专题12 有理数的除法-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

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专题12 有理数的除法

1.会把有理数的除法运算改为乘法运算；
2.熟练掌握有理数混合运算顺序及法则；
3.能利用有理数的除法解决实际问题。

1.有理数的除法
1）有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．

【题型一】有理数除法法则的辨析
【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【典题1】（2021·河南·开封市七年级期中）两个有理数的商为负数，则这两个有理数（       ）
A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数
【答案】B
【分析】两数相除，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
【详解】解：两个有理数的商是负数，这两个数一定异号．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算符号法则，比较简单，熟记“同号得正，异号得负”是解题的关键．
【典题2】（2021·湖南·长沙市华益中学七年级期中）如果a＞0，b＜0，那么下列结果正确的是（　　）
A．ab＞0，＞0 B．ab＞0，＜0 C．ab＜0，＞0 D．ab＜0，＜0
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法和除法法则即可得出判断．
【详解】解：∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，＜0，故选：D．
【点睛】此题考查了此题考查了，解题的关键是熟练掌握．，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法和除法法则．
【变式练习】
1．（2022·浙江宁波·七年级期末）下列说法正确的是（       ）
A．非零两数的和一定大于任何一个加数 B．非零两数的差一定小于被减数
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数
【答案】C
【解析】
【分析】按照有理数的计算法则和特例进行辨别选择．
【详解】解：∵两个负数的和小于任何一个加数，∴选项A不符合题意；
∵当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的，∴选项B不符合题意；
∵大于1的两数之积一定大于任何一个因数，∴选项C符合题意；
∵当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，∴选项D不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数运算结果大小变化的辨别能力，关键是能准确理解法则，并能对各种运算情况考虑全面．
2．（2022·广西·桂林市宝贤中学七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（          ）
①若，，则，．②若，，则，且．
③若，，则，．④若，，则，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可．
【详解】解：①若，，则，，故①结论正确；
②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误；
③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确；
④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误．
故正确的有2个．故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的除法法则以及有理数加法法则的应用，熟练掌握法则是解题关键．

【题型二】 有理数的除法运算
【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
【典题1】（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级阶段练习）计算：＝_________________．
【答案】﹣
【分析】根据有理数除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
＝，

故答案为：﹣．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解答本题的关键．
【典题2】（2022·全国·七年级课时练习）计算：
（1）；    （2）；
（3）；    （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；
（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：（1）；                      
（2）；
（3）；          
（4）．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
【变式练习】
1．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】将除法统一成乘法，然后再计算．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查有理数的除法运算，掌握除以一个非零的数等于乘以它的倒数是解题关键．
2.（2022·全国·七年级课时练习）计算：
（1）；      （2）       （3）； （4）；                    
（5）   （6）； （7）； （8）．
【答案】（1）0；（2）2；（3）；（4）；（5）；（6）2；（7）；（8）
【分析】利用除法法则计算即可．
【详解】解：（1）；                  
（2）                      
（3）；
（4）；                    
（5）        
（6）；
（7）；                 
（8）．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
【题型三】 有理数除法的运算步骤问题
【解题技巧】
【典题1】（2021·山西临汾·七年级期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读．
计算：．
解：原式=（–15）÷（）×6…………第一步
=（–15）÷（–20）…………第二步
第三步
并解答下列问题．
（1）上面的解题过程用两处错误：
第一处是第____步，错误原因是 ．
第二处是第____步，错误原因是 ．
（2）请写出正确的计算过程．
【答案】（1）二， 运算顺序错误； 三，符号错误；（2）27，过程见解析
【分析】（1）第二步没有按照同级运算要从左至右进行运算，从而出现错误，第三步没有注意两数相除，同号得正，异号得负，从而出现错误；（2）先计算括号内的减法运算，再把除法转化为乘法运算，再计算乘法运算即可.
【详解】解：（1）第二步， 运算顺序错误；第三步，符号错误．
故答案为：二， 运算顺序错误； 三，符号错误
（2）




