专题13 有理数的乘方-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

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专题13 有理数的乘方

1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义.
2.会求有理数的正整数指数幂.
3.熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则.
4.感受发现问题的过程中体会到数学学习的乐趣，从而增进学好数学的自信心.

1. 有理数的乘方
1） 乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；
在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂．
注意：
①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有；
②乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来；
③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁；
如：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，；，其底数为，；
，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．
2．有理数指数幂的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
注意:除0以外的任何数的“0次幂”结果为1.


【题型一】有理数乘方的概念
【解题技巧】有理数乘方的概念
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
【典题1】（2021·天津市静海区七年级期中）的底数是____;指数是 _______;结果是 ______.
【答案】     -3     3     ﹣27
【分析】根据乘方的定义进行判断．
【详解】解：根据题意得：，
∴底数为-3，指数为3，结果为﹣27，故答案为-3，3，﹣27．
【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
【典题2】（2021·兴化市七年级期中）对于与，下列说法正确的是   
A．它们的意义相同 B．它们的结果相等
C．它们的意义相同，结果相等 D．它们的意义不同，结果不相等
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘方表示的意义，根据有理数的乘方表示的意义，即可求得答案．
【详解】解：表示的相反数，结果是，表示的4次方，结果是，
因此二者意义不同，结果也不相同，故选D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【变式练习】
1. （2021·浙江七年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．的底数是 B．读作：2的3次方 C．27的指数是0 D．负数的任何次幂都是负数
【答案】B
【分析】根据有理数乘方的定义解答．
【详解】解：A、-23的底数是2，故本选项错误；B、23读作：2的3次方，故本选项正确；
C、27的指数是1，故本选项错误；D、负数的偶数次幂是正数，故本选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，要知道，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数．
2．（2021·湖南常德·七年级期中）表示的意义是（       ）
A．个相乘的积 B．个相乘的积 C．乘以 D．个相加
【答案】B
【分析】根据乘方的意义即可求解；
【详解】解：表示的意义表示个相乘的积，故选：B
【点睛】本题主要考察有理数乘方的意义：，熟练掌握乘方的意义的解题的关键
3．（2021·浙江宁波·七年级期中）对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　）
A．底数相同，指数相同 B．底数不同，指数不同
C．底数相同，运算结果不同 D．底数不同，运算结果相同
【答案】D
【分析】根据幂的性质判断即可；
【详解】由（﹣4）3和﹣43可知：指数相同，底数不同，
，，运算结果相同；故选D．
【点睛】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键．

【题型二】有理数乘方的运算
【解题技巧】有理数乘方的运算
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
【典题1】（2021·湖北襄阳市·九年级二模）的倒数是（ ）
A．－4 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据有理数的乘方和倒数定义计算即可．
【详解】解：，的倒数为－4；故选：A．
【点睛】本题考查有理数的乘方和倒数的定义，解题关键是明确倒数的定义，熟练运用相关法则进行计算．
【典题2】（2022·河北邯郸·三模）计算：（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法和乘方运算求解即可．
【详解】解：=2m+3n．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的乘方，数学常识，注意分辩．
【变式练习】
1．（2022·湖北襄阳·模拟预测）（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方运算法则进行运算，即可求得
【详解】解：，故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，解答本题的关键是掌握有理数乘方运算法则．
2.（2021·山东德州市·七年级期中）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的运算进行计算即可；
【详解】，故答案选B．
【点睛】本题主要考查了幂的定义，准确计算是解题的关键．

