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山东省淄博市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
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这是一份山东省淄博市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省淄博市部分学校高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．等差数列{an}中，a3＝6，a8＝21，则公差d为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知某一随机变量x的概率分布如下，且E（x）＝5.9，则a的值为（ ）
x
4
a
9
p
0.5
0.2
b
A．5 B．6 C．7 D．8
3．展开式中常数项为（ ）
A．60 B．﹣60 C．160 D．﹣160
4．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行．现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，……，108，则编号为22的佛塔所在层数为（ ）
A．第5行 B．第6行 C．第7行 D．第8行
5．设（x﹣2）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则下列结论正确的是（ ）
A．a0＝﹣16 B．a0+a1+a2+a3+a4＝81
C．a1+a2+a3+a4＝15 D．a0+a2+a4＝41
6．风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.2021年是中国共产党百年华诞，为深入开展党史学习教育活动，某街道党支部决定将6名党员（包含2名女党员）全部安排到甲、乙2个社区进行专题宣讲，每个社区至少2名党员，并且两名女党员不能在同一个社区，则不同的安排方法总数为（ ）
A．12 B．28 C．36 D．56
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．若数列{an}是斐波那契数列，则a12+a22+a32+⋯⋯+a20212＝（ ）
A．a2019a2020 B．a2020a2021 C．a2021a2022 D．a2022a2023
8．若，，，则（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当x＝3时，函数f（x）取得极大值
B．函数f（x）在区间（﹣1，1）上是单调递减的
C．当x＝1时，函数f（x）取得极小值
D．函数f（x）在区间（5，6）上是单调递增的
10．等比数列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列
B．设数列{an}的前n项和为Sn，对∀n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立
C．数列{an}是递增数列
D．数列{lg（﹣an）}是首项和公差都小于0的等差数列
11．下列说法错误的是（ ）
A．对于回归方程，变量x每增加1个单位，变量平均增加4个单位
B．由样本数据得到的回归直线方程必经过点
C．两个相关变量的线性相关系数越接近0，这两个变量的相关性越强
D．如果一组数据代表的散点全部落到一条斜率为3的直线上，则相关指数R2＝1
12．一袋中装有5个大小相同的小球，其中黑球2个，白球3个，则下列结论正确的是（ ）
A．若有放回地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是
B．若一次性地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是
C．若有放回地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
D．若一次性地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设函数f（x）＝x3﹣2x2+x+4，则f（x）的极大值与极小值之差为 ．
14．已知，则a除以10的余数是 ．
15．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N（100，225），则这次考试成绩不低于100分的约有 人；这次考试分数低于70分的约有 人．
参考数据：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．
16．设随机变量ξ服从二项分布，则函数f（x）＝x2+4x+ξ存在零点的概率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．为检查“创建全国文明城市”（以下称“创城”）活动成果，某市统计了自宣传发动“创城”以来的几个月中，在市区某主要路段的骑行者和行人过马路情况，并从中随机抽查了60人，得到2×2列联表如下：
不走斑马线
走斑马线
合计
骑车
6
步行
22
30
合计
60
（1）补全上述列联表；
（2）根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，有没有充分证据推断：过马路“不走斑马线行为”与骑车有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