【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除混合运算，掌握“有理数的混合运算的运算顺序与运算法则”是解题的关键.
【典题2】（2021·吉林·七年级期中）下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题．
计算：（﹣48）÷36×（﹣）
解：原式＝（﹣48）÷（﹣4）⋯⋯⋯⋯⋯第①步
＝12⋯⋯⋯⋯⋯第②步
问题：（1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出错（填“①”或“②”）；
（2）写出本题的正确解答过程．
【答案】（1）①；（2）见解析
【分析】（1）检查解题过程发现第①步有误，（2）写出正确的解法即可．
【详解】解：（1）第①步出错，运算的顺序有误；故答案是：①；
（2）正解解法为：原式．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及运算顺序．
【变式练习】
1.（2022·全国·七年级专题练习）阅读后回答问题：计算（–）÷（–15）×（–）．
解：原式=–÷[（–15）×（–）]①
=–÷1②
=–③.
（1）上述的解法是否正确？答：__________；
若有错误，在哪一步？答：__________（填代号）
错误的原因是：__________；
（2）这个计算题的正确答案应该是：__________．
【答案】     不正确     ①     运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行    
【详解】解：（1）答：不正确；
若有错误，在哪一步？答： ① （填代号）．       
错误的原因是：运算顺序不对，或者是同级运算中，没有按照从左到右的顺序进行．
（2）原式＝－× (-) × (－)= ×(－)= ．
这个计算题的正确答案应该是：．
2．（2022·吉林·德惠市第三中学七年级阶段练习）阅读后回答问题：计算．
解：原式=                  ①
                                             ②
                                                  ③
（1）从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2）见解析．
【分析】同级运算应该按照从左到右的顺序进行．
【详解】解：（1）从第①步开始出现错误，同级运算没有按照从左到右的顺序进行；
（2）


【点睛】此题主要考查有理数的乘除法混合运算，乘除法同级运算从左到右进行是解题关键．

【题型四】 有理数的除法简算
【解题技巧】
【典题1】（2021·娄底市第二中学七年级期中）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【答案】．
【分析】根据题意，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可．
【详解】解：原式的倒数是：
，
故原式．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．
【变式练习】
1. （2021·湖北黄冈市·思源实验学校七年级月考）阅读下列材料：
计算：÷﹙﹣＋﹚．
解法一：原式＝÷﹣÷＋÷＝×3﹣×4＋×12＝．
解法二：原式＝÷﹙﹣＋﹚＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝﹙﹣＋﹚÷＝﹙﹣＋﹚×24
＝×24﹣×24＋×24＝4．所以，原式＝．
（1） 上述得到的结果不同，你认为解法　 　是错误的；
（2） 请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣－＋﹚．
【答案】（1）解法一；（2）
【分析】（1）根据有理数的计算方法判断即可；（2）选择解法二求出值即可；
【详解】（1）杉树得到的结果不同，通过分析可得解法一不正确；
（2）根据解法二的形式可得：
原式;
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．

【题型五】 有理数乘除法的混合运算
【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．
【典题1】（2021·江苏徐州·七年级期中）计算：
（1） （2）．
【答案】（1）3；（2）1
【详解】解：（1）原式==3；
（2）原式===1．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则和运算顺序是解题的关键．
【典题2】（2021·浙江杭州市·七年级期末）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．（可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．）
算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________；
【答案】

【分析】由 可得由 可得由 可得由，可得从而可得答案．
【详解】解：算式1：
算式2：
算式3：
算式4：
故答案为：

【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，注意本题答案不唯一，这是一道开放性的题目，同时考查了学生的逆向思维．
【变式练习】
1．（2021·辽宁鞍山·七年级阶段练习）计算：______．
【答案】
【分析】先把带分数化为假分数，然后根据乘除法运算法则进行解题，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法和除法的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
2．（2021·北京师范大学实验华夏女子中学七年级期中）
【答案】
【分析】利用有理数乘除运算法则即可求解．
【详解】解：，
，
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是掌握有理数乘除运算法则．
3．（2021·贵州黔南·七年级阶段练习）计算．
（1） （2）
【答案】（1）16 ；（2）4
【详解】解：（1），
=，
=，
=16；
（2），
=，
=，
=，
=4．
【点睛】本题考查绝对值，有理数混合计算，利用乘法分配律简算，掌握顺序先去绝对值，再进行其它计算是关键．