【题型三】乘方运算的符号规律
【解题技巧】乘方的符号规律：
1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；
2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0．
【典题1】（2021·江苏苏州市·七年级月考）互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（ ）
A．与 B．与 C．与（为正整数） D．与（为正整数）
【答案】D
【分析】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可．
【详解】解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；
B、a，b互为相反数，则a3＝−b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B错误；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；
D、a，b互为相反数，由于2n＋1是奇数，则a2n＋1与b2n＋1互为相反数，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数．
【典题2】（2021·浙江宁波·七年级期中）下列各组数中，结果相等的是（       ）
A．52与25 B．﹣22与（﹣2）2 C．﹣34与（﹣3）4 D．（﹣1）2与（﹣1）20
【答案】D
【分析】A、根据幂的定义化简即可判定；B、根据幂的定义化简即可判定；C、根据幂的定义计算即可判定；D、根据有理数的乘方运算法则计算即可判定．
【详解】解：A. 52=25，25=32，故不符合题意；B. ﹣22=-4，（﹣2）2=4，故不符合题意；       
C. ﹣34=-81，（﹣3）4=81，故不符合题意； D. （﹣1）2=1，（﹣1）20=1，故符合题意．故选D．
【点睛】本题主要考查了幂的定义和有理数的乘方运算，熟练掌握相关的定义和法则是解题的关键．
【变式练习】
1. （2021·平山县外国语中学七年级期末）当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答．
【详解】解：当a＜0时，a2021是负数，故①正确；
(-a)2021＝-a2021， a2021=-(-a)2021，故②正确，④错误；
a2020=(-a)2020，故③正确；综上所述，①②③正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数．
2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（       ）
①与；②与；③与；④与
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据相反数的定义逐一解答．
【详解】解：a，b互为相反数，则，即与不互为相反数；
a，b互为相反数，则，故，即与互为相反数：
a，b互为相反数，则，，即与互为相反数，与不互为相反数，
则互为相反数的有②③故选：C．
【点睛】本题考查相反数的意义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

【题型四】 有理数乘方的简算
【解题技巧】性质：
【典题1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）计算的结果是（　　）
A．9 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据乘方的逆运算进行计算．
【详解】解：原式=故选B
【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．
【典题2】（2021·湖南株洲市·七年级期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．
【详解】解：，==，
=，=，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．
【变式练习】
1．（2021·山东淄博·期中）等于（       ）
A． B．8 C．0.125 D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方进行计算即可．
【详解】解：．故选B
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将改写成，再根据有理数乘方与乘法的运算法则进行计算即可得．
【详解】解：原式



．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．

【题型五】含乘方的混合运算
【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【典题1】（2022·全国七年级专题练习）计算：
（1）    （2）－12×（－5）÷[－32＋（－2）2]．
【答案】（1）28.（2）-12
【分析】（1）先乘方，再加减即可；（2）先乘方，再计算中括号，最后根据有理数的乘法法则计算即可.
【详解】(1)



(2)



【典题2】（2022·全国·七年级）计算：
(1)； (2)﹣23÷8﹣×（﹣2）2；
(3)﹣24+（3﹣7）2﹣2×（﹣1）2； (4)[（﹣2）3+]÷4+（﹣）．
【答案】(1)1；(2)﹣2；(3)﹣2；(4)
【分析】（1）运用乘法分配律，计算求值即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（4）先算乘方，再算中括号里的，再算除法，再算加法.
(1)解：原式=
＝6+9﹣14
＝1；
(2)解：原式=
＝﹣1﹣1
＝﹣2；
(3)解：原式=﹣16+（﹣4）2﹣2×1
＝﹣16+16﹣2
＝﹣2；
(4)解：原式=
＝
＝
＝.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左往右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【变式练习】
1．（2021·广东梅州·七年级期末）计算：
【答案】17
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：
＝﹣1＋1＋9－（﹣8）
＝﹣1＋1＋9＋8
＝17
【点睛】此题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2021·江苏七年级月考）计算：
（1）， （2），
（3）， （4）
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）按照有理数加减混合运算法则计算即可；（2）先算括号内的，然后在进行加减混合运算即可；
（3）先算除法和乘方，然后按照有理数加减法运算法则计算即可；
（4）先利用乘法分配律，然后根据有理数加减法运算法则计算即可．
【详解】（1）原式=
（2）原式=
=
=
（3）原式=
=
=
（4）原式=
=
=
【点睛】本题考查了含乘方的有理数加减乘除混合运算，乘法运算律，熟练掌握运算法则是本题的关键．

【题型六】有理数乘方的应用（二进制与末位数字问题）
【解题技巧】此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
【典题1】（2022·山东临沂·八年级期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．