18．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3﹣2S2＝1，a2n+1﹣2an＝3，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
20．已知函数．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．
21．为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度y（单位：mg/m3）、监控点与企业的距离x（单位：km）的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（其中，）：，，，，，，，．
（1）利用相关系数，判断y＝a+bx与哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度y关于监控点与该企业距离x的回归方程类型？（精确到0.001）
（计算过程中的可参考数据：，）
（2）根据（1）的判断结果，求其回归方程，并预测当x＝20时可吸入颗粒物浓度的预报值？
附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），其线性相关系数为：，
回归直线方程s＝α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
22．已知函数，其中e＝2.718281⋅⋅⋅是自然对数的底数．
（1）判断函数f（x）在区间上的单调性，并求最小值；
（2）设，证明：函数g（x）在区间上有唯一零点．
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．等差数列{an}中，a3＝6，a8＝21，则公差d为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：设等差数列{an}的公差为d，由a3＝6，a8＝21，得5d＝a8﹣a3＝21﹣6＝15，解得d＝3．
故选：C．
2．已知某一随机变量x的概率分布如下，且E（x）＝5.9，则a的值为（ ）
x
4
a
9
p
0.5
0.2
b
A．5 B．6 C．7 D．8
解：由0.5+0.2+b＝1，得b＝0.3，
由E（x）＝5.9，得4×0.5+0.2a+9×0.3＝5.9，解得a＝6．
故选：B．
3．展开式中常数项为（ ）
A．60 B．﹣60 C．160 D．﹣160
解：∵展开式的通项公式为 Tr+1＝•26﹣r•（﹣1）r•，
令﹣6＝0，求得r＝4，可得展开式中常数项为•22＝60，
故选：A．
4．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行．现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，……，108，则编号为22的佛塔所在层数为（ ）
A．第5行 B．第6行 C．第7行 D．第8行
解：∵1+3+3+5+5+7＝24，
∴编号为22的佛塔在第6行，
故选：B．
5．设（x﹣2）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则下列结论正确的是（ ）
A．a0＝﹣16 B．a0+a1+a2+a3+a4＝81
C．a1+a2+a3+a4＝15 D．a0+a2+a4＝41
解：∵（x﹣2）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x＝0，得a0＝16①，故A错误；
令x＝1，得a0+a1+a2+a3+a4＝（1﹣2）4＝1②，故B错误；
由①②得a1+a2+a3+a4＝﹣15，故C错误；
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣1﹣2）4＝81③，
由②③得a0+a2+a4＝＝41，故D正确；
故选：D．
6．风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.2021年是中国共产党百年华诞，为深入开展党史学习教育活动，某街道党支部决定将6名党员（包含2名女党员）全部安排到甲、乙2个社区进行专题宣讲，每个社区至少2名党员，并且两名女党员不能在同一个社区，则不同的安排方法总数为（ ）
A．12 B．28 C．36 D．56
解：根据题意，分2步进行分析：
①将6人分为2组，要求每组至少2人，两名女党员不能在同一组，有（+﹣1）＝24种分组方法，
②将两组安排到两个社区，有2种情况，
则有14×2＝28种不同的安排方法；
故选：B．
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．若数列{an}是斐波那契数列，则a12+a22+a32+⋯⋯+a20212＝（ ）
A．a2019a2020 B．a2020a2021 C．a2021a2022 D．a2022a2023
解：由题意可得：
a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，，
所以：a2021a2022＝a20212+a2020a2021，
a2020a2021＝a20202+a2019a2020，
•••，
a2a3＝a22+a1a2，
又因为a12＝a1a2，
所以a2021a2022＝a20212+a20202+•••+a22+a12，
故选：C．
8．若，，，则（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
解：，
设，，
∴x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，∴f（x）在[e，+∞）上单调递减，