【题型六】 有理数除法的应用
【解题技巧】
【典题1】（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
【答案】55.6或22##22或55.6
【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可．
【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则标价为192÷0.8=240元；
由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元，
所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元），
当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款．
总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元），
则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）；
总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元），
则他可节约（192+384）-554=22（元）．
故答案为：55.6或22．
【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键．
【典题2】（2021·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．
（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．
（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
【答案】（1）小李的速度为8米/秒，小王的速度为10米/秒；（2）8秒；（3）3秒
【分析】（1）利用20÷2.5可得小李的速度，从而得到小王的时间，再利用路程除以该时间可得小王的速度；
（2）利用路程÷速度差=追上小李的时间可列式计算；
（3）根据题意可得该时间的路程差，再除以速度差可得时间，从而计算耽搁的时间．
【详解】解：（1）20÷2.5=8米/秒，∴小李的速度为8米/秒，
100÷8=12.5秒，100÷（12.5-2.5）=10米/秒，∴小王的速度为：10米/秒；
（2）8×2÷（10-8）=8秒，∴小王起跑后8秒追上小李；
（3）（20-2）÷（10-8）=9秒，120÷10-9=3秒，∴最多耽搁3秒．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握行程问题的计算公式的应用．
【变式练习】
1．（2021·吉林·长春市第八十七中学七年级期末）大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：
A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；
B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．
（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？
（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？
【答案】（1）他应付钱674元；（2）王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．
【分析】（1）根据780元＞500元，分两部分计算500元九折+超过部分八折计算即可；
（2）先求出两次构买物品的标价，将两次物品标价求和，再按一次性购物计算500元九折+超过部分八折，再计算王阿姨两次购物付款总和-一次性付款即可．
【详解】解：（1）∵李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，780元＞500元，
∴他应付钱为：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；
（2）王阿姨第一次去该超市购物付款198元，该物品标价为198÷0.9=220元，
第二次去该超市购物付款554元，554-450=104，450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，
两次购物标价为220+630=850元，
∴王阿姨应付钱为：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，
198+554-730=22元，王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．
【点睛】本题考查商品打折问题，掌握分类计算标准和计算方法是解题关键．
2．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；
（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．
【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），
250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），
160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．

【题型七】 有理数除法的新定义问题
【解题技巧】
【典题1】（2021·河南·鹤壁市外国语中学七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（       ）
A．－6 B．－5 C． D．
【答案】A
【分析】根据题中新定义化简，计算即可解题．
【详解】解：根据题意得，故选：A．
【点睛】本题考查有理数大小比较及有理数的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
【典题2】（2021·湖南张家界市·七年级期末）概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”， (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3)4，读作“－3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．根据所学概念，则(－4)5的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：（-4）5=（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）=1÷（-4）÷（-4）÷（-4），
= 1×（-）×（-）×（- ）=，故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式练习】
1．（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据m在[5,15]内，n在[20,30]内，可得的最小值与最大值．
【详解】解：∵m在[5，15]内，n在[20，30]内，
∴5≤m≤15，20≤n≤30，
∴的最小值为，最大值为
∴的一切值所在的范围是．故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的有理数运算，关键是得到5⩽m⩽15，20⩽n⩽30，求出的最大与最小值．
2．（2021·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于　 　类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　 　（填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④
【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；
（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．
【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；
③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；
综上，①④正确．故答案为：①④．
【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．
