【答案】109
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”计算．
【详解】解：，
故答案为：109．
【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，考查有理数乘方应用，解题的关键是根据图中的点列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
【典题2】（2022·全国·七年级单元测试）观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（　　）
A．3 B．9 C．7 D．1
【答案】A
【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可．
【详解】解：已知31=3，末位数字为3， 32=9，末位数字为9，  33=27，末位数字为7，                    
34=81，末位数字为1，35=243，末位数字为3， 36=729，末位数字为9，  
37=2187，末位数字为7，   38=6561，末位数字为1，    …                    
由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，                    
又2021÷4=505…1， 所以32019的末位数字与33的末位数字相同是3．   故选:A．
【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．
【变式练习】
1．（2022·山东聊城·七年级期末）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制
0
1
2
…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
十六进制
0
1
2
…
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
…
例：十六进制2B对应十进制的数为，10C对应十进制的数为，那么十六进制中14E对应十进制的数为（       ）
A．328 B．362 C．338 D．334
【答案】D
【分析】根据题干十六进制与十进制的运算方法求解．
【详解】解：由题意得．故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是正确理解十六进制与十进制的关系．
2.（2021·山东潍坊市·七年级期末）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________．
【答案】8
【分析】先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得．
【详解】因为，，，，，，…，
所以个位数字是以为一循环，且，
又因为，，
所以的结果的个位数字是8，故答案为：8．
【点睛】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．

【题型七】 有理数乘方的应用（实际问题）
【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
【典题1】（2021·河南许昌·七年级期中）一根1m长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此第九次后剩下的绳子的长度为（       ）
A．        B． C．                            D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方的意义即可得出答案．
【详解】解：一根1m长的绳子，第1次剪去一半后剩下的是m，
第2次剪去剩下的一半后剩下的长度是1×（）2（m），
第3次剪去剩下的一半后剩下的长度是1×（）3（m），依此类推，
第9次剪去剩下的一半后剩下的长度是1×（）9=（）9（m），故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方的计算，正确根据实际条件表示出第9次后剩下的长度是解决本题的关键．
【典题2】（2022·湖北黄冈·九年级）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（　　）
A．8分钟 B．7分钟 C．6分钟 D．5分钟
【答案】C
【详解】第一分钟通知到1个学生；第二分钟最多可通知到1+2＝3个学生；第三分钟最多可通知到3+4＝7个学生；第四分钟最多可通知到7+8＝15个学生；第五分钟最多可通知到15+16＝31个学生；第六分钟最多可通知到31+32＝63个学生，即可得到至少需要的时间为6分钟．
【解答】解：第一分钟通知到1个学生；第二分钟最多可通知到1+2＝3个学生；
第三分钟最多可通知到3+4＝7个学生；第四分钟最多可通知到7+8＝15个学生；
第五分钟最多可通知到15+16＝31个学生；第六分钟最多可通知到31+32＝63个学生；
答：至少用6分钟．故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方，解决本题的关键是得到每一分钟后，即知道消息的总人数．
【变式练习】
1．（2021·浙江湖州·七年级期中）小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
【答案】B
【分析】根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解．
【详解】解：由题意得第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，
第三次复制最多得2×2×2=23=8张，第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张，……，
第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，
1024＞1000，所以至少需要10次．故选：B
【点睛】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键．
2．（2021·江苏南通·七年级阶段练习）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），经过两个小时，这种细菌由两个分裂成________个．
【答案】32
【分析】根据题意求出这种细菌分裂的周期，然后用2除以周期得到细菌分裂的次数，然后利用乘方即2的4次方即可求出经过2小时细菌分裂的个数．
【详解】解：解：由细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），
得到细菌分裂的周期为半小时即0.5小时，∴经过两小时，这种细菌分裂了4次，
故经过两小时，这种细菌由两个可分裂繁殖成2×24=32个．故答案为：32．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，细菌分裂1次，细菌个数为21；分裂2次，细菌个数为22；…；分裂n次，细菌个数为2n．学生做题时总结出此规律是解本题的关键．










1．（2021·河北九年级二模）表示的意义是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据乘方的意义解答即可．
【详解】解：表示的意义是，故选A．
【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
2．（2020·浙江台州·七年级期中）a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（ ）个
①互为相反数 ②互为相反数
③互为相反数 ④互为相反数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：∵a，b互为相反数，a≠0，n为自然数，∴-a，-b互为相反数，故①说法正确；
当n是奇数时，an与bn互为相反数，当n为偶数时，an与bn相等，故②说法错误；
a2n与b2n相等，故③说法错误；a2n+1，b2n+1互为相反数，故④说法正确；所以叙述正确的有2个．故选：B．
【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数．
3．（2021·浙江金华市·七年级期中）所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数乘方的逆运算将原式化为，进一步即可求出答案．
【详解】===，故选：A．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键．
4．（2021·甘肃白银市·七年级期末）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22020的末位数字是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】观察算式可知：末位数字每4个算式是一个周期，用2020除以4，正好整除，即可求出22020的末位数字．
【详解】解：由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位数字分别为2、4、8、6，
∵2020÷4＝505，∴22020的末位数字与24的末位数字相同，为6．故选：C．
【点睛】本题考查了数字的规律问题，根据题意找出末位数的规律是解答此题的关键．
5．（2021·江苏省初一期中）已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）