∴f（e）＞f（3）＞f（4），且a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），
∴c＞b＞a．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当x＝3时，函数f（x）取得极大值
B．函数f（x）在区间（﹣1，1）上是单调递减的
C．当x＝1时，函数f（x）取得极小值
D．函数f（x）在区间（5，6）上是单调递增的
解：逐一考查所给的选项：
导函数在x＝3左侧为正值，原函数单调递增，导函数在x＝3右侧为正值，原函数单调递增，故当x＝3时，函数f（x）不存在极值，选项A错误，
导函数在区间（﹣1，1）上的值为负值，则函数f（x）在区间（﹣1，1）上是单调递减的，选项B正确，
导函数在x＝1左侧为负值，原函数单调递减，导函数在x＝1右侧为正值，原函数单调递增，故当x＝1时，函数f（x）取得极小值，选项C正确，
导函数在区间（5，6）上的值先负后正，则函数f（x）在区间（5，6）上先增后减，选项D错误．
故选：BC．
10．等比数列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列
B．设数列{an}的前n项和为Sn，对∀n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立
C．数列{an}是递增数列
D．数列{lg（﹣an）}是首项和公差都小于0的等差数列
解：由＝q2可知A对；
由a1＜0，公比0＜q＜1，可知an＜0，∴当n＞2，n∈N*时，Sn＝a1+a2+•••+an＜an+a1恒成立，∴B对；
由a1＜0，公比0＜q＜1，可知数列{an}是递增数列，∴C对；
∵﹣an与1无法比较大小，∴数列{lg（﹣an）}是首项无法和0比较，∴D错．
故选：ABC．
11．下列说法错误的是（ ）
A．对于回归方程，变量x每增加1个单位，变量平均增加4个单位
B．由样本数据得到的回归直线方程必经过点
C．两个相关变量的线性相关系数越接近0，这两个变量的相关性越强
D．如果一组数据代表的散点全部落到一条斜率为3的直线上，则相关指数R2＝1
解：对于回归方程＝3x+1，变量x每增加1个单位，
则＝3（x+1）+1＝3x+4，变量平均增加3个单位，故选项A错误；
由样本数据得到的回归直线方程＝+必经过点（），故选项B正确；
两个相关变量的线性相关系的绝对值越接近1，这两个变量的相关性越强，故选项C错误；
如果一组数据代表的散点全部落到一条斜率为3的直线上，则相关指数R2＝1，故选项D正确．
故选：AC．
12．一袋中装有5个大小相同的小球，其中黑球2个，白球3个，则下列结论正确的是（ ）
A．若有放回地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是
B．若一次性地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是
C．若有放回地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
D．若一次性地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
解：对于A，有放回地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率P1＝＝，故A错误；
对于B，一次性地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率P2＝＝，故B正确；
对于C，有放回地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率P3＝+＝，故C错误；
对于D，一次性地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率P4＝+＝，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设函数f（x）＝x3﹣2x2+x+4，则f（x）的极大值与极小值之差为 ．
解：由函数的解析式可得：f'（x）＝3x2−4x+1＝（x−1）（3x−1），
列表考查函数的性质如下：
x
x＝1
（1，+∞）
f’（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
则函数的极大值与极小值的差为：
．
故答案为：．
14．已知，则a除以10的余数是 1 ．
解：∵
＝（1+2）20
＝（10﹣1）10
＝•1010﹣•109+•108﹣...﹣•101+•（﹣1）10
＝10（•109﹣•108+•107﹣...﹣）+1，
∴a除以10的余数是1，
故答案为：1．
15．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N（100，225），则这次考试成绩不低于100分的约有 600 人；这次考试分数低于70分的约有 27 人．
参考数据：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．
解：因为X～N（100，225），所以μ＝100，σ＝15，
所以P（X⩽100）＝0.5，所以这次考试成绩不低于100分的约有1200×P（X⩽100）＝1200×0.5＝600．
因为P（μ﹣2σ＜X⩽μ+2σ）＝0.9545，所以P（70＜X⩽130）＝0.9545，
则，
所以这次考试分数低于70分的约有1200×P（X＜70）＝1200×0.0075＝27.3，
于是考试分数低于70分的约有27人．
故答案为：600，27．
16．设随机变量ξ服从二项分布，则函数f（x）＝x2+4x+ξ存在零点的概率是 ．
解：因为函数f（x）＝x2+4x+ξ存在零点，
