2022届湖南省长沙市明德中学高三下学期5月二模考试数学试题含解析

这是一份2022届湖南省长沙市明德中学高三下学期5月二模考试数学试题含解析，共30页。试卷主要包含了已知，则“”是“”的，已知函数，若，，则，下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
长沙市明德中学2022届高三下学期5月二模考试
数 学
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复数平面内，复数对应的点的坐标是，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C．  D．
3．已知非零向量，满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（ ）
A．  B． C． D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的人中至少有名男老师的条件下，有名女老师的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，，则（ ）
A．点不可能是的一个对称中心
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．的最小值为
8．已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上， ，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列判断正确的是（ ）
A．在频率分布直方图中，最高的小矩形底边中点的横坐标是众数的估计值
B．已知随机变量服从正态分布，若，则
C．已知两个具有线性相关关系的变量的一组样本数据：，，，由这组样本数据得到的回归直线方程为，若，，则
D．若将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记正面向上的次数为，则
10．如图，是底面直径为高为的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转到，则（ ）

A．圆柱的侧面积为
B．当时，
C．当时，异面直线与所成的角为
D．面积的最大值为
11．已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当为正三角形时，
C．当时，的取值范围为
D．当时，的最大值为
12．已知，若（为自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13．已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．
14．已知数列的前项和为，且，则________．
15．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点（点在第一象限），为线段的中点，若，，则双曲线的离心率为________．
16．如图，在三棱锥中，，，分别为棱的中点，为三棱锥外接球的球心，则球的体积为________；平面截球所得截面的周长为________．（注：第一空2分，第二空3分）


四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知数列前项和为，若，且成等差数列．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）记数列的前项和为，求证：．



























18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，是菱形，分别是的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．






19．（本小题满分12分）
如图，记的内角的对边分别为．已知点在边上，，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，
（）求；
（）当时，求的周长．
















20．（本小题满分12分）
沙滩排球是一项每队由两人组成的两队在由球网分开的沙地上进行比赛的运动．它有多种不同的比赛形式以适应不同人、不同环境下的比赛需求．国家沙滩排球队为备战每年一次的世界沙滩排球巡回赛，在文昌高隆沙湾国家沙滩排球训练基地进行封闭式训练．在某次训练中，甲、乙两队进行对抗赛，每局依次轮流发球（每队不能连续发球），连续赢得个球的队获胜并结束该局比赛，并且每局不得超过个球．通过对甲、乙两队过去对抗赛记录的数据分析，甲队发球甲队赢的概率为，乙队发球甲队赢的概率为，每一个球的输赢结果互不影响，已知某局甲先发球．
（Ⅰ）求该局第二个球结束比赛的概率；
（Ⅱ）若每赢个球记分，每输一个球记分，记该局甲队累计得分为，求的分布列及数学期望．












21．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，准线与抛物线的对称轴的交点为，点在抛物线上，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线交抛物线于两点，点在轴上的投影为，直线分别与直线（为坐标原点）交于点，与直线交于点，记的面积为，的面积为，求证：．





















22．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）是否存在唯一实数，使得成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