①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．
③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】根据所给的例子的分解方法中找出分解的规律,其中最小的数是,从而可判断出②④正确.
【解析】①在25的“分解”中最大的数是+1=17，所以这个叙述正确；
②在43的“分解”中最小的数是；所以这个正确；
③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的 ；

④若3n的“分解”中最小的数是-2=79 ,解得n=5，故这个是正确的.
综上所述，共有两个正确的结论.故选C
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.
6．（2021·福建省初一期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个数为（　　）

A．3123 B．3214 C．3258 D．3236
【答案】D
【分析】从右到左表示满七进一的数为：第5位上的数×74+第4位上的数×73+第3位上的数×72+第2位上的数×7+第1位上的数．
【解析】她一共采集到的野果个数为1×74+2×73+3×72+0×7+2＝3236，故选：D．
【点睛】本题考查了用数字表示事件和有理数的运算．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自采集到的野果数量，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
7. （2021·西安同仁中学初三模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据班级序号的计算方法一一进行计算即可.
【解析】A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0,序号为，表示该生为10班学生.
B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号，表示该生为6班学生.
C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号，表示该生为9班学生.
D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生. 故选B.
【点睛】属于新定义题目，读懂题目中班级序号的计算方法是解题的关键.
8．（2021·湖北荆州·七年级期中）计算＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据乘方的意义求解即可
【详解】根据乘方的意义，分子为，分母为，即故选C
【点睛】本题考查了乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．
9．（2021·江苏苏州市·七年级月考）计算等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】原式利用同底数幂的乘法，以及积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到结果．
【详解】解：原式=（0.25×4）2007×（-4）=-4．故选C．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2022·福建三明·七年级期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（       ）

A． B． C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可得：x+2=y+（-1），m+（-1）=n+2，据此分别求出x-y，m-n的值各是多少，即可求出（x-y）m-n的值是多少．
【详解】解：根据题意，可得：x+2=y+（-1），m+（-1）=n+2，
∴x-y=-3，m-n=3，∴（x-y）m-n=（-3）3=-27．故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数加法和有理数乘方的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握．
11．（2021·山西晋中·七年级期中）蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可；
【详解】∵第一代有11只，则下一代就会有121只，
以此类推，可知蟑螂第10代的只数是；故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，利用乘方的定义计算是解题的关键．
12．（2022·江苏扬州·二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（       ）
A．当时， B．若，则m只能是5
C．若，则m只能是4 D．随着m的增大，n不一定也增大
【答案】B
【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可得到答案．
【详解】解∶A．当时，则7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，
∴，故选项正确，不符合题意；
B．若，则m→16→8→4→2→1，∴m既可能是32，也可能是5，故选项错误，符合题意；
C．若，则m→2→1，∴m只能是4，故选项正确，不符合题意；
D．当m=3时，n=7；当m=4时，n=2，∴随着m的增大，n不一定也增大故选∶B．
【点睛】本题主要考查了合情推理，审清题意，理解“冰雹猜想”的概念是解题的关键．
13．（2022·上海·位育中学期中）的底数是 ____________ ．
【答案】6
【分析】根据幂的定义解答即可：在中，a叫底数，n叫做指数；
【详解】解：的底数是6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了与两者的区别：的底数是-a，表示n个-a相乘的积；底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．
14．（2021·河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.

【答案】
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．
【解析】依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为，
∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.故答案为．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分
发生了变化，是按照什么规律变化的．
18．（2021·广西柳州市·九年级三模）计算：（﹣3）2×（）3﹣（﹣9＋3）．
【答案】 ．
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法解答本题即可．
【详解】解：原式===
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
19．（2021·广西南宁市·南宁二中九年级三模）计算：．
【答案】-36
【分析】先计算乘方、绝对值、乘法运算，再计算加减运算，即可得到结果．
【详解】解：
＝
＝
＝-30-6
=-36
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解本题的关键．
15．（2021·湖南广益实验中学）计算：0.252019×42020＝_____．
【答案】4
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【详解】解：0.252019×42020＝0.252019×42019×4＝（0.25×4）2019×4＝12019×4＝4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键.积的乘方等于各因数乘方的积，即(ab)m=ambm（m为正整数）. 特别注意运算过程中指数的变化规律,灵活运用法则的逆运算进行计算,培养学生的逆向思维意识．
16．（2021·浙江温州市·七年级期中）如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小，则应输入x的值为_____．