所以△＝14﹣4ξ≥0，则ξ≤4，
又随机变量ξ服从二项分布，
所以P（ξ≤4）＝1﹣P（ξ＝5）＝＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．为检查“创建全国文明城市”（以下称“创城”）活动成果，某市统计了自宣传发动“创城”以来的几个月中，在市区某主要路段的骑行者和行人过马路情况，并从中随机抽查了60人，得到2×2列联表如下：
不走斑马线
走斑马线
合计
骑车
6
步行
22
30
合计
60
（1）补全上述列联表；
（2）根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，有没有充分证据推断：过马路“不走斑马线行为”与骑车有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
解：（1）根据题意补充列联表为：
不走斑马线
走斑马线
合计
骑车
6
24
30
步行
8
22
30
合计
14
46
60
（2）根据列联表中数据，计算得＝，
根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验知，没有充分证据推断过马路“不走斑马线行为”与骑车有关．
18．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶，
由题意可得，P（A）＝0.6，，P（B|A）＝0.9，，，，
（1）由全概率公式可得，＝0.6×0.9+0.4×0.4＝0.7；
（2）该射手任取一支枪射击，未中靶的概率为，
由条件概率公式可得，＝．
19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3﹣2S2＝1，a2n+1﹣2an＝3，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S3﹣2S2＝1，可得（3a1+3d）﹣2（2a1+d）＝1，即a1﹣d+1＝0①，
又因为a2n+1﹣2an＝3，n∈N*．取n＝1，得a3﹣2a1＝3，即a1﹣2d+3＝0②，
由①②可得a1＝1，d＝2，故{an}的通项公式为an＝2n﹣1．
（2）＝，
当n为偶数时，＝，
当n为奇数时，＝，
故Tn＝．
20．已知函数．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）若a＝0，则f（x）＝lnx+1，所以f（1）＝1，
则切点为（1，1），又，
所以f'（1）＝1，故切线的斜率为1，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝1⋅（x﹣1），即y＝x；
（2）由题意，f（x）≥2对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，即a≥x﹣xlnx对x＞0恒成立，
设g（x）＝x﹣xlnx，则g'（x）＝1﹣（lnx+1）＝﹣lnx，
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）为单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）为单调递减，
所以函数g（x）在x＝1时，函数取得极大值g（1），
所以g（x）max＝g（1）＝1，
因为a≥g（x）恒成立，所以a≥1，
所以a的取值范围是[1，+∞）．
21．为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度y（单位：mg/m3）、监控点与企业的距离x（单位：km）的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（其中，）：，，，，，，，．
（1）利用相关系数，判断y＝a+bx与哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度y关于监控点与该企业距离x的回归方程类型？（精确到0.001）
（计算过程中的可参考数据：，）
（2）根据（1）的判断结果，求其回归方程，并预测当x＝20时可吸入颗粒物浓度的预报值？
附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），其线性相关系数为：，
回归直线方程s＝α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
解：（1）y＝a+bx的线性相关系数＝，
的线性相关系数＝，
因为|r1|＜|r2|，
所以更适宜作为可吸入颗粒物浓度y关于观测点与污染企业距离x的回归方程类型．
（2）由题意可得，，
所以，
所以，
故y关于x的回归方程为，
当x＝20时，可吸入颗粒物浓度的预报值为．
22．已知函数，其中e＝2.718281⋅⋅⋅是自然对数的底数．
（1）判断函数f（x）在区间上的单调性，并求最小值；
（2）设，证明：函数g（x）在区间上有唯一零点．
解：（1）由已知可得，，
当时，﹣1≤cosx≤0，
所以，
所以f（x）在区间上是单调递增的，
故函数在上的最小值为．
（2）证明：由已知条件可知：g（x）＝e﹣x+sinx，
当时，g'（x）＝﹣e﹣x+cosx，g''（x）＝e﹣x﹣sinx＞0，
所以g'（x）在区间上是单调递增的，
又，g'（2π）＝﹣e﹣2π+1＞0，
所以存在唯一，使得g'（t）＝0，
所以时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，x∈（t，2π）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，
因为，
所以函数g（x）在区间上没有零点．
又，g（2π）＝e﹣2π＞0，
