解答下题：（1）求6※(－4)的值；（2）6※(－4)与(－4)※6的值相等吗？请说明理由．
【答案】（1）4；（2）不相等，理由见解析
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）分别求出各自的值，比较即可．
【详解】解：（1）6※(－4)＝(6－2)×2+(－4)＝8－4＝4．
（2）不相等．理由：∵6※(－4)＝4， (－4)※6＝(－4-2)×2+6＝－6，
∴6※(－4)与(－4)※6的值不相等．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义，注意运算顺序．

【题型七】 倒数的概念与运用
【解题技巧】
【典题1】（2022·重庆·三模）下列各对数互为倒数的是（       ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数求解即可．
【详解】解：A、3×（﹣3）≠1，故此选项错误；
B、﹣3×≠1，故此选项错误；
C、0×0≠1，故此选项错误；
D、﹣6×（﹣）＝1，故此选项正确．故选：D．
【点睛】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
【典题2】（2022·山东淄博·二模）若，则“□”内应填的实数是（       ）
A． B．2022 C． D．
【答案】C
【分析】根据互为倒数的两数的乘积等于1，即可求解．
【详解】解：∵．故选：C
【点睛】本题主要考查了倒数的性质，熟练掌握互为倒数的两数的乘积等于1是解题的关键．
【变式练习】
1．（2022·山东·临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）的相反数的倒数是（       ）．
A． B．2022 C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质、相反数和倒数的定义求解即可，绝对值：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；相反数定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数；倒数定义：两个数相乘积等于1的两个数互为倒数．
【详解】解：=2022，2022的相反数是-2022，-2022的倒数是，故选D
【点睛】本题考查了绝对值的性质、相反数和倒数的定义，熟练掌握相关性质和定义是解题关键．
2．（2022·黑龙江绥化·期中）的倒数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出其绝对值在求倒数即可；
【详解】解：，
∴它的倒数为故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值、倒数的计算，掌握相关计算法则是解题的关键．



1．（2021·新安中学外国语学校七年级月考）计算 时，可以使运算简便的是 ( )
A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．加法结合律 D．乘法结合律
【答案】B
【分析】根据乘法分配律简便运算即可.
【详解】用乘法分配律可简便运算，
==-12+27-6=9故选B
【点睛】本题考查有理数乘法的简便运算，熟练掌握运算技巧是解题的关键.
2. （2021·安徽九年级二模）下列各数中，与的乘积得0的数是（ ）
A．5 B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据有理数乘法法则计算即可．
【详解】解：因为，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数乘法法则，准确进行计算．
3.（2021•万州区校级月考）若ab＜0，a﹣b＜0，则a、b这两个数（　　）
A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0
【解题思路】根据ab＜0，得出a、b异号，再根据a﹣b＜0，得出a＜0，b＞0．
【解答过程】解：∵ab＜0，∴a、b异号，
∵a﹣b＜0，∴a＜0，b＞0；故选：C．
4．（2021·山西九年级三模）计算的结果是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】由有理数的乘法运算进行计算，即可得到答案．
【详解】解：，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
5．（2021·重庆九龙坡区·七年级期末）已知、、三个有理数满足，，，则一定是（ ）
A．负数 B．零 C．正数 D．非负数
【答案】A
【分析】根据，，可判断b0，再根据，可判断c>0，从而可得出答案．
【详解】解：∵，∴a，b互为相反数，
∵，∴b0，∴ab0，∴bc