长沙市名校2022届高三下学期5月二模考试
数学评分标准及参考答案（教师版）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复数平面内，复数对应的点的坐标是，则等于
A. B. C. D.
【解析】依题意，，，故选C.
2. 已知集合，，则
A. B. C.   D.
【解析】依题意，得，，，故选D
3. 已知非零向量，满足，，则向量与向量夹角的余弦值为
A. B. C. D.
【解析】方法一：依题意设，，则，
因为，所以，即.
则，故选A.
方法二：设，分别以为邻边作平行四边形，因为，所以，因此四边形为矩形，因为，则（或），所以矩形为正方形，向量与向量夹角，即与的夹角，
所以，故选A.
4．定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为
A.   B. C. D.
【解析】因为为偶函数，所以，因为在上单调递减，所以不等式的解集为，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的解集为，所以，故选B.
方法二：因为为偶函数，，在单调递减，若，
则，不等式可转化为，所以，
解得，所以且，即，故选B.
5. 已知，则“”是“”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】构造函数，则，函数在上单调递增.
若，则；若，则，故选A.
6．学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的人中至少有名男老师的条件下，有名女老师的概率为
A. B. C. D.
【解析】方法一：记“选派人中至少有名男老师”为事件，“选派人中有名女老师”为事件.
则，，
显然，所以.
方法二：记“选派的人中至少有名男老师”为事件，“选派的人中有名女老师”为事件.
从名男老师和名女老师中选派人，至少有名男教师有不同的选法，
其中选派名女老师有不同的选法，
所以. 故选B
7. 已知函数，若，，则
A. 点不可能是的一个对称中心 B. 在上单调递减
C. 的最大值为 D. 的最小值为
【解析】，的周期.
依题意可得，，则，即，
求得，，所以点是的一个对称中心，A错误；当时，B错误；当时，取最小值，C错误，故选D.
8. 已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上， ，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为
A. B. C. D.
【解析】因为，所以三点共线，且，因为分别为和的中点，所以，所以.
方法一：设，，，由，得，
求得，，所以，因为点在椭圆上，所以，求得，，所以椭圆的方程为，故选B.
方法二：在中，因为，所以，
所以，设，则，
，.
（或连接，则，所以）
又，所以，即，所以椭圆的方程为，故选B.
方法三：作轴，垂足为，则，所以，
所以，，所以，因为点在椭圆上，
所以，求得，，所以椭圆的方程为，故选B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列判断正确的是
A. 在频率分布直方图中，最高的小矩形底边中点的横坐标是众数的估计值
B. 已知随机变量服从正态分布，若，则
C. 已知两个具有线性相关关系的变量的一组样本数据：，，，由这组样本数据得到的回归直线方程为，若，，则
D. 若将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记正面向上的次数为，则
【解析】对于A，根据频率分布直方图中众数的求解方法知A正确；
对于B，易知，因为，所以，所以，B错误；
对于C，回归直线必过样本点的中心，其中，，所以，即，C正确；
对于D，易知，则，所以，D错误. 故选AC.
10. 如图，是底面直径为高为的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转到，则
A. 圆柱的侧面积为
B. 当时，
C. 当时，异面直线与所成的角为
D. 面积的最大值为
【解析】对于A，圆柱的侧面积为，A错误；
对于B，因为，所以，又，
所以平面，所以，B正确；
对于C，因为，所以就是异面直线与
所成的角，因为，所以为正三角形，
所以，因为，所以，C正确；
对于D，作，垂足为，连接，所以平面，所以.
在中，，
，所以，D错误. 故选BC.
11. 已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则
A. 直线恒过定点
B. 当为正三角形时，
C. 当时，的取值范围为
D. 当时，的最大值为
【解析】对于A，直线恒过定点，A错误；
对于B，因为为正三角形，则，所以，B正确；
对于C，因为，所以四边形为正方形，则，所以点的轨迹方程为，问题转化为直线与点的轨迹有公共点，所以，即，所以的取值范围为，C错误；
对于D，因为，则，即，由，得，当且仅当时取等号，D正确；故选BD.
12. 已知，若（为自然对数的底数），则
A. B. C. D.
【解析】因为，所以，即.
对于A，因为，所以，A正确；
对于B，令，则，所以在上单调递增.
因为，所以，所以，所以，B错误；
对于C，因为，所以，C正确；
对于D，因为，所以，D正确. 故选ACD.
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是.
【解析】依题意，知，，
则展开式的第项为，
当时，展开式中系数为有理数，所以展开式中系数为有理数的项的个数为.
14. 已知数列的前项和为，且，则.
【解析】，，
，，
因为，
所以数列是周期数列，周期为，因为，
所以.
15. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点（点在第一象限），为线段的中点，若，，则双曲线的离心率为.
【解析】方法一：如图，设双曲线的左焦点为，连接，
因为为线段的中点，所以，，
因为，所以，由双曲线的对称性知，
因为，所以，所以，
在中，，， 因为，
即，所以双曲线的离心率.
方法二：因为，为线段的中点，所以，由双曲线的对称性知，因为，所以，所以，
所以为正三角形，设，则，直线的方程为.
由，解得，所以，化简得，
即，因为，所以，即.
16. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱的中点，为三棱锥外接球的球心，则球的体积为；平面截球所得截面的周长为.（注：第一空2分，第二空3分）
【解析】因为，
将三棱锥补成正方体如图1，
所以三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心是的中点.
设外接球的半径为，则，即，
所以. ．．．．．．2分
方法一：设，因为平面，，
所以平面，所以平面平面，
因为平面平面，
过作，垂足为，则平面，且是截面的圆心.
设，如图2，在矩形中，
所以，过作，垂足为，则，
在中，，，
，则，所以，
设截面圆的半径为，则，故截面的周长为.
方法二：以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，
所以平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，球心到平面的距离为
所以，且.
设截面的半径，则，所以截面的周长为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
已知数列前项和为，若，且成等差数列.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）记数列的前项和为，求证：.
【解析】（Ⅰ）， ．．．．．．1
因为成等差数列，所以， ．．．．．．2
所以，且， ．．．．．．4
所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ．．．．．．5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知. ．．．．．．6