所以函数g（x）在区间（t，2π）上存在唯一零点，
故函数g（x）在区间上有唯一零点．
2020-2021学年山东省淄博市部分学校高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．等差数列{an}中，a3＝6，a8＝21，则公差d为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知某一随机变量x的概率分布如下，且E（x）＝5.9，则a的值为（ ）
x
4
a
9
p
0.5
0.2
b
A．5 B．6 C．7 D．8
3．展开式中常数项为（ ）
A．60 B．﹣60 C．160 D．﹣160
4．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行．现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，……，108，则编号为22的佛塔所在层数为（ ）
A．第5行 B．第6行 C．第7行 D．第8行
5．设（x﹣2）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则下列结论正确的是（ ）
A．a0＝﹣16 B．a0+a1+a2+a3+a4＝81
C．a1+a2+a3+a4＝15 D．a0+a2+a4＝41
6．风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.2021年是中国共产党百年华诞，为深入开展党史学习教育活动，某街道党支部决定将6名党员（包含2名女党员）全部安排到甲、乙2个社区进行专题宣讲，每个社区至少2名党员，并且两名女党员不能在同一个社区，则不同的安排方法总数为（ ）
A．12 B．28 C．36 D．56
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．若数列{an}是斐波那契数列，则a12+a22+a32+⋯⋯+a20212＝（ ）
A．a2019a2020 B．a2020a2021 C．a2021a2022 D．a2022a2023
8．若，，，则（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当x＝3时，函数f（x）取得极大值
B．函数f（x）在区间（﹣1，1）上是单调递减的
C．当x＝1时，函数f（x）取得极小值
D．函数f（x）在区间（5，6）上是单调递增的
10．等比数列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列
B．设数列{an}的前n项和为Sn，对∀n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立
C．数列{an}是递增数列
D．数列{lg（﹣an）}是首项和公差都小于0的等差数列
11．下列说法错误的是（ ）
A．对于回归方程，变量x每增加1个单位，变量平均增加4个单位
B．由样本数据得到的回归直线方程必经过点
C．两个相关变量的线性相关系数越接近0，这两个变量的相关性越强
D．如果一组数据代表的散点全部落到一条斜率为3的直线上，则相关指数R2＝1
12．一袋中装有5个大小相同的小球，其中黑球2个，白球3个，则下列结论正确的是（ ）
A．若有放回地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是
B．若一次性地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是
C．若有放回地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
D．若一次性地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设函数f（x）＝x3﹣2x2+x+4，则f（x）的极大值与极小值之差为 ．
14．已知，则a除以10的余数是 ．
15．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N（100，225），则这次考试成绩不低于100分的约有 人；这次考试分数低于70分的约有 人．
参考数据：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．
16．设随机变量ξ服从二项分布，则函数f（x）＝x2+4x+ξ存在零点的概率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．为检查“创建全国文明城市”（以下称“创城”）活动成果，某市统计了自宣传发动“创城”以来的几个月中，在市区某主要路段的骑行者和行人过马路情况，并从中随机抽查了60人，得到2×2列联表如下：
不走斑马线
走斑马线
合计
骑车
6
步行
22
30
合计
60
（1）补全上述列联表；
（2）根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，有没有充分证据推断：过马路“不走斑马线行为”与骑车有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
18．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3﹣2S2＝1，a2n+1﹣2an＝3，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
20．已知函数．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．