1．（2021·江苏）如果，则“”内的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数用除法，即用积除以已知因数．
【详解】解：由题意可得：“”内的数是．故选B．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，关键是知道乘法与除法是互逆的两种运算．
2. （2021·四川成都市·棠湖中学外语实验学校）给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】①按有理数的乘法法则计算即可；②按有理数的除法法则计算即可；③先算乘法再算除法即可；④先算除法再算乘法即可．
【详解】①，故错误；②，故错误；
③，故正确；④，故正确．∴正确的个数为2．故选择：C．
【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除法的运算顺序，它们是同级运算，从左向右进行计算是解题关键．
3. 下列各式中，与的运算结果相同的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的除法法则可直接进行排除选项．
【详解】解：；故选C．
【点睛】本题主要考查有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键．
4．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）若的计算结果为正数，代表的运算不可以是（       ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【答案】A
【分析】利用有理数的四则运算法则进行计算即可．
【详解】解：，，，．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
5．（2020·河南洛阳·七年级期中）下列计算正确的是（       ）
A．－45÷15＝3 B．（－8）÷（－16）＝2 C．（－12）÷8＝ D．69÷（－23）＝3
【答案】C
【分析】根据有理数的除法运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、－45÷15＝-3，选项错误，不符合题意；
B、（－8）÷（－16）＝，选项错误，不符合题意；
C、（－12）÷8＝，选项正确，符合题意；
D、69÷（－23）＝-3，选项错误，不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则．
6．（2022·四川南充·七年级期末）小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出从32℃降低到20℃所需要的时间，再加上从60℃降低到32℃所需要的时间即可求解．
【详解】解：每分钟降低4℃，从32℃降低到20℃所需要的时间是min．
从60℃降低到32℃所需要的时间是8min．
所以共用时间为8+3=11min．故选：C．
【点睛】本题考查有理数加法运算的实际应用和有理数除法运算的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
7．（2022·山东烟台·期末）某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．小明买了一件商品，比标价少付了40元，那么他购买这件商品花了（     ）
A．80元 B．120元 C．160元 D．200元
【答案】C
【分析】八折是指售价是标价的80%，把标价看成单位“1”，实际少付的钱数就是标价的（1-80%），它对应的数量是40元，根据分数除法的意义，用40除以（1-80%）即可求出标价，再减去40元，就是实际花的钱数．
【详解】解：40÷（1-80%）=40÷20%=200（元） 200-40=160（元）
答：他购买这件商品花了160元．故选：C．
【点睛】解决本题关键是理解打折的含义，找出单位“1”，再根据分数除法的意义求出标价，从而解决问题．
8．（2021·辽宁营口·七年级期中）下列运算中错误的是（     ）
A．(－6)×(－5)×(－3)×(－2)＝180 B．(－9)÷(－3)＝－2
C．(－3)×÷(－)×3＝9 D．12×(－)＝1
【答案】B
【分析】根据有理数的乘除运算计算即可；
【详解】(－6)×(－5)×(－3)×(－2)＝180，故A正确；，故B错误；
(－3)×÷(－)×3＝9，故C正确；12×(－)＝1，故D正确；故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，准确计算是解题的关键．
9．（2022·全国·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（   ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可．
【详解】解：C125 =故选：B．
【点睛】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法进行解答．
10．（2022·广西河池·七年级期末）甲、乙二人从第一层开始比赛爬楼梯，甲爬到第4层时，乙恰好爬到第3层，照这样的速度，甲爬到第16层时，乙爬到第（     ）层．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据题意可以求得甲乙两人的速度的关系，然后即可得到甲爬到第16层时，乙爬到第几层，本题得以解决．
【详解】解：设每两层楼之间的距离为，
则甲从第一层到第四层爬的高度是，乙从第一层到第三层爬的高度是，
故甲的速度是乙的速度的倍，
甲爬到16层，爬了，则乙爬了，故此时乙爬到11层，故选：C．
【点睛】本题考查有理数的除法，解答本题的关键是明确题意，求出甲爬到第16层时，乙爬到第几层．
11．（2021·浙江·舟山市普陀第二中学九年级期中）计算：得（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．
【详解】解：，故选B．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