. ．．．．．．8
一方面，；
另一方面，，
是递增数列，所以. ．．．．．．9
综上所述，. ．．．．．．10
（注：说明“数列是递增数列”不扣分，没有说明扣1分.）
18. (本小题满分12分)
如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，是菱形，分别是的中点，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
（Ⅰ）证明：因为侧面为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为侧面为菱形，所以，
因为，所以平面 ．．．．．．6
（Ⅱ）取的中点，连接，因为四边形为菱形，且，
所以为正三角形，所以，因为，所以，
所以平面，所以两两垂直.
以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系. ．．．．．．7
设，则，且，
则，，，，
，.，，
，，
设平面的一个法向量，
由，得，求得，
设平面的一个法向量，
由，得，求得， ．．．．．．10
， ．．．．．．11
，所以二面角的正弦值为. ．．．．．．12
19.(本小题满分12分)
如图，记的内角的对边分别为. 已知点在边上，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，
（）求；（）当时，求的周长.
【解析】（Ⅰ）因为，，所以， ．．．．．．1
所以， ．．．．．．2 即， ．．．．．．3
所以. ．．．．．．4
（Ⅱ）（）因为，
所以由正弦定理得，，求得. ．．．．．．5
由（Ⅰ）得，. ．．．．．．6
所以. ．．．．．．7
（）方法一：因为，所以，则. ① ．．．．．．8
在中，，，
由余弦定理得，，化简得. ② ．．．．．．9
联立①和②求得，. ．．．．．．10
在中，由余弦定理得，，即. ．．．．．．11
所以的周长为. ．．．．．．12
方法二：因为，所以，则. ① ．．．．．．8
取的中点，连接，则.
在中，，
，
，化简得. ②

联立①和②求得，，. ．．．．．．10
在中，由余弦定理得，，即. ．．．．．．11
所以的周长为. ．．．．．．12
方法三： 因为，所以. ．．．．．．6
.
因为，所以. ① ．．．．．．8

因为，所以，则. ② ．．．．．．9

联立①和②求得，. ．．．．．．10
在中， 由正弦定理，求得. ．．．．．．11
所以的周长为. ．．．．．．12
20.(本小题满分12分)
沙滩排球是一项每队由两人组成的两队在由球网分开的沙地上进行比赛的运动. 它有多种不同的比赛形式以适应不同人、不同环境下的比赛需求. 国家沙滩排球队为备战每年一次的世界沙滩排球巡回赛，在文昌高隆沙湾国家沙滩排球训练基地进行封闭式训练. 在某次训练中，甲、乙两队进行对抗赛，每局依次轮流发球（每队不能连续发球），连续赢得个球的队获胜并结束该局比赛，并且每局不得超过个球. 通过对甲、乙两队过去对抗赛记录的数据分析，甲队发球甲队赢的概率为，乙队发球甲队赢的概率为，每一个球的输赢结果互不影响，已知某局甲先发球.
（Ⅰ）求该局第二个球结束比赛的概率；
（Ⅱ）若每赢个球记分，每输一个球记分，记该局甲队累计得分为，求的分布列及数学期望.
【解析】（Ⅰ）记：“甲队发球甲队赢”为事件，“乙队发球甲队赢”为事件，“第二个球结束比赛”为事件，则，，，，
因为事件与互斥，所以
，
所以该局第二个球结束比赛的概率为. ．．．．．．5
（Ⅱ）依题意知随机变量的所有可能取值为. ．．．．．．6
； ．．．．．．7