21．为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度y（单位：mg/m3）、监控点与企业的距离x（单位：km）的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（其中，）：，，，，，，，．
（1）利用相关系数，判断y＝a+bx与哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度y关于监控点与该企业距离x的回归方程类型？（精确到0.001）
（计算过程中的可参考数据：，）
（2）根据（1）的判断结果，求其回归方程，并预测当x＝20时可吸入颗粒物浓度的预报值？
附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），其线性相关系数为：，
回归直线方程s＝α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
22．已知函数，其中e＝2.718281⋅⋅⋅是自然对数的底数．
（1）判断函数f（x）在区间上的单调性，并求最小值；
（2）设，证明：函数g（x）在区间上有唯一零点．
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．等差数列{an}中，a3＝6，a8＝21，则公差d为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：设等差数列{an}的公差为d，由a3＝6，a8＝21，得5d＝a8﹣a3＝21﹣6＝15，解得d＝3．
故选：C．
2．已知某一随机变量x的概率分布如下，且E（x）＝5.9，则a的值为（ ）
x
4
a
9
p
0.5
0.2
b
A．5 B．6 C．7 D．8
解：由0.5+0.2+b＝1，得b＝0.3，
由E（x）＝5.9，得4×0.5+0.2a+9×0.3＝5.9，解得a＝6．
故选：B．
3．展开式中常数项为（ ）
A．60 B．﹣60 C．160 D．﹣160
解：∵展开式的通项公式为 Tr+1＝•26﹣r•（﹣1）r•，
令﹣6＝0，求得r＝4，可得展开式中常数项为•22＝60，
故选：A．
4．一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行．现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，……，108，则编号为22的佛塔所在层数为（ ）
A．第5行 B．第6行 C．第7行 D．第8行
解：∵1+3+3+5+5+7＝24，
∴编号为22的佛塔在第6行，
故选：B．
5．设（x﹣2）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则下列结论正确的是（ ）
A．a0＝﹣16 B．a0+a1+a2+a3+a4＝81
C．a1+a2+a3+a4＝15 D．a0+a2+a4＝41
解：∵（x﹣2）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x＝0，得a0＝16①，故A错误；
令x＝1，得a0+a1+a2+a3+a4＝（1﹣2）4＝1②，故B错误；
由①②得a1+a2+a3+a4＝﹣15，故C错误；
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣1﹣2）4＝81③，
由②③得a0+a2+a4＝＝41，故D正确；
故选：D．
6．风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.2021年是中国共产党百年华诞，为深入开展党史学习教育活动，某街道党支部决定将6名党员（包含2名女党员）全部安排到甲、乙2个社区进行专题宣讲，每个社区至少2名党员，并且两名女党员不能在同一个社区，则不同的安排方法总数为（ ）
A．12 B．28 C．36 D．56
解：根据题意，分2步进行分析：
①将6人分为2组，要求每组至少2人，两名女党员不能在同一组，有（+﹣1）＝24种分组方法，
②将两组安排到两个社区，有2种情况，
则有14×2＝28种不同的安排方法；
故选：B．
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．若数列{an}是斐波那契数列，则a12+a22+a32+⋯⋯+a20212＝（ ）
A．a2019a2020 B．a2020a2021 C．a2021a2022 D．a2022a2023
解：由题意可得：
a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an，，
所以：a2021a2022＝a20212+a2020a2021，
a2020a2021＝a20202+a2019a2020，
•••，
a2a3＝a22+a1a2，
又因为a12＝a1a2，
所以a2021a2022＝a20212+a20202+•••+a22+a12，
故选：C．
8．若，，，则（ ）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
解：，
设，，
∴x∈[e，+∞）时，f′（x）≤0，∴f（x）在[e，+∞）上单调递减，
∴f（e）＞f（3）＞f（4），且a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），
∴c＞b＞a．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．当x＝3时，函数f（x）取得极大值
B．函数f（x）在区间（﹣1，1）上是单调递减的
C．当x＝1时，函数f（x）取得极小值
D．函数f（x）在区间（5，6）上是单调递增的
解：逐一考查所给的选项：