12．（2021·全国·七年级专题练习）在下列各题中，结论正确的是（   ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据两数的符号或大小判断相应的式子是否成立即可．
【详解】解：A、两数相除，异号得负，故选项错误；
B、大数减小数，一定大于0，故选项正确；
C、两数相乘，同号得正，故选项错误；
D、若，则可正可负，故选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了有理数减法、乘除法运算，不确定符号的数在计算时的结果的符号也不确定．

13．（2022·浙江温州·七年级期末）计算：_____．
【答案】-18
【分析】根据有理数的除法法则进行运算即可．
【详解】解：＝＝18．
【点睛】本题考查了有理数的除法法则即：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数；解题的关键是掌握有理数的除法法则．
14．（2022·浙江杭州·模拟预测）李明组织同学一起去观看电影《流浪地球》，票价为每张60元，若购买20张以上（不含20张），则全部打八折，已知他们一共花了1200元，他们共买了_______张电影票．
【答案】20或25
【分析】根据数量=总价÷单价，分票价每张60元和票价每张60元的八折两种情况讨论即可.
【详解】解：①若票价每张60元
则1200÷60=20（张）
②若票价每张60元的八折
则1200÷（60×0.8）=1200÷48=25（张）
答：他们共买了20或25张电影票
故答案为：20或25
【点睛】本题考查了销售问题，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系
15．（2020·重庆文德中学校七年级期中）重庆文德中学的校车王师傅为了掌握自己车的油耗情况，在连续两次加油时做了如下工作：
（1）把油箱加满油；
（2）记录两次加油时的累计里程（注：“累计里程”指车从出厂开始累计行驶的路程)，以下是王师傅连续两次加油时的记录：
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
第一次
18
6200
第二次
30
6500
则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为__________升
【答案】
【分析】根据图表得出总的耗油量升以及行驶的总路程千米，进而求出平均油耗．
【详解】解：由题意可得：两次加油间耗油30升，
行驶的路程为（千米），
所以该车每100千米平均耗油量为：30÷（300÷100）=10（升）．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，有理数的除法运算的实际应用，正确从图表中获取正确信息是解题关键．
16．（2021·湖南永州市·七年级期末）计算，结果是_________．
【答案】
【分析】根据有理数的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式=×=，故答案为：．
【点睛】本题主要考察了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则．
17．（2021·江苏镇江市·七年级期末）将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式_____（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24．
【答案】2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．
【分析】根据有理数的运算法则求解．
【详解】解：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝2×（4+3+5）＝2×12＝24，
故答案为：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．
18．（2021·山西临汾·七年级期中）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．天干地支纪年法共有十天干与十二地支，具体情况如下表.其算法是：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．（用天干地支纪年法表示）
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸



4
5
6
7
8
9
0
1
2
3


地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戊
亥

4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
【答案】辛丑
【分析】由题意信息可得：结合2021年年份的尾数是1，尾数1为辛，的余数为5，5为丑，从而可得答案.
【详解】解：由题意得：2021年年份的尾数是1，而尾数1为辛，
的余数为5，5为丑，所以2021年是辛丑年.故答案为：辛丑.
【点睛】本题考查的有理数除法的应用，属于阅读理解类型题，正确理解题意是解题的关键.
19．（2021·湖北武汉·七年级期中）下列说法：
①若a，b互为相反数，则＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；
③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；
④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．其中一定正确的结论是____（只填序号）．
【答案】②③##③②
【分析】根据相反数和绝对值的意义讨论即可得出答案．
【详解】①若a，b互为相反数，则,不能得出，故①错误；
②当或时，成立，
当或时，，
成立，则或，即，故②正确；
③表示到数、、三个点的距离之和，所以时，取得最小值，最小值为，故③正确；
④当且时，，故④错误．故答案为：②③．
【点睛】本题考查相反数与绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．
20．（2022·全国·七年级）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为__．
【答案】10或64
【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．
【详解】解：如图，利用倒推法可得：

