2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级（下）期末数学试卷含解析

2020-2021学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级（下）期末数学复习试卷

1. 下列方程中，一元二次方程是

A.  B.
C.  D.

2. 下列曲线中，不表示是的函数图象的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，平行四边形中，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

4. 二次函数的顶点是

A.  B.  C.  D.

5. 在一次“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分数都是分，甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，下列说法正确的是

A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定
C. 甲、乙二人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定

6. 如图，直线和直线交于点，根据图象分析，关于的方程的解为

A.
B.
C.
D.

7. 若是一元二次方程的一个根，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在正方形中，点、分别在、上不与端点重合，且，连接、相交于点，则下列结论不正确的是

A.
B.
C.
D.
 

9. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛场，设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是

A.
B.
C.
D.

11. 一组数据，，，，，的中位数是______ ．
12. 菱形中，对角线，则菱形的高等于______ ．
13. 如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则______．

14. 某商场今年月的营业额为万元，预计到月的营业额可达到万元，如果、两个月营业额的月均增长率为，则根据题意列出的方程为______ ．
15. 若点和点在一次函数的图象上，则的值为______．
16. 如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：为等腰直角三角形；；直线是的垂直平分线；若，则；其中正确结论的有______ ．
17. 计算：．
18. 先化简：，再从，，，中选择一个适合的数代入求值．
19. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．
20. 为了参加青少年校园足球比赛，某学校组织了一次体育知识竞赛．每班选名同学参加比赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级得分依次记为分、分、分、分．学校将八年级班和班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示．
    
    把一班竞赛成绩统计图补充完整；
    写出如表中，，的值．

21. 已知二次函数如图所示，为抛物线的顶点，其中，，．
    求这个二次函数的解析式及顶点坐标的坐标．
    求直线的解析式．
    
    
    
     

22. 为巩固抗疫成果，“就地过年”成为一种新风尚某社区居委会为让“留深过年”居民度过一个非同寻常的春节，感受浓浓深圳年味，计划开展“赠年花，迎春节”活动已知每支百合花的进价比每支富贵竹的进价高元，用元购进的百合花数量比用元购进的富贵竹数量少只．
    百合花和富贵竹的进货单价分别是多少？
    受活动经费限制，居委会拟购进两种年花数量共支，其中百合花的数量不小于富贵竹的倍问居委会应如何进货使得购买年花所需费用最小．
23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
    求的取值范围；
    若，求的值及方程的根．
24. 如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
    判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有______；
    如图，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
    如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长．

如图，在平面直角坐标系中直线与轴、轴相交于、两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．

求证：≌；
如图，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标；
若点在轴上，点在直线上是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：属于一元二次方程，符合题意；
B.属于二元二次方程，不符合题意；
C.当时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；
D.属于分式方程，不符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是．
 

2.【答案】

【解析】解：显然、、选项中，对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数；
选项对于取值时，可能有个值与之相对应，则不是的函数；
故选：．
设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．
 

3.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角性质是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：二次函数，
该函数的顶点坐标为，
故选：．
根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由二次函数的顶点式，可以直接写出函数的顶点坐标．
 

5.【答案】

【解析】解：甲，乙两位同学的平均分都是分，
而甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，
即甲的成绩方差大于乙的成绩方差，
乙的成绩比甲的成绩稳定．
故选：．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

6.【答案】

【解析】解：直线和直线交于点，
关于的方程的解为．
故选：．
利于交点坐标满足两函数解析式可确定方程的解．
本题考查了一次函数与一元一次方程：两直线的交点坐标就是两函数解析式所组成的方程组的解．
 

7.【答案】

【解析】解：把代入得，
解得，
，
，
．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
≌，
A正确，，B错误，
，，
C正确，
，，
，
D正确，
所以不正确的是，
故选：．
根据正方形证明≌，利用全等三角形的性质可证明．
此题主要考查了学生对正方形的性质及全等三角形的判定与性质的掌握情况．
 

9.【答案】

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据比赛的场数参加比赛的球队数量参加比赛的球队数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线开口向上，
，故A错误；
抛物线与轴交点在轴的正半轴上，
，故B错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故C错误；
由图象可知当时，，
，故D正确；
故选：．
根据抛物线的开口方向，与轴交点，与轴的交点，以及当时值的符号进行判断即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】

【解析】解：将这组数据从小到大的顺序排列：，，，，，，处于中间位置的两个数是，，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故答案为：．
求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意得，菱形的面积，

则，，
则，
设菱形的高为，
则菱形的面积，
解得，
故答案为．
由题意得，菱形的面积，设菱形的高为，则菱形的面积，即可求解。
本题考查的是菱形面积的计算方法，利用两种不同方法求解菱形面积是本题解题的关键。
 