导函数在x＝3左侧为正值，原函数单调递增，导函数在x＝3右侧为正值，原函数单调递增，故当x＝3时，函数f（x）不存在极值，选项A错误，
导函数在区间（﹣1，1）上的值为负值，则函数f（x）在区间（﹣1，1）上是单调递减的，选项B正确，
导函数在x＝1左侧为负值，原函数单调递减，导函数在x＝1右侧为正值，原函数单调递增，故当x＝1时，函数f（x）取得极小值，选项C正确，
导函数在区间（5，6）上的值先负后正，则函数f（x）在区间（5，6）上先增后减，选项D错误．
故选：BC．
10．等比数列{an}中，a1＜0，公比0＜q＜1，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}中的所有偶数项可以组成一个公比为q2的等比数列
B．设数列{an}的前n项和为Sn，对∀n＞2，n∈N*，Sn＜an+a1恒成立
C．数列{an}是递增数列
D．数列{lg（﹣an）}是首项和公差都小于0的等差数列
解：由＝q2可知A对；
由a1＜0，公比0＜q＜1，可知an＜0，∴当n＞2，n∈N*时，Sn＝a1+a2+•••+an＜an+a1恒成立，∴B对；
由a1＜0，公比0＜q＜1，可知数列{an}是递增数列，∴C对；
∵﹣an与1无法比较大小，∴数列{lg（﹣an）}是首项无法和0比较，∴D错．
故选：ABC．
11．下列说法错误的是（ ）
A．对于回归方程，变量x每增加1个单位，变量平均增加4个单位
B．由样本数据得到的回归直线方程必经过点
C．两个相关变量的线性相关系数越接近0，这两个变量的相关性越强
D．如果一组数据代表的散点全部落到一条斜率为3的直线上，则相关指数R2＝1
解：对于回归方程＝3x+1，变量x每增加1个单位，
则＝3（x+1）+1＝3x+4，变量平均增加3个单位，故选项A错误；
由样本数据得到的回归直线方程＝+必经过点（），故选项B正确；
两个相关变量的线性相关系的绝对值越接近1，这两个变量的相关性越强，故选项C错误；
如果一组数据代表的散点全部落到一条斜率为3的直线上，则相关指数R2＝1，故选项D正确．
故选：AC．
12．一袋中装有5个大小相同的小球，其中黑球2个，白球3个，则下列结论正确的是（ ）
A．若有放回地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是
B．若一次性地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是
C．若有放回地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
D．若一次性地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
解：对于A，有放回地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率P1＝＝，故A错误；
对于B，一次性地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率P2＝＝，故B正确；
对于C，有放回地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率P3＝+＝，故C错误；
对于D，一次性地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率P4＝+＝，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设函数f（x）＝x3﹣2x2+x+4，则f（x）的极大值与极小值之差为 ．
解：由函数的解析式可得：f'（x）＝3x2−4x+1＝（x−1）（3x−1），
列表考查函数的性质如下：
x
x＝1
（1，+∞）
f’（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
则函数的极大值与极小值的差为：
．
故答案为：．
14．已知，则a除以10的余数是 1 ．
解：∵
＝（1+2）20
＝（10﹣1）10
＝•1010﹣•109+•108﹣...﹣•101+•（﹣1）10
＝10（•109﹣•108+•107﹣...﹣）+1，
∴a除以10的余数是1，
故答案为：1．
15．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N（100，225），则这次考试成绩不低于100分的约有 600 人；这次考试分数低于70分的约有 27 人．
参考数据：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．
解：因为X～N（100，225），所以μ＝100，σ＝15，
所以P（X⩽100）＝0.5，所以这次考试成绩不低于100分的约有1200×P（X⩽100）＝1200×0.5＝600．
因为P（μ﹣2σ＜X⩽μ+2σ）＝0.9545，所以P（70＜X⩽130）＝0.9545，
则，
所以这次考试分数低于70分的约有1200×P（X＜70）＝1200×0.0075＝27.3，
于是考试分数低于70分的约有27人．
故答案为：600，27．
16．设随机变量ξ服从二项分布，则函数f（x）＝x2+4x+ξ存在零点的概率是 ．
解：因为函数f（x）＝x2+4x+ξ存在零点，
所以△＝14﹣4ξ≥0，则ξ≤4，
又随机变量ξ服从二项分布，
所以P（ξ≤4）＝1﹣P（ξ＝5）＝＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．为检查“创建全国文明城市”（以下称“创城”）活动成果，某市统计了自宣传发动“创城”以来的几个月中，在市区某主要路段的骑行者和行人过马路情况，并从中随机抽查了60人，得到2×2列联表如下：