由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，
由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，
由第1次计算后得5，可得原数为10，
由第1次计算后32，可得原数为64，故答案为：10或64．
【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．

21．（2022·湖北孝感·七年级期末）计算：
(1)； (2).
【答案】(1) (2)
【分析】（1）把除法转化为乘法，利用乘法分配律简便运算；
（2）先算括号内，再算乘除，最后计算加法
(1)



；
(2)原式



．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解决问题的关键，注意利用运算律简便运算．
22．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学七年级阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】(1)根据有理数的加减运算法则及绝对值的概念运算即可；
(2)将带分数拆成整数部分和分数部分，然后再将整数部分结合，分数部分结合，进行简便运算；
(3)同(2)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可；
(4)同(2)中思路结合有理数的加减运算法则运算即可；
(5)先全部化成假分数的形式，然后再根据有理数的乘除运算法则运算即可；
(6)按照有理数的运算法则从左往右依次运算即可．
(1)解：原式；
(2)解：原式


；
(3)解：原式

；
(4)解：原式


；
(5)解：原式

；
(6)解：原式

．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除四则运算法则，注意运算顺序：先乘除，后加减即可．
23．（2021·浙江初一课时练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）8；（5）-1；（6）1
【分析】（1）把小数化为分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；
（2）（3）（5）把带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；
（4）把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；
（6）先算绝对值，再算乘除法.
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式=；
（5）原式=； （6）原式=.
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握混合运算的顺序及运算法则是解答本题的关键.
24．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学七年级阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”．小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题．
小明的解答：原式的倒数为，所以．
(1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由．
(2)计算：．
【答案】(1)正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；
(2)﹣
【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可；
（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
(1)
解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；
(2)
解：的倒数为，

＝
＝
＝﹣8+4﹣9
＝﹣13，
则＝﹣
【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.（2021·绵阳市七年级单元测试）有4张扑克牌：红桃6、草花3、草花4，黑桃10．李老师拿出这4张牌给同学们算“24”．竞赛规则：牌面中黑色数字为正数，红色数字为负数，每张牌只用一次．注意点：限制在加、减、乘、除四则运算法则内．列出两个算式，使所得结果是24．
【答案】见解析
【分析】根据题目中的数字，可以写出相应的算式，注意本题答案不唯一．
【详解】解：由题意可得：（10+4-6）×3=24；4-（-6）×10÷3=24．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式，注意本题答案不唯一，这是一道开放型题目．
26．（2021·河北邯郸市·九年级三模）对于四个数“，，1，3”及四种运算“＋，－，×，÷”，列算式解答：（1）求这四个数的和；（2）在这四个数中选出两个数，使得两数差的结果最小；（3）在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，可以带括号，使运算结果等于没选的那个数．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】(1)将题目中的数据相加即可解答本题；(2)根据题目中的数字，可以写出结果最小的算式；
(3)本题答案不唯一，主要符合题意即可．
【详解】解：（1）；
（2）根据题意得：；
（3）根据题意得：或．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
27．（2021·河南驻马店·七年级期中）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”，记作，读作“-3的圈4次方”，一般地，把n个，记作，读作“a的圈n次方”．
初步探究：直接写出计算结果：2③＝______，______；
深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照下面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
例如

5⑤＝______， ______；
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于______；
（3）算一算：．
【答案】初步探究：，；深入思考：（1），；（2）；（3）
【分析】初步探究：根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（1）根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（2）根据题目中规定的圈n次方的运算法则求解即可；
（3）根据题目中规定的圈n次方的运算法则结合有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】解：初步探究：2③＝；
；
深入思考：（1）5⑤＝；
；
（2）根据“a的圈n次方”的运算法则可得，
将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；
（3）原式

【点睛】此题考查了新定义问题和有理数的除法运算，解题的关键是正确分析出“a的圈n次方”的运算法则．