； ．．．．．．8

； ．．．．．．9

. ．．．．．．10


0
2
4
6






所以的分布列为
．．．．．．11


故数学期望. ．．．．．．12
21．(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为，准线与抛物线的对称轴的交点为，点在抛物线上，且.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线交抛物线于两点，点在轴上的投影为，直线分别与直线（为坐标原点）交于点，与直线交于点，记的面积为，的面积为，求证：.
【解析】（Ⅰ）作，垂足为，则.
因为，所以，. ．．．．．．2
因为点在抛物线上，所以，
消去得：，解得.
所以抛物线的方程为. ．．．．．．5
（Ⅱ）设，
由，消去得.
则，因为，所以，
. ．．．．．．6
依题意知直线的方程为，
直线的方程为. ．．．．．．7
由，得点的坐标为.
由得的坐标为. ．．．．．．8
要证，即证，即证. ．．．．．．9
即证，即证. ．．．．．．10
因为，，
所以

.
即，所以. ．．．．．．12
22．(本小题满分12分)
已知函数.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）是否存在唯一实数，使得成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）要证 ，
即证，即证. ．．．．．．1
令，， ．．．．．．2
当时，，单调递减，
当，，单调递增. ．．．．．．3
所以，所以. ．．．．．．4
（Ⅱ）假设存在唯一实数，使得，即，
则问题转化为方程在内存在唯一实数根. ．．．．．．5
令，设，
问题转化为函数在内存在唯一零点. ．．．．．．6
① 当，因为，
所以在内没有零点. ．．．．．．7
② 当时，则，
方法一：，在内单调递增，，
所以在内没有零点. ．．．．．．8
方法二：令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
，在上单调递增，，
所以在内没有零点. ．．．．．．8
③ 当时，则时，令，，
在上单调递减，所以在上单调递减，
因为，，所以，使得，
所以当时，，单调递增，时，单调递减.
当时，，在内没有零点. ．．．．．．10
当时，方法一：
因为，所以存在正整数，使得. 易证，即，
则，
，在内存在唯一的零点，在内存在唯一零点.
综上所述，存在唯一实数，使，的取值范围是. ．．．．．．12
方法二：由（Ⅰ）知，则，
所以， ．．．．．．10
当，即时，.
取时，，，
在内存在唯一零点，在内存在唯一零点.
综上所述，存在唯一实数，使，的取值范围为. ．．．．．．12
解法二：假设存在唯一实数，使得，即，
问题转化为方程在内存在唯一实数根. ．．．．．．5
令，
则. ．．．．．．6
（1）当时，，在上单调递减，，
所以在内无零点. ．．．．．．7
（2）当时，令，
，
①当，即时，
，在单调递减，，即，
在单调递增，，所以在内无零点. ．．．．．．8

②当，即时，
时，单调递减，时，单调递增，
，所以，在上单调递增，
，所以在无零点. ．．．．．．9
③当，即时，
，在单调递减，因为，，
，所以，使得.
当时，，则，单调递减，，
所以在内无零点. ．．．．．．10
当时，，则，单调递增，
由（Ⅰ）知，，
所以，
令，则.
取时，，，
在内存在唯一零点，所以在内存在唯一零点. ．．．．．．11
综上所述，存在唯一实数，使，的取值范围为. ．．．．．．12