不走斑马线
走斑马线
合计
骑车
6
步行
22
30
合计
60
（1）补全上述列联表；
（2）根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，有没有充分证据推断：过马路“不走斑马线行为”与骑车有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
解：（1）根据题意补充列联表为：
不走斑马线
走斑马线
合计
骑车
6
24
30
步行
8
22
30
合计
14
46
60
（2）根据列联表中数据，计算得＝，
根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验知，没有充分证据推断过马路“不走斑马线行为”与骑车有关．
18．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4．
（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．
解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶，
由题意可得，P（A）＝0.6，，P（B|A）＝0.9，，，，
（1）由全概率公式可得，＝0.6×0.9+0.4×0.4＝0.7；
（2）该射手任取一支枪射击，未中靶的概率为，
由条件概率公式可得，＝．
19．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3﹣2S2＝1，a2n+1﹣2an＝3，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S3﹣2S2＝1，可得（3a1+3d）﹣2（2a1+d）＝1，即a1﹣d+1＝0①，
又因为a2n+1﹣2an＝3，n∈N*．取n＝1，得a3﹣2a1＝3，即a1﹣2d+3＝0②，
由①②可得a1＝1，d＝2，故{an}的通项公式为an＝2n﹣1．
（2）＝，
当n为偶数时，＝，
当n为奇数时，＝，
故Tn＝．
20．已知函数．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）若a＝0，则f（x）＝lnx+1，所以f（1）＝1，
则切点为（1，1），又，
所以f'（1）＝1，故切线的斜率为1，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝1⋅（x﹣1），即y＝x；
（2）由题意，f（x）≥2对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，即a≥x﹣xlnx对x＞0恒成立，
设g（x）＝x﹣xlnx，则g'（x）＝1﹣（lnx+1）＝﹣lnx，
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）为单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）为单调递减，
所以函数g（x）在x＝1时，函数取得极大值g（1），
所以g（x）max＝g（1）＝1，
因为a≥g（x）恒成立，所以a≥1，
所以a的取值范围是[1，+∞）．
21．为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度y（单位：mg/m3）、监控点与企业的距离x（单位：km）的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（其中，）：，，，，，，，．
（1）利用相关系数，判断y＝a+bx与哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度y关于监控点与该企业距离x的回归方程类型？（精确到0.001）
（计算过程中的可参考数据：，）
（2）根据（1）的判断结果，求其回归方程，并预测当x＝20时可吸入颗粒物浓度的预报值？
附：对于一组数据（t1，s1），（t2，s2），…，（tn，sn），其线性相关系数为：，
回归直线方程s＝α+βt的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
解：（1）y＝a+bx的线性相关系数＝，
的线性相关系数＝，
因为|r1|＜|r2|，
所以更适宜作为可吸入颗粒物浓度y关于观测点与污染企业距离x的回归方程类型．
（2）由题意可得，，
所以，
所以，
故y关于x的回归方程为，
当x＝20时，可吸入颗粒物浓度的预报值为．
22．已知函数，其中e＝2.718281⋅⋅⋅是自然对数的底数．
（1）判断函数f（x）在区间上的单调性，并求最小值；
（2）设，证明：函数g（x）在区间上有唯一零点．
解：（1）由已知可得，，
当时，﹣1≤cosx≤0，
所以，
所以f（x）在区间上是单调递增的，
故函数在上的最小值为．
（2）证明：由已知条件可知：g（x）＝e﹣x+sinx，
当时，g'（x）＝﹣e﹣x+cosx，g''（x）＝e﹣x﹣sinx＞0，
所以g'（x）在区间上是单调递增的，
又，g'（2π）＝﹣e﹣2π+1＞0，
所以存在唯一，使得g'（t）＝0，
所以时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，x∈（t，2π）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，
因为，
所以函数g（x）在区间上没有零点．
又，g（2π）＝e﹣2π＞0，
所以函数g（x）在区间（t，2π）上存在唯一零点，
故函数g（x）在区间上有唯一零点．
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