13.【答案】

【解析】解：、分别为、的中点，
．
四边形是矩形，
．
故答案为．
根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
 

14.【答案】

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
根据月份的营业额月份的营业额增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：点和点在一次函数的图象上，
，
．
故答案为：．
把点和点代入一次函数的关系式，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：正方形中，，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，故正确；
，
正方形，为对角线，
，
，，，
，故正确；
连接、，

是的中点，、是直角三角形，
，
又，
直线是的垂直平分线，
过点作于，则，
是的中点，，，
是的中位线，
，
，故正确；
综上所述，正确的结论有．
故答案为：．
根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，，然后求出，判断出是等腰直角三角形，判断出正确；由是等腰直角三角形和正方形的性质可得，利用三角形内角和为即可判断正确；连接、根据直角三角形的性质可得运用“”证明≌，得；最后由正方形的性质推知垂直平分，故成立；过点作于，则，根据三角形中位线定理得到，求得，故正确．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


．

【解析】先利用二次根式的乘法法则计算、取绝对值符号、计算零指数幂，再计算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质、零指数幂．
 

18.【答案】解：原式


由原式可知，不能取，，，
时，原式．

【解析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的的值代入计算即可．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
 

19.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．

【解析】先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理得，即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：一班等级人数为人，
补全条形图如下：

一班成绩的平均数分，
一班成绩的方差，
二班等级人数为人，等级人数为人，等级人数为人，
二班成绩的中位数是第个数据，在等级，即中位数分，
，，．

【解析】根据总人数为人，求出等级的人数，补全条形统计图即可；
求出一班的平均分与方差得到与的值，求出二班得中位数得到的值即可．
本题考查了众数、方差、中位数、平均数和统计图，理解众数、方差、中位数、平均数的意义是正确求解的前提．
 

21.【答案】解：设二次函数解析式为，
将代入得：，
，
，
顶点坐标，
设直线的解析式为，
将、代入得：
，
．
．

【解析】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．
本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是根据题意设合适的二次函数表达式．
 

22.【答案】解：设富贵竹的进货单价为元，则百合花进货单价为元．
根据题意得：，
解得，不符题意，舍去，
经检验，是原方程的解，
百合花的进货单价为元，
答：百合花进货单价为元，富贵竹进货单价为元；
设购买富贵竹支，则购买百合花支，购买年花费用为元．
，
，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
，
当时，有最小值，
此时，购买百合花数量为支，
答：当购买富贵竹支，百合花支时，所需总费用最小．

【解析】设富贵竹的进货单价为元，根据题意列出方程即可求出答案．
设购买富贵竹支，则购买百合花支，购买年花费用为元，根据题意列出求出的范围，再求出与的函数关系即可求出答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确求出百合花和富贵竹的进货单价，以及列出买年花费用与富贵竹数量之间的函数关系．
 

23.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，

解得：且．
由，可得：或．
当时，，
解得：，
此时；
当时，，
，
且，
此时方程无解．
综上所述：若，的值为，方程的根为．

【解析】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组；分或两种情况求出的值．
根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
由，可得或，当时，利用可求出的值，利用可求出方程的解；当时，由根与系数的关系可得出，解之即可得出的值，结合可知此情况不存在．综上即可得出结论．
 

24.【答案】菱形和正方形

【解析】解：菱形、正方形的对角线垂直，
菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
猜想：．
理由：，
，
由勾股定理，得，
，
．
连接、，

，
，即，
在和中，
，
≌，
，
又，
，即，
四边形是垂美四边形，
，
，，
，，，
，
，
．
根据垂美四边形的定义即可判断；
结论：利用勾股定理即可证明；
连接、，只要证明四边形是垂美四边形，利用中结论即可解决问题．
本题考查四边形综合题、正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

25.【答案】证明：，
，，
，
在和中，
，
≌
≌，
，
设，
，
将代入直线，
，
，
解：当为平行四边形的边时，如图：

当时，
此时的横坐标为，
的横坐标为，
，
，
当时，
由平移到，水平向左平移个单位，
将水平向左平移个单位得的横坐标为，
，
，
当为平行四边形的对角线时，如图：

由平移到可知，水平向右平移个单位，
的横坐标为，
，
综上：或或

【解析】根据证明≌即可；
由≌可得：，设，则，将代入直线得到，则，再利用待定系数即可解决问题；
由线段是已知，可得为平行四边形的边和对角线两种，当为边时，和时，借助平移可求得坐标．
本题主要以一次函数图象为背景，考查了线段旋转的性质，以及三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，解决本题的关键是对为平行四边形的对角线和边长进行分类．属于压轴题．