【答案】-6
【分析】先将3x2+x+1配方得原式=3（x+）2+，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入x的值．
【详解】解：3x2+x+1＝3（x+）2+，∵输入的x值为整数，要使输出结果最小，
∴3（x+）2+＞100，即（x+）2＞＝33，
∴应输入x的值为﹣6．故答案为：﹣6．
【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的到式子的最小值，进一步判断x的取值．
17．（2021·苏州新草桥中学七年级月考）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，若分裂后，其中有一个奇数是75，则的值是____．
【答案】9
【分析】根据底数是相应的奇数的个数，然后求出75是从3开始的奇数的序数为37，再求出第37个奇数的底数即可得解．
【详解】解：23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数，
∵2×37+1=75，∴75是从3开始的第37个奇数，
∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
∴m3“分裂”后，其中有一个奇数是75，则m的值9．故答案为：9．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键．
20．（2021·山东聊城市·七年级月考）计算：
（1）； （2）；
【答案】（1）1；（2）6．
【分析】（1）先计算有理数的平方，去绝对值，再将除法改为乘法，约分，最后进行加减运算即可．
（2）利用乘法分配律展开，约分，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）



．
（2）


．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．
21．（2020·浙江杭州市·七年级期末）计算：
（1）． （2）．
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）直接约分计算即可；（2）将除法转化为乘法，再约分计算；
（3）先算乘方和括号，再算乘除，最后算加减；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】解：（1）
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=
=；
（4）
=
=
=
=
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．

22．（2021·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
【答案】（1）3；2；3；（2）见解析
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2，
（-2）3=-8，（-2，-8）=3， 故答案为：3；2；3；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x•3y=20，
∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
23．（2020·浙江七年级开学考试）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：
（1）二进制中的数等于十进制的数多少？
（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算．
【详解】解：（1）．
答：二进制中的数等于十进制的数是．
（2）．
答：八进制中的数等于十进制的数是．
【点睛】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化．
24. （2021·重庆市大坪中学校七年级月考）阅读材料，解决问题：由，，，，，，，，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字；
（2）请探索出的个位数字；
（3）请直接写出的个位数字．
【答案】（1）2；（2）3；（3）1；
【分析】（1）仿照材料内容，得到规律，7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出；
（2）仿照材料内容，得到规律，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，即可求得；（3）仿照材料内容，82018个位数字是4，22018的个位数字是4，32018的个位数字是9，即可求得；
【详解】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807…
发现7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，由此可以得出：
∵799＝74×24+3∴799的个位数字与73的个位数字相同，应为3
由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…发现8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出：
∵899＝84×24+3∴899的个位数字与83的个位数字相同，应为2
（2）由于2¹=2，2²=4，2³=8，24=16，25=32…，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可知22019=2504×4+3与2³的个位数子相同，22019的个位数字是8 , 根据（1）可知72019的个位数字是3, 82019的个位数字是2 ∴22019＋72019＋82019的个位数字是3；
(3) 据前面的分析可知82018=8504×4+2与82的个位数字相同，82018个位数字是4；
22018=2504×4+2与22的个位数字相同，22018的个位数字是4；
32018=3504×4+2与22的个位数字相同，32018的个位数字是9；
∴ 82018－22018－32018的个位数字是14-4-9==1．
【点睛】本题为仿照材料找规律的题目，主要考查了理解和观察能力．
25．（2021·湖北孝感市·七年级期末）阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得

将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设M=，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据材料，设M=①，
∴将等式两边同时乘以3，则3M=②，
由②①，得：，∴；
∴.
（2）根据材料，设N=③，
∴将等式两边同时乘以5，④，
由④③，得：，∴；
∴.
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
26．（2021·湖北孝感市·七年级期末）阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得

将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设M=，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据材料，设M=①，
∴将等式两边同时乘以3，则3M=②，
由②①，得：，∴；
∴.
（2）根据材料，设N=③，
∴将等式两边同时乘以5，④，
由④③，得：，∴；
∴.
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．